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集合論（数学の一分野）において、原初要素（ドイツ語の接頭辞ur- 、 「原始的な」に由来）とは、集合ではないが、集合の要素になり得る対象のことである。これは原子または個体とも呼ばれる。原初要素は空集合とも同一ではない。
一次理論において、ウレ要素を扱う方法はいくつかあるが、本質的には同等である。
一つの方法は、集合とウレメントという2つのソートを持つ一階述語論理で、a ∈ bはbが集合の場合にのみ定義されるという考え方である。この場合、Uがウレメントであれば、次のように言うのは意味がない。、 それでもそれは完全に合法です。
別の方法としては、集合とウレエレメントを区別するために単項関係を用いる、一元配置理論を採用する方法がある。空でない集合は要素を持つが、ウレエレメントは要素を持たないため、単項関係は空集合とウレエレメントを区別するためだけに必要となる。ただし、この場合、外延性の公理はウレエレメントではない対象にのみ適用されるように定式化する必要があることに注意されたい。
この状況は、集合論やクラス論の扱い方に類似している。実際、ウレエレメントはある意味で真のクラスと双対関係にある。ウレエレメントは要素を持つことができないのに対し、真のクラスは要素を持つことができない。言い換えれば、ウレエレメントは最小の対象であり、真のクラスはメンバーシップ関係によって最大の対象となる（もちろん、メンバーシップ関係は順序関係ではないので、この類似性を文字通りに解釈してはならない）。
1908 年のZermelo集合論には urelement が含まれており、そのため現在では ZFA または ZFCA (つまり選択公理付き ZFA ) と呼ばれるバージョンです。[ 1 ]この集合論および密接に関連する公理的集合論の文脈では、urelement は不要であることがすぐに認識されました。なぜなら、urelement のない集合論で簡単にモデル化できるからです。[ 2 ] そのため、標準的な公理的集合論ZFおよびZFC の説明では urelement については言及されていません (例外については Suppes [ 3 ]を参照)。urelementを使用する集合論の公理化には、urelement を含む Kripke–Platek 集合論と、Mendelson によって記述されたVon Neumann–Bernays–Gödel 集合論の変種が含まれます。[ 4 ]型理論では、型 0 のオブジェクトは urelement と呼ばれることがあります。そのため「原子」という名前が付けられています。
ツェルメロは集合論にウレレメントを残すことを主張し、空集合をウレレメントの特殊な場合とみなした。[ 5 ] :公理 U 1930年、彼は超限再帰階層を構築した。これは現代のフォン・ノイマン階層の前身だが、ウレレメントが含まれている。[ 5 ] : 36–40ウレレメントはモデル理論、特にフランケル・モストフスキーモデルでも有用である。[ 6 ]
ウレレメントを新基礎体系 (NF) に追加してNFU を生成すると、驚くべき結果が生じる。特に、Jensen は[ 7 ]ペアノ算術に関して NFU の無矛盾性を証明した。一方、NF の無矛盾性は、ZF に関して Holmes による無矛盾性の証明が検証されるまで、未解決の問題のままである。さらに、NFU は無限公理と選択公理を追加しても比較的無矛盾性を保つ。一方、選択公理の否定は NF の定理である。Holmes (1998) はこれらの事実を、NFU が NF よりも数学のより成功した基礎であるという証拠としている。Holmes はさらに、集合論はウレレメントがある場合の方がない場合よりも自然であると主張している。なぜなら、任意の理論または物理宇宙の対象をウレレメントとして取ることができるからである。[ 8 ]有限集合論では、要素は対象現象の最低レベルの構成要素、例えば物理的物体の原子構成要素や組織のメンバーにマッピングされます。
ウレエレメントに対する別のアプローチは、それらを集合以外の種類のオブジェクトとしてではなく、特定の種類の集合として考えることである。クワイン原子（ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインにちなんで命名）は、それ自体のみを含む集合、つまり、式x = { x } を満たす集合である。[ 9 ]クワイン原子は、正則性の公理を含む集合論のシステムには存在できないが、非整礎集合論には存在できる。
クワインは、外延性の公理を変更せずに原子を形式化する方法として、自身の数理論理学[ 10 ]でクワイン原子（「個体」と呼ばれる）を導入した。数理論理学の体系はクワインの新基礎論（NF）の拡張であり、NFはクワイン原子のような非整基礎集合を許容する。実際、NF（またはNFU）の一貫性を仮定すると、クワイン原子が全くないモデル、1つのクワイン原子を持つモデル、または多くのクワイン原子を持つモデルが存在する。[ 11 ]
しかし、「 xはクワイン原子である」は階層化された文ではないため、クワイン原子は NF における原子の適切な扱いとは言えません。一方では、これは階層化された内包表記ではクワイン原子を他の集合から分離できないことを意味します。他方では、クワイン原子は構造のない原子では正当化できないいくつかの構成を可能にします。たとえば、クワイン原子の集合Sが与えられた場合、各x ∈ Sからその単一集合{ x } (これはS上の恒等写像に他なりません) への写像を簡単に構成できます。したがって、クワイン原子を用いた NF のモデルは、通常、すべての原子の集合の濃度がすべての集合の濃度よりも大きい NFU のモデルとは大きく異なります。この違いの重要性は、NFU が選択公理と整合しているのに対し、NF は整合していないという事実によって証明されます。[ 12 ]
NF の場合と同様に、正則性の公理を除去した ZF 集合論では、非整礎集合が存在することを証明することはできません (矛盾している場合は任意の命題を証明します) が、クワイン原子の存在とは両立します。アツェルの反基礎公理は、一意のクワイン原子が存在することを意味します。他の非整礎理論では、多くの異なるクワイン原子が認められる場合があります。スペクトルの反対側には、異なるクワイン原子が適切なクラスを形成することを意味するボッファの超普遍性の公理があります。[ 13 ]
クワイン原子は、ピーター・アツェルによって反射的集合と呼ばれる唯一の集合である[ 13 ]が、ジョン・バーワイズやローレンス・モスなどの他の著者は、後者の用語を、x ∈ xという性質を持つより大きな集合のクラスを表すために使用している[ 14 ] : 57
