数学において、 射影空間 における 代数多様体 V は、 V のイデアルがちょうど余 次元 V の 元によって生成されるとき、 完全交差 となる 。つまり、 V が m 次元 を持ち 、射影空間 P n に存在する場合、 n − m 個の 斉次多項式が存在するはずである 。
ふ
私
（
バツ
0
、 ⋯ 、
バツ
ん
） 、 1 ≤ 私 ≤ ん − メートル 、
{\displaystyle F_{i}(X_{0},\cdots ,X_{n}),1\leq i\leq nm,}
同次座標 X j では、 V 上でゼロになる他のすべての同次多項式が生成されます 。
幾何学的には、各 F i は 超曲面 を定義します 。これらの超曲面の交差は V になります。スカラー体が 複素数 などの代数 的に閉じた体であると仮定すると、 n − m 個 の超曲面の交差は、常に少なくとも m の 次元を持ちます 。問題は本質的に、交差に余分な点がないように、次元を mまで下げることができるかどうかです。この条件は、余次元 n − m ≥ 2 になるとすぐに確認するのがかなり難しくなります 。 n − m = 1 のとき、 V は 自動的に超曲面になり、証明するものは何もありません。
例 完全な交差の簡単な例は、単一の多項式の消失軌跡によって定義される超曲面によって与えられます。たとえば、
五
（
x
0
5
+ ⋯ +
x
4
5
） =
プロジェクト
（
ふ
[
x
0
、 … 、
x
4
]
（
x
0
5
+ ⋯ +
x
4
5
）
）
→
私
ポ
ふ
4
{\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {F} [x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})}}\right){\xrightarrow {i}}\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{4}}
は五次三次元多様体の例を示す。2つ以上の明示的な例（百科事典）を用いて高次元多様体の完全な交差の明示的な例を見つけるのは難しいかもしれないが、次 の
タイプの三次元多様体の明示的な例がある。
（ 2 、 4 ）
{\displaystyle (2,4)}
五
（
x
0
2
+
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
x
5
、
x
4
4
+
x
5
4
− 2
x
0
x
1
x
2
x
3
）
{\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}x_{5},x_{4}^{4}+x_{5}^{4}-2x_{0}x_{1}x_{2}x_{3})}
非例
ねじれた立方体 局所完全交差を構築する方法の1つは、射影完全交差多様体を取り、それを高次元射影空間に埋め込むことである。この典型的な例は、の ねじれ立方体 である 。これは滑らかな局所完全交差であり、任意の図では2つの多項式の消失軌跡として表すことができるが、大域的には2つ以上の多項式の消失軌跡で表される。これは、上の非常に豊富な直線束を使用して構築でき、 埋め込みを与える
。
ポ
R
3
{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}}
お
（ 3 ）
{\displaystyle {\mathcal {O}}(3)}
ポ
1
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
ポ
R
1
→
ポ
R
3
{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{1}\to \mathbb {P} _{R}^{3}}
による
[ s : t ] ↦ [
s
3
:
s
2
t : s
t
2
:
t
3
]
{\displaystyle [s:t]\mapsto [s^{3}:s^{2}t:st^{2}:t^{3}]}
に注意してください 。 とすると、 埋め込みは次の関係式を与えます。
Γ （
お
（ 3 ） ） =
スパン
R
{
s
3
、
s
2
t 、 s
t
2
、
t
3
}
{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}}
ポ
R
3
=
プロジェクト
（ R [
x
0
、
x
1
、
x
2
、
x
3
] ）
{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}={\text{Proj}}(R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}])}
f
1
=
x
0
x
3
−
x
1
x
2
f
2
=
x
1
2
−
x
0
x
2
f
3
=
x
2
2
−
x
1
x
3
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&=x_{0}x_{3}-x_{1}x_{2}\\f_{2}&=x_{1}^{2}-x_{0}x_{2}\\f_{3}&=x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}\end{aligned}}}
したがって、ねじれ立方体は射影スキームである。
Proj
(
R
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
]
(
f
1
,
f
2
,
f
3
)
)
{\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(f_{1},f_{2},f_{3})}}\right)}
次元の異なる多様体の結合 局所的に完全な交差にはなり得ない、非完全な交差を構成するもう1つの便利な方法は、次元が一致しない2つの異なる多様体の和をとることである。例えば、1点で交差する直線と平面の和は、この現象の典型的な例である。これは次の式で与えられる。
Spec
(
C
[
x
,
y
,
z
]
(
x
z
,
y
z
)
)
{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)}
マルチディグリー 完全交差は 多重次数 を持ち、これは定義する超曲面の 次数の組 （正確には 多重集合 ）として表される。例えば、 P 3 の二次曲線を再び取り上げると、(2,2) はそのうちの 2 つの完全交差の多重次数であり、これらが 一般的な位置にあるときは 楕円曲線 となる 。複素滑らかな完全交差の ホッジ数は 、小平邦彦 によって解明された 。
一般的な立場 より洗練された質問については、交差の性質をより詳しく扱う必要があります。超曲面は、 横断 条件（交差点で 接空間が 一般的な位置にあるなど）を満たす必要がある場合があります。交差は スキーム理論的 である可能性があり、言い換えると、ここでは F i ( X 0 、...、 X n )によって生成される 同次イデアルは、正しい 根号 を持つだけでなく、 V の定義イデアルである必要がある場合があります 。 可換代数 では、完全な交差条件は 正規列項に変換され、 局所的な完全な交差 の定義が可能になります。または、何らかの 局所化 の後、 イデアルは定義正規列を持ちます。
トポロジー
相同性 次元の完全な交差は 超平面の交差である ため、 レフシェッツの超平面定理を 使用して次のように導くこと
ができる。
n
{\displaystyle n}
C
P
n
+
m
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+m}}
H
j
(
X
)
=
Z
{\displaystyle H^{j}(X)=\mathbb {Z} }
に対してです 。さらに、 普遍係数定理を 使用して、 ホモロジー群が 常に ねじれなしである ことを確認できます。これは、中間のホモロジー群が空間のオイラー特性によって決定されることを意味します。
j
<
n
{\displaystyle j<n}
オイラー特性 ヒルツェブルフは、多次数の完全な交差の次元を計算する生成関数を与えた 。それは次のようになる。
(
a
1
,
…
,
a
r
)
{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{r})}
∑
n
=
0
∞
χ
(
X
n
(
a
1
,
…
,
a
r
)
)
z
n
=
a
1
⋯
a
r
(
1
−
z
)
2
∏
i
=
1
r
1
(
1
+
(
a
i
−
1
)
z
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\chi (X_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r}))z^{n}={\frac {a_{1}\cdots a_{r}}{(1-z)^{2}}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{(1+(a_{i}-1)z)}}}
引用
参考文献 ハリス、ジョー（1992） 。 代数幾何学入門 。Springer Science。ISBN 978-0-387-97716-4 。 ヒュブシュ、トリスタン、 カラビ・ヤウ多様体、物理学者のための百科事典 、ワールド・サイエンティフィック、p. 380、 ISBN 978-981-02-0662-8 Looijenga, EJN (1984)、 「完全交差上の孤立特異点」 、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第77巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、 doi :10.1017/CBO9780511662720、 ISBN 0-521-28674-3 、 MR 0747303 クリスチャン・メイヤー（2005）、 モジュラー・カラビ・ヤウ・スリーフォールズ 、vol. 22、フィールズ研究所の単行本、p. 194、 ISBN 978-0-8218-3908-9 完全交差のオイラー特性 (PDF) 、 2017-08-15 に オリジナル (PDF)からアーカイブ
外部リンク 
![{\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {F} [x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})}}\right){\xrightarrow {i}}\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf801e16357ab38a7110f6684fd0714bff6b743)
![{\displaystyle [s:t]\mapsto [s^{3}:s^{2}t:st^{2}:t^{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e14b56bfbbb24d7c246f97933bd44bd51e6fda)
![{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}={\text{Proj}}(R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a505ac4bedcaba587a3476cf394cd7e49a3192d)
![{\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(f_{1},f_{2},f_{3})}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da965ecf3793cd02f32981089a2939caa8738964)
![{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6010df4c7996c075536d4c1924627e8c47b4ad55)
