レオンハルト・オイラー

ヨハン・ベルヌーイの二人の息子、ダニエルとニコラウスは、1725年にサンクトペテルブルクのロシア帝国科学アカデミーに就職し、空席が出たらオイラーを推薦してくれると約束した。^{[ 23 ]} 1726年7月31日、ニコラウスはロシアで1年足らずで虫垂炎で亡くなった。^{[ 26 ] [ 27 ]}ダニエルが兄の後を継いで数学・物理学部門に着任した際、自分が空けた生理学のポストを友人のオイラーに任せるよう推薦した。^{[ 23 ]} 1726年11月、オイラーは喜んでその申し出を受け入れたが、バーゼル大学の物理学教授職に応募したものの不採用となり、サンクトペテルブルクへの旅を延期した。^{[ 23 ]}

オイラーは1727年5月にサンクトペテルブルクに到着した。^{[ 23 ] [ 20 ]}彼はアカデミーの医学部の下級職員から数学部の職員に昇進した。彼はダニエル・ベルヌーイと下宿し、彼と緊密に協力して研究を行った。^{[ 28 ]}オイラーはロシア語を習得し、サンクトペテルブルクでの生活に馴染み、ロシア海軍の衛生兵としての仕事も引き受けた。^{[ 29 ]}

ピョートル大帝によって設立されたサンクトペテルブルクのアカデミーは、ロシアの教育を改善し、西ヨーロッパとの科学格差を縮めることを目的としていました。そのため、オイラーのような外国人学者にとって特に魅力的な場所となりました。^{[ 25 ]}アカデミーの恩人であるエカチェリーナ1世は、亡き夫の進歩的な政策を引き継いでいましたが、オイラーがサンクトペテルブルクに到着する前に亡くなりました。^{[ 30 ]}その後、12歳のピョートル2世の即位に伴い、ロシアの保守的な貴族が権力を握りました。^{[ 30 ]}貴族はアカデミーの外国人科学者を疑い、オイラーとその同僚への資金援助を打ち切り、外国人や非貴族の学生がギムナジウムや大学に入学することを阻止しました。^{[ 30 ]}

1730年にピョートル2世が死去し、ドイツの影響を受けたロシアのアンナが権力を握ると、状況はやや改善した。^{[ 31 ]}オイラーはアカデミーで急速に昇進し、1731年に物理学の教授になった。^{[ 31 ]} 1730年、彼はアカデミーの秘書ヨハン・ダニエル・シューマッハーと長きにわたる書簡のやり取りを始め、オイラーがベルリンへ去った後の1757年まで続き、合計300通以上の手紙に及んだ。彼らは科学ニュースを共有し、オイラーはシューマッハーにアカデミーの空席に適した候補者（数学者で天文学者のトビアス・マイヤー、自然哲学者のヨハン・ペーター・エーベルハルト、数学者で哲学者のヨハン・コンラート・シュパンゲンベルクなど）について助言し、科学機器や自身の最新の出版物を送った。 1750年代以降、彼はゲルハルト・フリードリヒ・ミュラーとも同様に文通し、シューマッハーは多くの責任を彼に委任した。^{[ 32 ]}

1731年、オイラーは中尉への昇進を拒否し、ロシア海軍を退役した。^{[ 31 ]} 2年後、サンクトペテルブルクで直面した検閲と敵意にうんざりしたダニエル・ベルヌーイはバーゼルへ向かった。オイラーは彼の後任として数学部門の責任者となった。^{[ 33 ]} 1734年1月、彼はゲオルク・グゼルの娘、カタリーナ・グゼル（1707年 - 1773年）と結婚した。^{[ 34 ]}フリードリヒ2世は1740年に新設したベルリン・アカデミーにオイラーを招聘しようとしたが、オイラーは当初サンクトペテルブルクに留まることを希望した。^{[ 35 ]}しかし、アンナ皇后が亡くなり、フリードリヒ2世が1600エキュ（オイラーがロシアで稼いでいたのと同じ額）を支払うことに同意すると、彼はベルリンへ移ることに同意した。 1741年、彼は視力のために温暖な気候が必要だと主張し、ベルリンへの移住許可を求めた。^{[ 35 ]}ロシアアカデミーはこれに同意し、彼を正会員の一人として年間200ルーブル支払うことになった。^{[ 35 ]}

ロシアの混乱が続くことを懸念したオイラーは、1741年6月にサンクトペテルブルクを離れ、プロイセンのフリードリヒ大王から申し出られていたベルリン科学アカデミーの職に就いた。^{[ 36 ]}彼はベルリンに25年間住み、そこで数百の記事を書いた。^{[ 20 ]} 1748年には関数に関する著書『Introductio in analysin infinitorum』が出版され、1755年には微分積分に関する著書『Institutiones calculi differentialis』が出版された。^{[ 37 ] [ 38 ]} 1755年にはスウェーデン王立科学アカデミー^{[ 39 ]}とフランス科学アカデミー^{[ 40 ]}の外国人会員に選出された。ベルリンでオイラーの著名な弟子には、後に最初のロシアの天文学者とみなされるステパン・ルモフスキーがいた。^{[ 41 ] [ 42 ]} 1748年、彼は最近亡くなったヨハン・ベルヌーイの後任としてバーゼル大学からオファーを受けたが、これを断った。^{[ 20 ]} 1753年、彼はシャルロッテンブルクに家を購入し、家族と未亡人の母と暮らした。^{[ 43 ] [ 44 ]}

オイラーは、アンハルト＝デッサウ公女でフリードリヒの姪であるブランデンブルク＝シュヴェート公女フリーデリケ・シャルロッテの家庭教師となった。彼は1760年代初頭に彼女に200通以上の手紙を書き、それらは後に『ドイツの公女に宛てた自然哲学のさまざまな主題に関するオイラーの手紙』という書物にまとめられた。^{[ 45 ]}この書物には、物理​​学と数学に関するさまざまな主題についてのオイラーの解説が含まれており、オイラーの人格と宗教的信念についての貴重な洞察を提供している。この書物は複数の言語に翻訳され、ヨーロッパとアメリカ合衆国で出版され、彼の数学の著作よりも広く読まれた。この書簡の人気は、オイラーが科学的な事柄を一般の人々に効果的に伝える能力を持っていたことを証明しており、これは献身的な研究者としては珍しい能力である。^{[ 38 ]}

オイラーはアカデミーの名声に多大な貢献をし、ジャン・ル・ロン・ダランベールによって会長候補として推薦されたにもかかわらず、フリードリヒ2世は自ら会長に就任した。^{[ 44 ]}プロイセン国王は宮廷に多くの知識人を抱えており、数学者であるオイラーを、数字や数値以外の事柄については洗練されておらず、知識不足だと考えていた。オイラーは質素で敬虔な宗教家であり、既存の社会秩序や慣習的な信念に疑問を抱くことはなかった。彼は多くの点で、フリードリヒの宮廷で高い地位を享受していたヴォルテールとは正反対の人物だった。オイラーは議論が得意ではなく、しばしば自分がよく知らない話題について議論しようとしたため、ヴォルテールの機知に富んだ攻撃の的となった。^{[ 38 ]}フリードリヒはまた、オイラーの実用的な工学能力にも失望を表明し、次のように述べている。

私は庭に噴水を作りたかったのです。オイラーは、水を貯水池まで汲み上げ、そこから水路を通って流れ落ち、最終的にサンスーシ宮殿に噴き出すのに必要な水車の力を計算しました。私の水車は幾何学的に設計されていたため、貯水池から50歩以内では一口の水さえ汲み上げることができませんでした。虚栄の中の虚栄！幾何学の虚栄！^{[ 46 ]}

しかし、技術的な観点からすれば、その失望はほぼ間違いなく不当なものであった。オイラーとフリードリヒ、そして彼の噴水を建設した人々とのやり取りがうまくいかなかったとしても、オイラーの計算は正しい可能性が高い。^{[ 47 ]}

Throughout his stay in Berlin, Euler maintained a strong connection to the academy in St. Petersburg and also published 109 papers in Russia.^[48] He also assisted students from the St. Petersburg academy and at times accommodated Russian students in his house in Berlin.^[48] In 1760, with the Seven Years' War raging, Euler's farm in Charlottenburg was sacked by advancing Russian troops.^[43] Upon learning of this event, General Ivan Petrovich Saltykov paid compensation for the damage caused to Euler's estate, with Empress Elizabeth of Russia later adding a further payment of 4000 rubles—an exorbitant amount at the time.^[49] Euler decided to leave Berlin in 1766 and return to Russia.^[50]

During his Berlin years (1741–1766), Euler was at the peak of his productivity. He wrote 380 works, 275 of which were published.^[51] This included 125 memoirs in the Berlin Academy and over 100 memoirs sent to the St. Petersburg Academy, which had retained him as a member and paid him an annual stipend. Euler's Introductio in Analysin Infinitorum was published in two parts in 1748. In addition to his own research, Euler supervised the library, the observatory, the botanical garden, and the publication of calendars and maps from which the academy derived income.^[52] He was even involved in the design of the water fountains at Sanssouci, the King's summer palace.^[53]

The political situation in Russia stabilized after Catherine the Great's accession to the throne, so in 1766 Euler accepted an invitation to return to the St. Petersburg Academy. His conditions were quite exorbitant—a 3000 ruble annual salary, a pension for his wife, and the promise of high-ranking appointments for his sons. At the university he was assisted by his student Anders Johan Lexell.^[54] While living in St. Petersburg, a fire in 1771 destroyed his home.^[55]

オイラーの視力は、数学者としてのキャリアを通じて悪化していった。1738年、熱病で死にかけた3年後、^{[ 62 ]}彼は右目がほとんど失明した。オイラーは、サンクトペテルブルク科学アカデミーのために行った地図製作が原因だと考えたが、 ^{[ 63 ]}失明の原因は依然として憶測の域を出ない。^{[ 64 ] [ 65 ]}ドイツ滞在中、オイラーの右目の視力は悪化し、フリードリヒは彼を「キュクロプス」と呼ぶほどだった。オイラーは視力を失ったことについて、「これで気が散ることが少なくなるだろう」と言った。^{[ 63 ]} 1766年、左目に白内障が発見された。白内障の手術で一時的に視力は改善したが、合併症により左目もほぼ完全に失明した。^{[ 40 ]}彼の状態は生産性にはほとんど影響を与えなかったようだ。書記の助けを借りて、オイラーは多くの研究分野で生産性を向上させた。^{[ 66 ]} 1775年には、彼は平均して週に1本の数学論文を発表した。^{[ 40 ]}

1783年9月18日、サンクトペテルブルクで、オイラーは家族と昼食をとった後、アンデルス・ヨハン・レクセルと新たに発見された天王星とその軌道について議論していたところ、脳出血で倒れて亡くなった。^{[ 64 ]}ヤコブ・フォン・シュテーリンはロシア科学アカデミーに短い追悼文を書き、オイラーの弟子の一人であるロシアの数学者ニコラ・フスはより詳細な追悼文を書き、追悼集会でそれを朗読した。 ^{[ 56 ]}フランスの数学者で哲学者のコンドルセ侯爵は、フランス学士院への追悼文で次のように書いている。

... 計算と生活の両方を実現します。

… 彼は計算することも生きることもやめた。^{[ 67 ]}

オイラーはヴァシリエフスキー島のスモレンスク・ルーテル墓地でカタリーナの隣に埋葬された。1837年、ロシア科学アカデミーは草木に覆われた墓碑の代わりに新しい記念碑を設置した。1957年、生誕250周年を記念して、彼の墓はアレクサンドル・ネフスキー修道院のラザレフスコエ墓地に移された。^{[ 68 ]}

オイラーは、数多くの広く普及した教科書を通して、いくつかの表記法を導入し普及させた。最も注目すべきは、関数の概念を導入したことである^{[ 3 ]} 。また、引数xに適用される関数fを表すためにf ( x )と表記したのも彼が最初である。さらに、三角関数の現代的な表記法、自然対数の底を表す文字e（現在はオイラー数としても知られている）、総和を表すギリシャ文字Σ 、虚数単位を表す文字iも導入した^{[ 69 ]}。円周と直径の比を表すためにギリシャ文字πを用いる方法も、ウェールズの数学者ウィリアム・ジョーンズが起源であるが、オイラーによって普及された^{[ 70 ]}。

微積分学の発展は18世紀の数学研究の最前線にあり、オイラーの家族ぐるみの友人であったベルヌーイ家は、この分野の初期の進歩の多くに貢献しました。彼らの影響により、微積分学の研究はオイラーの研究の主要な焦点となりました。オイラーの証明の中には、現代の数学的厳密性の基準では受け入れられないものもありますが^{[ 71 ]}（特に代数の一般性の原理への依存）、彼のアイデアは多くの大きな進歩につながりました。オイラーは、関数を無限に多くの項の和として表現するべき級数の頻繁な使用と発展で解析学においてよく知られています ^{[ 72 ] 。}$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$$

オイラーは冪級数を用いることで、1735年にバーゼル問題を解決し、すべての自然数の平方の逆数の和を求めることができた（1741年にはより詳細な議論を展開した）。バーゼル問題はもともと1644年にピエトロ・メンゴリによって提起され、1730年代にはヤコブ・ベルヌーイによって広く知られるようになった有名な未解決問題となり、当時の多くの著名な数学者が挑戦したが解決には至らなかった。オイラーは次のように結論づけた。^{[ 73 ] [ 74 ] [ 71 ]}

$$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

オイラーは定数を導入した $${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,}$$現在ではオイラー定数またはオイラー・マスケローニ定数 として知られており、調和級数、ガンマ関数、リーマンゼータ関数の値との関係を研究した。^{[ 75 ]}

オイラーは解析的証明において指数関数と対数の使用を導入した。彼は様々な対数関数をべき級数を用いて表現する方法を発見し、負の数や複素数の対数を定義することに成功し、対数の数学的応用範囲を大きく広げた。^{[ 69 ]}彼はまた複素数の指数関数を定義し、三角関数との関係を発見した。任意の実数φ（ラジアンで表される）に対して、オイラーの公式によれば、複素指数関数は以下を満たす 。$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

リチャード・ファインマンはこれを「数学における最も注目すべき公式」と呼んだ。^{[ 76 ]}

上記の公式の特殊なケースはオイラーの恒等式として知られています。 $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

オイラーはガンマ関数を導入して高次超越関数の理論を発展させ^{[ 77 ] [ 78 ]} 、 4次方程式を解く新しい方法を導入した^{[ 79 ]}。彼は複素数限界を持つ積分を計算する方法を見つけ、現代の複素解析の発展を予見した。彼は変分法を発明し、この分野の最適化問題を微分方程式の解に還元するためのオイラー・ラグランジュ方程式を定式化した。

オイラーは、数論の問題を解くために解析的手法を用いる先駆者となった。そうすることで、彼は数学の二つの異なる分野を統合し、解析的数論という新しい研究分野を導入した。この新しい分野の開拓において、オイラーは超幾何級数、q級数、双曲線三角関数、および連分数の解析理論を創り出した。例えば、彼は調和級数の発散を用いて素数の無限性を証明し、解析的手法を用いて素数の分布の仕方について理解を深めた。この分野におけるオイラーの研究は、素数定理の発展につながった。^{[ 80 ]}

オイラーの数論への関心は、サンクトペテルブルク科学アカデミーの友人であったクリスティアン・ゴールドバッハの影響に遡ることができる^{[ 81 ] [ 62 ]} 。オイラーの数論に関する初期の研究の多くは、ピエール・ド・フェルマーの研究に基づいていた。オイラーはフェルマーのいくつかの考えを発展させ、彼の予想のいくつかを否定した。例えば、すべての数が の形をしているという予想などである。$2^{2^{n}}+1}$（フェルマー数）は素数である。^{[ 82 ]}

オイラーは素数の分布の性質を解析学の考え方と結びつけた。彼は素数の逆数の和が発散することを証明した。そうすることで、彼はリーマンゼータ関数と素数の間の関係を発見した。これはリーマンゼータ関数のオイラー積公式として知られている。^{[ 83 ]}

オイラーは、整数 n と互いに素な、整数 n 以下の正の整数の数を表すトーシェント関数 φ( n ) を発明しました。この関数の性質を利用して、フェルマーの小定理を一般化し、現在ではオイラーの定理として知られています。^{[ 84 ]}彼は、ユークリッド以来数学者を魅了してきた完全数の理論に大きく貢献しました。彼は、偶数の完全数とメルセンヌ素数の間の関係(彼が以前に証明したもの) が 1 対 1 であることを証明し、これはユークリッド・オイラーの定理として知られています。^{[ 85 ]}オイラーはまた、二次相互法則を予想しました。この概念は数論における基本定理とみなされており、彼の考えはカール・フリードリヒ・ガウスの研究、特に『算術研究』への道を開きました。^{[ 86 ] 1772年までにオイラーは2 31} − 1 = 2,147,483,647がメルセンヌ素数であることを証明した。これは1867年まで既知の最大の素数であった可能性がある。 ^{[ 87 ]}  

オイラーは整数の分割理論にも大きな貢献をした。^{[ 88 ]}

1735年、オイラーはケーニヒスベルクの七つの橋として知られる問題の解を発表しました。^{[ 89 ]}プロイセンのケーニヒスベルク市はプレゲル川沿いに位置し、7つの橋で互いに、そして本土と繋がった2つの大きな島を含んでいました。問題は、各橋をちょうど一度ずつ渡る経路をたどることが可能かどうかを判定することです。オイラーは、それは不可能であることを示しました。オイラー経路は存在しないのです。この解はグラフ理論の最初の定理と考えられています。^{[ 89 ]}

オイラーはまた、公式を発見した。${\displaystyle V-E+F=2}$凸多面体の頂点、辺、面の数を関連付ける式^{[ 90 ]}、したがって平面グラフの頂点、辺、面の数を関連付ける式である。この式の定数は現在、グラフ（またはその他の数学的対象）のオイラー標数として知られており、対象の種数と関連している^{[ 91 ]} 。この式の研究と一般化、特にコーシー^{[ 92 ]}とリュイリエ[ ^{93 ]による研究は、}トポロジーの起源となっている^{[ 90 ]}。

オイラーの最大の功績のいくつかは、現実世界の問題を解析的に解決することと、ベルヌーイ数、フーリエ級数、オイラー数、定数eとπ、連分数、積分などの数多くの応用を記述することであった。彼はライプニッツの微分積分をニュートンの流率法と統合し、微積分を物理問題に適用しやすくするツールを開発した。彼は積分の数値近似の改善に大きく貢献し、現在オイラー近似として知られるものを発明した。これらの近似の中で最も注目すべきものは、オイラー法^{[ 94 ]}とオイラー・マクローリンの公式^{[ 95 ] [ 96 ] [ 97 ]}である。

オイラーは、工学の基礎となったオイラー・ベルヌーイ梁方程式の開発に貢献した。 ^{[ 98 ]}オイラーは、古典力学の問題に解析ツールをうまく適用しただけでなく、これらの技術を天体の問題にも適用した。天文学における彼の業績は、生涯を通じてパリ科学アカデミー賞を複数回受賞することで認められた。彼の業績には、彗星やその他の天体の軌道を非常に高い精度で決定すること、彗星の性質を理解すること、太陽の視差を計算することなどが含まれる。彼の計算は、正確な経度表の開発に貢献した。^{[ 99 ]}

オイラーは光学において重要な貢献をした。^{[ 100 ]}彼は当時主流だったニュートンの光の粒子説に反対した。^{[ 101 ]} 1740年代の彼の光学に関する論文は、クリスティアーン・ホイヘンスが提唱した光の波動説が、少なくとも光の量子論が発展するまでは、主流の考え方となることを確実にするのに役立った。^{[ 102 ]}

流体力学において、オイラーは1754年にキャビテーション現象を初めて予測した人物であり、これは19世紀後半に初めて観測されるずっと前のことである。流体流れの計算に用いられるオイラー数は、タービンの効率に関する彼の関連研究に由来する。^{[ 103 ]} 1757年には、流体力学における非粘性流に関する重要な一連の方程式を発表し、これは現在オイラー方程式として知られている。^{[ 104 ]}

オイラーは、構造工学において、理想的な支柱の臨界座屈荷重であるオイラー臨界荷重を与える公式でよく知られており、この荷重は支柱の長さと曲げ剛性のみに依存します。^{[ 105 ]}

オイラーは、三段論法を説明するために閉曲線を使用したことで知られています（1768年）。これらの図はオイラー図として知られるようになりました。^{[ 106 ]}

オイラー図は、集合とその関係を表す図式的な手段です。オイラー図は、平面上の単純な閉曲線（通常は円）で構成され、集合を表します。各オイラー曲線は平面を2つの領域、すなわち「ゾーン」に分割します。内側は集合の要素を象徴的に表し、外側は集合の要素ではないすべての要素を表します。曲線の大きさや形状は重要ではなく、図の意義は曲線の重なり方にあります。各曲線によって囲まれた領域間の空間的な関係（重なり、包含、またはどちらでもない）は、集合論的な関係（交差、部分集合、非交差）に対応します。内側のゾーンが交差しない曲線は、互いに素な集合を表します。内側のゾーンが交差する2つの曲線は、共通の要素を持つ集合を表します。両方の曲線の内側のゾーンは、両方の集合に共通する要素の集合（集合の交差）を表します。ある曲線が別の曲線の内側のゾーンに完全に含まれる場合、その曲線は別の曲線の部分集合を表します。

オイラー図（およびそれを改良したベン図）は、1960年代の新しい数学運動の一環として、集合論の指導の一部として取り入れられました。 ^{[ 107 ]}それ以来、特性の組み合わせを視覚化する方法として広く使われるようになりました。^{[ 108 ]}

オイラーは1760年の論文「人類の死亡率と増殖に関する一般的な調査」の 中で、一定の出生率と死亡率を持つ人口が差分方程式を用いて幾何級数的に増加する可能性を示したモデルを作成した。この幾何級数的増加の下で、オイラーはさまざまな人口統計指標間の関係も調べ、観測値が欠落している場合に推定値を生成するためにそれらがどのように使用できるかを示した。約150年後にアルフレッド・J・ロトカが発表した3つの論文（1907年、1911年（FRシャープと共著）、1922年）は、オイラーと同様のアプローチを採用し、安定人口モデルを作成した。これらは20世紀の正式な人口統計モデリングの始まりとなった。^{[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ] [ 112 ] [ 113 ] [ 114 ]}

オイラーの珍しい関心事の一つは、音楽に数学的アイデアを応用することだった。1739年に彼は『Tentamen novae theoriae musicae』（音楽の新理論の試み）を著し、最終的には音楽理論を数学の一部として取り入れたいと考えていた。しかし、この部分は広く注目されず、かつては音楽家には数学的すぎ、数学者には音楽的すぎると評された。^{[ 115 ]}音楽を扱っている場合でも、オイラーのアプローチは主に数学的である。^{[ 116 ]}例えば、オクターブを分数に分割する方法として二進対数を導入した。 ^{[ 117 ]}音楽に関する彼の著作はそれほど多くはない（全著作約3万ページのうち数百ページ程度）が、初期の関心事であり、生涯を通じて彼の関心事であり続けたことを反映している。^{[ 116 ]}

オイラーの音楽理論の最初のポイントは、「ジャンル」の定義、つまり素数 3 と 5 を使用したオクターブの可能な分割です。オイラーは、18 のジャンルを記述し、一般的な定義 2 ^m A で、A はジャンルの「指数」（つまり 3 と 5 の指数の合計）であり、2 ^m（「m は音が知覚できる限り、小さいか大きいかは不定の数」^{[ 118 ]}）は、関係が関係するオクターブの数に関係なく成り立つことを示しています。最初のジャンルは A = 1 で、オクターブ自体（またはその複製）です。2 番目のジャンル 2 ^m .3 は、オクターブを 5 度で分割したもの（5 度 + 4 度、C–G–C）です。3 番目のジャンルは 2 ^m .5 で、長 3 度 + 短 6 度（C–E–C）です。第4ジャンルは 2m ^.3 2、2 ^/ 4と全音 (C–F–B ♭ –C) であり、第5ジャンルは 2m ^.3.5 (C–E–G–B–C) などです。ジャンル 12 (2m ^.3 3 ^.5 )、13 ( ^2m .3 ² .5 ² ) および 14 ( ^2m .3.5 ^{3 ) は、それぞれ古代人の}全音階、半音階、異名同音の修正版です。ジャンル 18 ( ^2m .3 ³ .5 ² ) は「全音階半音階」であり、「一般的にすべての楽曲で使用される」^{[ 119 ]}で、ヨハン・マッテゾンが記述したシステムと同一であることが判明しました。^{[ 120 ]}オイラーは後に、素数 7 を含むジャンルを記述する可能性を構想しました。^{[ 121 ]}

オイラーは、全音階的半音階的ジャンルを説明するために、スペクルム・ムジクムという特定のグラフを考案し^{[ 122 ] [ 123 ]}、ケーニヒスベルクの七つの橋への関心を想起させながら、このグラフにおける特定の音程の経路について論じた（上記参照）。この装置は、新リーマン理論におけるトネッツとして再び注目を集めた（格子（音楽）も参照）。^{[ 124 ]}

オイラーはさらに「指数」の原理を用いて、音程や和音の素因数からその滑らかさ（心地よさ、調和の度合い）を導出することを提案した。ただし、彼が考慮したのは純正律、すなわち素数3と5のみであったことに留意する必要がある。^{[ 125 ]}このシステムを任意の数の素数に拡張した公式が提案されており、例えば次のような形式である。 $${\displaystyle \ ds=\sum _{i}\left(k_{i}\cdot p_{i}-k_{i}\right)+1\ ,}$$ ここで、p _{i は}素数であり、k _{i は}その指数である。^{[ 126 ]}

オイラーは史上最も偉大な数学者の一人として広く認められており、おそらく数学と科学に最も多くの貢献をした人物である。^{[ 8 ]}数学者で物理学者のジョン・フォン・ノイマンはオイラーを「この時代の最も偉大な巨匠」と呼んだ。^{[ 133 ]}数学者のフランソワ・アラゴは「オイラーは、人が呼吸するように、鷲が空中で体を支えるように、何の苦労もなく計算した」と述べた。^{[ 134 ]}彼は一般的に、史上最も偉大な数学者の中でカール・フリードリヒ・ガウス、アイザック・ニュートン、アルキメデスのすぐ下にランク付けされているが、 ^{[ 134 ]}彼らと同等と評価する人もいる。^{[ 135 ]}物理学者で数学者のアンリ・ポアンカレはオイラーを「数学の神」と呼んだ。^{[ 136 ]}

フランスの数学者アンドレ・ヴェイユは、オイラーは同時代の数学者の中でも群を抜いており、誰よりもその時代の数学の指導的立場を確立できたと指摘した。^{[ 133 ]}

18世紀の大半において、オイラーほど純粋数学と応用数学のあらゆる分野で揺るぎない指導的地位を築いた数学者は他にいない。

スイスの数学者ニコラス・フスはオイラーの並外れた記憶力と知識の広さに注目し、次のように述べている。^{[ 5 ]}

彼にとって、いわゆる博識という知識は、決して敵対的なものではなかった。彼はローマの優れた著述家たちの作品をすべて読み、古代数学の歴史を完璧に理解し、あらゆる時代、あらゆる民族の歴史的出来事を記憶しており、些細な歴史的出来事でさえもためらうことなく例を挙げることができた。医学、植物学、化学についても、これらの分野で特に研究を積んだわけではないにもかかわらず、予想以上に深い知識を持っていた。

オイラーは、スイスの10フラン紙幣の第6シリーズ^{[ 137 ]}と第7シリーズ^{[ 138 ]}の両方に描かれ、スイス、ドイツ、ロシアの多数の切手にも登場した。1782年には、アメリカ芸術科学アカデミーの外国人名誉会員に選出された^{[ 139 ]。}小惑星2002 Eulerは、彼にちなんで名付けられた^{[ 140 ]。}