ボット周期性定理

数学において、ボット周期性定理は、ラウル・ボット (1957, 1959)によって発見された古典群のホモトピー群の周期性を記述するものであり、特に安定複素ベクトル束のK 理論や球面の安定ホモトピー群において、その後の多くの研究にとって基礎的な重要性を持つことが判明しました。ボット周期性はさまざまな方法で定式化できますが、問題の周期性は、ユニタリ群に関連付けられた理論では、次元に関して常に周期 2 の現象として現れます。たとえば、位相的 K 理論を参照してください。

対応する周期 8 の現象は、それぞれ実直交群と四元数シンプレクティック群に関連付けられたマッチング理論、(実) KO 理論と (四元数) KSp 理論にも存在します。J準同型は、直交群のホモトピー群から 球面の安定ホモトピー群への準同型であり、これにより、周期 8 の Bott 周期性が球面の安定ホモトピー群で見えるようになります。

ボットは、が直交群の帰納的極限として定義されるとき、そのホモトピー群は周期的であることを示した。^[1]${\displaystyle O(\infty )}$

${\displaystyle \pi _{n}(O(\infty ))\simeq \pi _{n+8}(O(\infty ))}$

最初の 8 つのホモトピー群は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))& \simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\ infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

ボット周期性の文脈は、球面のホモトピー群がホモロジー理論との類推により代数的位相幾何学の基本的な役割を果たすと予想されるが、とらえどころのないものである（そして理論が複雑である）ことが証明されたことである。安定ホモトピー理論の主題は、サスペンション（円との積の衝突）操作を導入し、方程式の両辺を好きなだけサスペンションできるようにした後、（大まかに言えば）ホモトピー理論に何が残るかを見ることによる単純化として考え出された。安定理論は、実際には計算するのが依然として困難であった。

ボット周期性は、いくつかの非常に非自明な空間についての洞察を提供した。これらの空間は、コホモロジーと特性類との関連により位相幾何学において中心的な地位を占め、すべての（不安定な）ホモトピー群を計算することができた。これらの空間は、（無限、または安定な）ユニタリ群、直交群、シンプレクティック群U、O、Spである。この文脈では、安定とは、包含の列の 和集合U （直接極限とも呼ばれる）を取ることを指す。

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)}$

Oと Spについても同様です。ボットが彼の独創的な論文のタイトルで使用した「安定」という単語は、これらの安定した古典群を指しており、安定したホモトピー群を指しているわけではないことに注意してください。

ボット周期性と球面の安定ホモトピー群 との重要な関係は、（安定な）古典群の（不安定な）ホモトピー群からこれらの安定ホモトピー群への、いわゆる安定J準同型を介してもたらされる。これはもともとジョージ・W・ホワイトヘッドによって記述され、有名なアダムス予想（1963）の対象となり、最終的にはダニエル・キレン（1971）によって肯定的に解決された。 ${\displaystyle \pi_{n}^{S}}$${\displaystyle \pi_{n}^{S}}$

ボットの当初の結果は次のように簡潔にまとめることができます。

系: (無限)古典群の(不安定)ホモトピー群は周期的である:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

注:これらの同型性の 2 番目と 3 番目は絡み合って 8 倍の周期性の結果をもたらします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

無限ユニタリ群Uに関連する理論では、空間BUは安定な複素ベクトル束（無限次元のグラスマン多様体）の分類空間である。ボット周期性の1つの定式化は、 BUの二重ループ空間を記述する。ここで、はループ空間関数であり、サスペンションの右随伴であり、分類空間構成の左随伴である。ボット周期性は、この二重ループ空間が本質的にBUであることを述べている。より正確には、 は本質的に（つまり、ホモトピー的に同等である） BUの可算な数の複製の和集合である。同等の定式化は、 ${\displaystyle \Omega ^{2}BU}$${\displaystyle \オメガ}$$${\displaystyle \Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU}$$$${\displaystyle \Omega ^{2}U\simeq U.}$$

どちらも、（複素）位相的K理論がなぜ 2 倍周期理論であるかをすぐに示す効果があります。

無限直交群Oの対応する理論では、空間BO は安定な実ベクトル束の分類空間である。この場合、ボット周期性は、8 重ループ空間、 または同等の空間に対して、 $${\displaystyle \Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO}$$$${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O,}$$

これによって、 KO理論は8重周期理論であるという結論が得られる。また、無限シンプレクティック群Spに対して、空間BSpは安定な四元数ベクトル束の分類空間であり、ボット周期性は、 またはそれと同値で ある。$${\displaystyle \Omega^{8}\operatorname{BSp}\simeq\mathbb{Z}\times\operatorname{BSp};}$$$${\displaystyle \Omega^{8}\operatorname{Sp}\simeq\operatorname{Sp}.}$$

したがって、位相的実K理論 ( KO理論とも呼ばれる) と位相的四元数K理論 (KSp 理論とも呼ばれる) は両方とも 8 倍周期理論です。

ボット周期性のエレガントな定式化の 1 つは、古典的なグループ間に自然な埋め込み (閉じた部分群として) があるという観察を利用することです。ボット周期性のループ空間は、 Zの追加の離散因子を持つ連続商の対称空間とホモトピー同値です。

複素数について:

${\displaystyle U\times U\subset U\subset U\times U.}$

実数と四元数について:

${\displaystyle O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.}$

これらの数列はクリフォード代数の数列に対応します。クリフォード代数の分類を参照してください。複素数の場合:

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .}$

実数と四元数について:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

ここで、除算代数は「その代数上の行列」を示します。

これらは 2 周期/8 周期であるため、円形に配置することができ、ボット周期時計やクリフォード代数時計と呼ばれます。

ボット周期性の結果は、ホモトピー同値性のシーケンスに精製されます。

複素K理論の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (\mathbb {Z} \times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}}$

実数および四元数のKO理論とKSp理論の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

結果として得られる空間は、古典的な簡約対称空間とホモトピー同値であり、ボット周期性時計の項の連続商です。これらの同値性から、直ちにボット周期性定理が得られます。

特定の空間は、^{[注 1]}（グループの場合は、主要な同次空間も表示されます）です。

ボットの最初の証明 (Bott 1959) ではモース理論が使われており、ボット (1956) は以前にリー群のホモロジーについて研究するためにモース理論を使っていた。これまでにさまざまな証明が提示されている。

• ボット、ラウル(1956)、「モース理論のリー群の位相への応用」、フランス数学会誌、84 : 251–281、doi : 10.24033/bsmf.1472、ISSN  0037-9484、MR  0087035
• ボット、ラウル(1957)、「古典群の安定ホモトピー」、米国科学アカデミー紀要、43 (10): 933–5、Bibcode :1957PNAS...43..933B、doi : 10.1073/pnas.43.10.933、JSTOR  89403、MR  0102802、PMC  528555、PMID  16590113
• ボット、ラウル(1959)、「古典群の安定ホモトピー」、数学年報、第 2 シリーズ、70 (2): 313–337、doi :10.2307/1970106、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970106、MR  0110104、PMC  528555、PMID  16590113
• ボット、ラウル（1970）、「古典群の周期性定理とその応用のいくつか」、数学の進歩、4（3）：353–411、doi：10.1016/0001-8708（70）90030-7定理とそれを取り巻く数学の解説。
• Giffen、CH (1996)、「Bott periodicity and the Q-construction」、Banaszak、Grzegorz。ガイダ、ヴォイチェフ。 Krasoń、Piotr (編)、代数 K 理論、現代数学、vol. 199、アメリカ数学協会、107–124 ページ、ISBN 978-0-8218-0511-4、MR  1409620
• ミルナー、J. (1969)。モールス理論。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08008-9。
• Baez, John (1997 年 6 月 21 日)。「第 105 週」。今週の数理物理学の発見。