2次元における回転と鏡映

ユークリッド幾何学において、2次元の回転と鏡映は、互いに関連し合う2種類のユークリッド平面等長変換である。

平面内の回転は、一対の鏡映を組み合わせることで形成できます。まず、点を鏡映します。${\displaystyle P}$そのイメージに${\displaystyle P'}$線の向こう側${\displaystyle L_{1}}$.それから振り返る${\displaystyle P'}$そのイメージに${\displaystyle P''}$線の向こう側${\displaystyle L_{2}}$行が${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$角度をつける${\displaystyle \theta }$お互いに、それからポイント${\displaystyle P}$そして${\displaystyle P''}$角度をつける${\displaystyle 2\theta }$付近の地点${\displaystyle O}$の交差点${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$つまり、角度${\displaystyle \angle POP''}$測定します${\displaystyle 2\theta }$。

同じ点を中心とした一対の回転${\displaystyle O}$これは、点を中心とした別の回転に相当する。${\displaystyle O}$一方、鏡映と回転の合成、または回転と鏡映の合成（合成は可換ではない）は、鏡映と等価になります。

上記の記述は、より数学的に表現できます。原点を中心とした回転を考えます。${\displaystyle O}$角度によって${\displaystyle \theta }$と表記される${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )}$線についての考察${\displaystyle L}$原点を通る角度${\displaystyle \theta }$と共に${\displaystyle x}$-軸は次のように表される。${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )}$これらの回転と反射が平面上のすべての点に作用し、これらの点が位置ベクトルで表されるとします。すると、回転は行列として表すことができます。 $${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$$

そして同様に、反省のために、 $${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.}$$

座標回転と鏡映のこれらの定義を用いると、次の4つの恒等式が成り立つ。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}}$$

これらの式は、単純な行列乗算と三角関数の恒等式、特に和と差の恒等式を適用することによって証明できます。

原点を通る直線に関するすべての鏡映と原点周りの回転、および鏡映と回転の合成演算の集合は群を形成する。この群には単位元がある。${\displaystyle \operatorname {Rot} (0)}$. 回転ごとに${\displaystyle \operatorname {Rot} (\phi )}$逆数を持つ${\displaystyle \operatorname {Rot} (-\phi )}$すべての反射${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )}$は自身の逆行列である。合成は閉包性を持ち、行列の乗算が結合法則を満たすため、結合法則を満たす。

両方とも${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )}$そして${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )}$これらは直交行列で表現されてきました。これらの行列はすべて、絶対値が1である行列式を持ちます。回転行列の行列式は${\displaystyle +1}$、反射行列の行列式は${\displaystyle -1}$。

すべての直交2次元行列と行列乗算の集合は直交群を形成する。${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$。

以下の表は、回転行列と反射行列の例を示しています 。

• カルタン・ディユドネの定理
• 二面角群
• ユークリッド平面等長変換
• ユークリッド対称性
• ねじの変位

• アントン、ハワード（1987）『初等線形代数（第5 版）』ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-84819-0
• ボーレガード、レイモンド A.、フレイリー、ジョン B. (1973)『線形代数入門：群、環、体へのオプション入門』ボストン：ホートン・ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• バーデン、リチャード L.、フェアーズ、J. ダグラス (1993)、数値解析(第 5 版)、ボストン:プリンドル、ウェーバー、シュミット、ISBN 0-534-93219-3
• プロッター、マレー・H.、モリー、チャールズ・B.・ジュニア (1970)、『解析幾何学を含む大学微積分』（第2 版）、リーディング：アディソン・ウェスリー、LCCN 76087042