ソ(8)

数学において、SO(8)は8次元ユークリッド空間に作用する特殊直交群である。これは階数4、次元数28の 実単純リー群または複素単純リー群のいずれかである。

n ≥ 2 のすべての特殊直交群 SO(n) と同様に、SO(8) は単連結ではありません。また、n > 2 のすべての SO(n) と同様に、SO(8) の基本群はZ ₂に同型です。SO (8) の普遍被覆はスピン群Spin(8)です。

SO(8)の中心はZ ₂、対角行列{±I}（2 n ≥ 4のすべてのSO(2 n )の場合と同様）であり、Spin(8)の中心はZ ₂ × Z _{2 （4} n ≥ 4のすべてのSpin(4 n )の場合と同様）である。

SO(8)は、そのディンキン図、(ディンキン分類ではD ₄ ) は、3 倍対称性を持っています。これにより、トライアリティとして知られる Spin(8) の独特な特徴が生じます。これに関連して、Spin(8) の 2 つのスピノル 表現と基本ベクトル表現はすべて 8 次元です (他のすべてのスピン グループでは、スピノル表現はベクトル表現よりも小さいか大きい)。Spin(8) のトライアリティ自己同型は、これら 3 つの表現を並べ替える対称群S ₃に同型である Spin(8) の外部自己同型群に存在します。自己同型群は中心Z ₂ x Z ₂に作用します(これもS ₃に同型の自己同型群を持ち、これは2 つの要素を持つ有限体上の 一般線型群、 S ₃ ≅GL(2,2)として考えることもできます)。 Spin(8)を中心Z ₂で割ってこの対称性を破りSO(8)を得ると、残る外部自己同型群はZ ₂のみとなる。三元対称性は、さらにSO(8)/ Z _{2 の}商にも作用する。

Spin(8)は、Spin(8)の自己同型群として自然に「拡大」された形で現れることがあります。これは半直積として分解されます：Aut(Spin(8)) ≅ PSO (8) ⋊ S ₃。

SO(8) の元は単位八元数で記述できます。これは、SO(2) の元が単位複素数で記述でき、 SO(4)の元が単位四元数で記述できるのと似ています。ただし、関係はより複雑で、八元数の非結合性も一因です。SO(8) の一般元は、単位八元数による 7 回の左乗算、7 回の右乗算、および 7 回の二重乗算の積として記述できます (二重乗算は、同じ八元数による左乗算と右乗算の合成であり、八元数がMoufang 恒等式に従うため明確に定義されます)。

SO(8)の元は、8次元空間における原点を通る反射のペアが単位八元数による二重乗法のペアに対応することを最初に示すことにより、二重乗法で構成できることが示される。以下で説明するSpin(8)の三元自己同型は、左乗法と右乗法による同様の構成を提供する。^[1]

かつの場合、これは と同値であることが示され、つまり曖昧さなく となることが示されます。この恒等式を保存する写像の 3 つ、つまり は同位体と呼ばれます。同位体の 3 つの写像が に含まれる場合、同位体は直交同位体と呼ばれます。 の場合、上記に続くものは、単位八元数、つまり の二重乗法の積として記述できます。を、同じ単位八元数の共役（つまり、乗法逆数）による左乗法と右乗法の対応する積とすると、 、 となります。簡単な計算により、 は同位体であることがわかります。八元数の非結合性の結果として、 の唯一の他の直交同位体はです。直交同位体の集合は の 2 対 1 被覆を生成するため、それらは実際に でなければなりません。 ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {O} }$${\displaystyle (xy)z=1}$${\displaystyle x(yz)=1}$${\displaystyle xyz=1}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle x^{\alpha }y^{\beta }z^{\gamma }=1}$${\displaystyle \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \gamma \in \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =B_{u_{1}}...B_{u_{n}}}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \alpha =L_{\overline {u_{1}}}...L_{\overline {u_{n}}}}$${\displaystyle \beta =R_{\overline {u_{1}}}...R_{\overline {u_{n}}}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (-\alpha ,-\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$

八元数の乗法的逆は両側性があり、つまり はと等価である。つまり、与えられた同位体を巡回的に置換して、さらに 2 つの同位体と を得ることができる。これにより、の3 次外部自己同型が生成される。この「三元性」自己同型は、スピン群の中では例外的である。 の三元性自己同型は存在しない。なぜなら、 が与えられた場合、対応する写像は符号までしか一意に決定されないからである。^[1]${\displaystyle xyz=1}$${\displaystyle yzx=1}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\alpha )}$${\displaystyle (\gamma ,\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$

${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1,0)}$

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$

${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$

${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$

そのWeyl / Coxeter 群には4! × 8 = 192 個の要素があります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\-1&0&2&0\\-1&0&0&2\end{pmatrix}}}$

• 八元数
• クリフォード代数
• 2_位

• アダムス、JF (1996)、「例外リー群に関する講義」、シカゴ数学講義、シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-00526-7
• シュヴァレー、クロード(1997)、「スピノルとクリフォード代数の代数理論」、全集、第 2 巻、Springer-Verlag、ISBN 3-540-57063-2（1954年にコロンビア大学出版局から初版発行）
• ポーテウス、イアン・R.（1995）、クリフォード代数と古典群、ケンブリッジ高等数学研究、第50巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-55177-3