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新リーマン理論は、デイヴィッド・ルーウィン、ブライアン・ハイアー、リチャード・コーン、ヘンリー・クルンペンハウワーといった音楽理論家の著作に見られる、緩やかなアイデアの集合体である。これらのアイデアを結びつけているのは、主音に必ずしも言及することなく、和音同士を直接的に関連付けるという中心的な考え方である。当初、これらの和音は長三和音と短三和音であったが、その後、新リーマン理論は標準的な不協和音にも拡張された。和音の近接性は、声部連結の効率によって特徴的に測られる。したがって、ハ長調とホ短調の三和音は、一方から他方へ移行するのに半音のシフトが1回しか必要としないという点で近接している。近接する和音間の動きは、単純な変換によって記述される。例えば、ハ長調とホ短調の三和音間のどちらの方向への動きも、「L」変換によって実行される。拡張された和音の進行は、和音関係のシステム全体を描写する幾何学的平面、すなわちマップ上に表示されるのが特徴である。合意が得られていないのは、この理論の中心となるものが何であるかという点である。滑らかな声部連結、変換、あるいは幾何学によってマッピングされる関係の体系のどれか。この理論は、シューベルト、リスト、ワーグナー、ブルックナーの作品など、高度な半音階主義を特徴とする後期ロマン派の和声実践を分析する際によく用いられる。[ 1 ]
新リーマン理論は、19世紀の初期の和声理論家から採用された三和音の関係に関する彼の「二元論的」システムを採用したフーゴ・リーマン（1849–1919）にちなんで名付けられました。（「二元論」という用語は、長三和音と短三和音の間の反転関係を強調し、短三和音は長三和音の「逆」バージョンと見なされることを指します。この「二元論」が、上述の方向転換を生み出します。参照：ユートナリティ）1880年代、リーマンは三和音を直接互いに関連付ける変換システムを提案しました。[ 2 ]リーマンの著作のこの側面が、当初構想された二元論的前提とは無関係に復活したのは、デイヴィッド・ルーウィン（1933-2003）によるもので、特に彼の論文「アムフォルタスのティトゥレルへの祈りとパルジファルにおけるDの役割」（1984年）と影響力のある著書『一般化された音楽的音程と変換』（1987年）に端を発している。1990年代と2000年代のその後の発展により、新リーマン理論の範囲は大幅に拡大し、その基本原則のさらなる数学的体系化、そして20世紀のレパートリーや音楽心理学への進出が見られた。[ 1 ]
新リーマン三和音理論の主要な変換は、異なる種類の三和音（長三和音と短三和音）を結びつけ、それぞれが逆変換（2回目の適用で1回目の適用が元に戻る）となる。これらの変換は純粋に和声的なものであり、和音間の特定の声部連結を必要としない。ハ長調からハ短調への三和音の移動はすべて、声部が音域内でどのように配置されているかに関わらず、同じ新リーマン変換を表す。
これら3つの変換は、三和音を構成する3つの音のうち1つを移動させることで、別の三和音を作り出すものです。
Observe that P preserves the perfect fifth interval (so given say C and G there are only two candidates for the third note: E and E♭), R preserves the major third interval (given C and E our candidates are G and A), and L preserves the minor third interval (given E and G our candidates are C and B).
Secondary operations can be constructed by combining these basic operations:
Any combination of the L, P, and R transformations will act inversely on major and minor triads: for instance, R-then-P transposes C major down a minor third, to A major via A minor, whilst transposing C minor to E♭ minor up a minor 3rd via E♭ major.
Initial work in neo-Riemannian theory treated these transformations in a largely harmonic manner, without explicit attention to voice leading. Later, Cohn pointed out that neo-Riemannian concepts arise naturally when thinking about certain problems in voice leading.[6][7] For example, two triads (major or minor) share two common tones and can be connected by stepwise voice leading the third voice if and only if they are linked by one of the L, P, R transformations described above.[8] (This property of stepwise voice leading in a single voice is called voice-leading parsimony.) Note that here the emphasis on inversional relationships arises naturally, as a byproduct of interest in "parsimonious" voice leading, rather than being a fundamental theoretical postulate, as it was in Riemann's work.
ドミトリ・ティモツコは、新リーマン演算と声部連結の関係は近似的なものにすぎないと主張している（下記参照）。[ 9 ]さらに、新リーマン理論の形式主義は声部連結をやや間接的に扱っている。「新リーマン変換」は、上述のように、純粋に和声的な関係であり、必ずしも和音の音符間の特定のマッピングを伴うものではない。[ 7 ]
新リーマン変換は、相互に関連するいくつかの幾何学的構造でモデル化できます。リーマン・トネッツ（右図の「音のグリッド」）は、3 つの協和音程に対応する 3 つの単体軸に沿った音高の平面配列です。長三和音と短三和音は、トネッツの平面をタイル状に敷き詰める三角形で表されます。辺に隣接する三和音は 2 つの共通の音高を共有するため、主要な変換はトネッツの最小移動として表現されます。その名の由来となった歴史上の理論家とは異なり、新リーマン理論は通常、異名同音 (G♯ = A♭) を仮定し、平面グラフをトーラスに巻き付けます。
古典的なトネッツの特定の特徴を分離または拡張する代替的な音調幾何学が新リーマン理論で記述されている。リチャード・コーンは、独立した長三度サイクル内およびサイクル間の動きを記述するためにハイパーヘキサトニックシステムを開発した。これらはすべて、彼が「最大限の滑らかさ」と定式化したものを示している。(Cohn、1996)。[ 6 ]もう一つの幾何学的図形であるキューブダンスは、ジャック・ダウセットによって発明された。これはトネッツの幾何学的双対を特徴としており、三角形の代わりに三和音が頂点であり(Douthett and Steinbach、1998)、拡大三和音が散りばめられているため、より滑らかな声部連結が可能になっている。
新リーマン理論に関連する多くの幾何学的表現は、クリフトン・カレンダー、イアン・クイン、ドミトリ・ティモツコによって探求された連続的な声部連結空間によって、より一般的な枠組みに統合されています。この研究は2004年に始まり、カレンダーは、3音の「コードタイプ」（「長三和音」など）を表す点を持つ連続空間を記述し、その空間を使用して、ある音から別の音へと連続的に移動する「連続変換」をモデル化しました。[ 10 ]その後、ティモツコは、カレンダーの空間の経路が特定の声部連結クラス（ティモツコ2008で議論されている「個別にT関連」の声部連結）と同型であることを示し、新リーマン理論の空間により近い空間のファミリーを開発しました。ティモツコの空間では、点は一般的なコードの種類（「長三和音」など）ではなく、任意のサイズの特定のコード（「ハ長調」など）を表します。[ 7 ] [ 11 ]最後に、カレンダー、クイン、ティモツコは、これらの空間と、音楽理論上のさまざまな特性を表す他の多くの幾何学的空間を結びつける統一的な枠組みを共同で提案しました。[ 12 ]
ハーモニックテーブルの音符レイアウトは、このグラフィカル表現を現代的に実現し、音楽インターフェースを作成するものです。
2011年、ジル・バロワンは、グラフ理論に基づいた新しい可視化システムであるPlanet-4Dモデル[ 13 ]を発表した。このシステムは、従来のTonnetzを4D超球面に埋め込んでいる。Tonnetzの最近の連続バージョンとして、元の形式と双対形式の両方で表現される位相のトーラス[ 14 ]があり、これにより、例えば初期ロマン派音楽[ 15 ]などにおいて、さらに細かい分析が可能になる。
新リーマン理論家は、コード進行を、共通音を 2 つ保持する唯一の 3 つの基本的な LPR 変換の組み合わせとして分析することが多い。したがって、ハ長調からホ長調への進行は、L から P と分析することができ、これは 2 つの変換を含むため 2 単位の動きである。(同じ変換により、ハ短調は変イ短調になる。ハ短調の L は変イ短調であり、変イ短調のP は変イ短調だからである。) これらの距離は、ボイス リーディングを不完全にしか反映していない。[ 9 ]例えば、共通音の保持を優先する新リーマン理論の流派によれば、ハ長調は R から L によってハ長調に変換できるのに対し、ハ長調からハ短調 (R から L から P) へは 3 つの動きが必要となるため、ハ長調の三和音はハ短調よりもハ長調に近い。しかし、半音階的な声部連結の観点から見ると、FマイナーはCメジャーよりもCメジャーに近い。なぜなら、FマイナーをCメジャーに変換するには半音2つ（A ♭ →GとF→E）の動きしか必要ないのに対し、FメジャーをCメジャーに変換するには半音3つ必要だからである。したがって、LPR変換では、19世紀の和声の基本ルーチンの1つであるIV-iv-I進行の声部連結効率を説明することはできない。[ 9 ]共通音についても同様のことが言えることに注意。トネッツでは、FマイナーとE ♭マイナーはどちらもCメジャーから3ステップ離れているが、FマイナーとCメジャーには共通音が1つあるのに対し、E ♭マイナーとCメジャーには共通音がない。
これらの相違の根底には、2つの共通音が共有されるときにハーモニック近接性が最大化されるのか、それとも全体の声部連結距離が最小化されるときに最大化されるのかについての考え方の違いがある。例えば、R変換では、1つの声部が全音ずつ移動する。N変換やS変換では、2つの声部が半音ずつ移動する。共通音の最大化が優先される場合、R変換の方が効率的である。声部連結の効率を個々の声部の動きの合計で測定する場合、変換の効率は同等である。初期の新リーマン理論では、これら2つの概念が混同されていた。より最近の研究では、これらが分離され、共通音の保存とは無関係に、声部連結の近接性によって一方的に距離が測定されるようになった。したがって、「一次」変換と「二次」変換の区別が問題となる。1992年にはすでに、ジャック・ドゥーセットは、R関連の三和音の間に増三和音を補間することによって、三和音間の声部連結の正確な幾何学的モデルを作成し、それを「キューブダンス」と呼んだ。[ 16 ]ダウテットの図は 1998 年に発表されましたが、その声部連結のモデルとしての優位性は、カレンダー、クイン、ティモツコの幾何学的研究の後、ずっと後になってようやく十分に認識されました。実際、「キューブ ダンス」と新リーマンの「トネッツ」の最初の詳細な比較は、ダウテットが最初にその図を発見してから 15 年以上後の 2009 年に発表されました。[ 9 ]この研究の流れでは、三項変換は新リーマン理論の初期段階で保持していた基礎的な地位を失います。声部連結の近接性によって生じる幾何学が中心的な地位を獲得し、変換は、標準ルーチンを定義する特性ではなく、特定の種類の標準ルーチンのヒューリスティックなラベルになります。
新リーマン理論は、三和音進行への応用にとどまらず、その後数多くの研究に影響を与えてきた。その例としては以下のようなものがある。
これらの拡張の中には、新リーマン理論と同様に、馴染みのある調性和音間の非伝統的な関係性に関心を寄せているものもあれば、声部連結の近接性や和声変換を、特徴的に無調的な和音に適用するものもある。