射影直交群

射影幾何学と線型代数学において、射影直交群POは、二次空間V = ( V , Q ) ^[注1]の直交群の、関連する射影空間P( V )への誘導作用である。明示的には、射影直交群は商群である。

PO( V ) = O( V )/ZO( V ) = O( V )/{± I }

ここで、O( V ) は ( V )の直交群であり、ZO( V )={± I } はVのすべての直交スカラー変換の部分群です。これらは、恒等変換と原点を通る反射から構成されます。これらのスカラーは、射影空間に自明に作用し、作用の核を形成するため、除算されます。また、表記法「Z」は、スカラー変換が直交群の 中心であるためです。

射影特殊直交群PSO は、同様に、関連する射影空間に対する 特殊直交群の誘導作用として定義されます。明示的には、

PSO( V ) = SO( V )/ZSO( V )

ここで、SO( V ) はV上の特殊直交群であり、ZSO( V ) は単位行列式を持つ直交スカラー変換の部分群です。ここで、ZSO は SO の中心であり、奇数次元では自明ですが、偶数次元では {±1} に等しくなります。この奇数/偶数の区別は、直交群の構造全体にわたって発生します。GL/SL や GO/SO との類推により、射影直交群は射影一般直交群とも呼ばれ、PGO と表記されることがあります。

直交群と同様に、射影直交群は任意の体とさまざまな二次形式で定義できますが、通常の直交群と同様に、主に実正 定値射影直交群に重点が置かれています。他の体については、以下の一般化で詳しく説明します。特に明記しない限り、以降の PO と PSO は実正定値群を指します。

スピン群やピン群は（特殊）直交群の商ではなく被覆であるが、射影（特殊）直交群は、関連するリー群や表現論など、ユークリッド幾何学の（射影）幾何学的類似物として興味深い。

より本質的には、（実正定値）射影直交群 PO は楕円空間の等長写像（楕円幾何学の意味で）として定義でき、PSO は楕円空間の方向保存等長写像（空間が有向性である場合。そうでない場合は PSO = PO） として定義できます。

PO の構造は奇数次元と偶数次元で大きく異なります。これは基本的に、偶数次元では原点を通る鏡映が向きを保存するのに対し、奇数次元では向きが反転する (ただし) ためです。これは、奇数次元の実射影空間はそれぞれ向き付け可能であり、正の次元の偶数次元の実射影空間はそれぞれ向き付け不可能であるという事実に表れています。より抽象的なレベルでは、奇数次元と偶数次元の射影直交群のリー代数は、 2 つの異なる族を形成します。${\displaystyle -I\in \operatorname {SO} (2k)}$${\displaystyle -I\not \in \operatorname {SO} (2k+1)}$${\displaystyle B_{k}={\mathfrak {so}}_{2k+1},D_{k}={\mathfrak {so}}_{2k}.}$

したがって、O(2 k +1) = SO(2 k +1) × {± I }、^[注2] であり、 PO(2 k )の非自明な中心拡大である。 ${\displaystyle \operatorname {O} (2k)\neq \operatorname {SO} (2k)\times \{\pm I\}}$

PO(2 k +1)はR P ^{2 k} = P( R ^{2 k +1} ) の等長写像であるのに対し、PO(2 k ) はR P ^{2 k −1} = P( R ^{2 k} ) の等長写像であることに注意してください。奇数次元 (ベクトル) 群は偶数次元の射影空間の等長写像であり、偶数次元 (ベクトル) 群は奇数次元の射影空間の等長写像です。

奇数次元では、^{[注 3]}射影等長変換群は回転等長変換群と同一視できる。 ${\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1)\cong \operatorname {PSO} (2k+1)=\operatorname {PO} (2k+1),}$

偶数次元では、SO(2 k ) → PSO(2 k )とO(2 k ) → PO(2 k )は両方とも2対1カバーであり、PSO(2 k ) < PO(2 k )はインデックス2のサブグループです。

PSO と PO は、PSL や PGL と同様に中心がありません。これは、スカラー行列が SO と O の中心であるだけでなく、超中心でもあるためです(中心による商は必ずしも中心のないグループを生成するわけではありません)。

PSO は射影特殊線型群PSLにおける最大コンパクト部分群であり、PO は射影一般線型群PGL における最大コンパクトです。これは、SO が SL において最大コンパクトであり、O が GL において最大コンパクトであることに類似しています。

PO は表現論における基本的な関心事です。群準同型G → PGL はGの射影表現と 呼ばれ、写像G → GL はGの線型表現 と呼ばれます。また、任意の線型表現が写像G  → O (不変内積をとることによって)に簡約できるのと同様に、任意の射影表現は写像G  → PO に簡約できます。

詳しい議論については射影線型群:表現論を参照してください。

射影直交群のサブグループは、− I を含む直交群のサブグループに対応します（中心対称性を持ちます）。常に商写像の場合と同様に（格子定理により）、O と PO のサブグループの間にはガロア接続があり、O の付加（PO の像を取り、次に O の逆像を取ることによって与えられる）は、存在しない場合は単に − Iを追加します。

特に興味深いのは離散部分群であり、これは射影多面体の対称性として実現できます。これらは中心対称性を含む (離散) 点群に対応します。スピン群の離散部分群、特に 3 次元のバイナリ多面体群の場合と比較してください。

たとえば、3 次元では、5 つのプラトン立体のうち 4 つ(立方体/八面体、十二面体/二十面体) に中心対称性がありますが、四面体にはありません。ただし、星型八面体には中心対称性がありますが、結果として得られる対称群は立方体/八面体のものと同じです。

PO と PSO は中心のない位相群として、被覆群の列の底部に位置し、被覆群の頂部はそれぞれ (単連結な)ピン群またはスピン群である。

ピン_± ( n ) → O( n ) → PO( n )。

スピン( n )→SO( n )→PSO( n )。

これらの群はすべて同じリー代数の コンパクトな実形式です。

これらはすべて2対1のカバーですが、SO(2 k +1) → PSO(2 k +1)は1対1(同型)です。

上のホモトピー群はカバー下では変化しないので、直交群のホモトピー群と一致します。下のホモトピー群は次のように与えられます。 ${\displaystyle \pi_{1}}$

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {PSO} )\cong 1}$

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {PO} (2k))\cong \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,\pi _{0}(\operatorname {PO} (2k+1) ))\cong 1.}$

（中心のない）PSO( n )の基本群は（単連結な）Spin( n )の中心に等しく、これは被覆群について常に成り立ちます。

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (n))=\pi _{1}(\operatorname {PO} (n))=\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n) ))。}$

スピン群の中心の表を使用すると、次の式が得られます ( の場合)。 ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k+2))=\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \pi _{1}(\演算子名 {PSO} (2k+1))=\pi _{1}(\演算子名 {SO} (2k+1))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,}$

低次元の場合:

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (1))=1,}$グループは些細なものなので。

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {PSO} (2))=\mathbf {Z} ,}$位相的には円であるが、スピン(2)における恒等式の逆像は他の${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$${\displaystyle 4k+2.}$

直交群がベクトル束の構造群であるのと同様に、射影直交群は射影束の構造群であり、対応する分類空間は BPO と表記されます。

直交群と同様に、射影直交群は、体の変更または二次形式の変更という 2 つの主な方法で一般化できます。実数以外では、主な関心は複素数または有限体にありますが、(実数上の)二次形式は不定形式になることもあり、そのシグネチャによって PO( p , q ) と表されます。

複素射影直交群 PO( n , C ) を射影ユニタリ群PU( n )と混同しないでください。PO は対称形式を保存しますが、PU はエルミート形式を保存します。PU は複素射影空間の対称性です（フビニ・スタディ計量を保存します）。

標数2の体では、さらに複雑な問題が加わります。2次形式と対称双線型形式はもはや同値ではなく、I = − Iとなり、行列式をディクソン不変量に置き換える必要があります。

有限体上の射影直交群は、リー型の有限単純群の族、すなわちD _n型のシュヴァレー群の構成に用いられる。有限体上の直交群 O( n , q ) は単純ではない。なぜなら、SO を部分群として持ち、中心 ({± I })が自明でない(したがって商は PO である) からである。これらは両方とも PSO に渡すことで固定されるが、PSO 自体は一般に単純ではなく、代わりにスピノルノルム(奇数特性の場合) または準行列式(偶数特性の場合) によって定義される部分群 (指数 1 または 2 の可能性がある) を使用する必要がある。^{[1]準行列式は (−1) D}として定義でき、ここでDはディクソン不変量(ディクソン不変量によって定義される行列式)、または固定空間の次元で定義される。

• 射影線型群
• 射影ユニタリ群
• 直交群
• スピングループ

• Weisstein、Eric W.「射影一般直交群」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「射影特殊直交群」。MathWorld。