カール・ゲオルク・クリスティアン・フォン・シュタウト （1798年1月24日 - 1867年6月1日）は、総合幾何学 を用いて算術の基礎を築いたドイツの数学者である。
人生と影響 カールは、現在のドイツのローテンブルク・オプ・デア・タウバー にあたる、自由帝国都市ローテンブルクで生まれた。1814年からアウスバッハのギムナジウムで学び、1818年から1822年までゲッティンゲン大学 に在籍し、天文台長であったガウスに師事した。シュタウトは 火星 と小惑星 パラス の軌道暦を 作成した。1821年にニコレット・ポンス彗星 が観測された際には、その軌道 要素を算出した。これらの天文学における業績により、1822年に エアランゲン大学 から博士号を授与された。
シュタウトの職業人生は、1827年までヴュルツブルク の中等学校教師として始まり、その後1835年までニュルンベルクで教鞭 を執った。彼は1832年にジャネット・ドレシュラーと結婚した。二人の間には息子エドゥアルトと娘マチルダが生まれたが、ジャネットは1848年に亡くなった。
『位置幾何学 』 （1847年）は射影幾何学 における画期的な著作であった。ブラウ（1976年）は次のように述べている。
シュタウトは、完全に厳密なアプローチを採用した最初の人物だった。例外なく、彼の先人たちは依然として、射影幾何学では役割を果たさない距離、垂線、角度、その他の実体について語っていた。[ 1 ] さらに、この本（43ページ）では、完全四角形を 使用して「直線上の3点に関連付けられた第4高調波」、射影高調波共役を 構成しています。
実際、1889年にマリオ・ピエリは フォン・シュタウトの著作を翻訳し、その後『I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo 』（1898年）を執筆した。1900年にはブリンマー大学 のシャーロット・スコット がフォン・シュタウトの著作の多くを英語に言い換えて『The Mathematical Gazette』 に掲載した。[ 2 ] ヴィルヘルム・ブラシュケが1948年に 教科書 『Projective Geometry』 を出版した際、序文の 反対側に若き日のカールの肖像画が掲載された。
シュタウトは、1856年から1860年にかけて出版された3巻からなる『Beiträge zur Geometrie der Lage（位置 の幾何学に関する貢献）』の中で、実際の射影幾何学を超えて複雑な射影空間 へと踏み込んだ。
1922年、HF・ベイカーは フォン・シュタウトの作品について次のように書いた。
距離と合同の概念を排除することを意識的に目指したのはフォン・シュタウトであったが、ケイリーとクラインによる射影距離理論の研究がなければ、この重要性の認識ははるかに遅れていたかもしれない。一般化され、その後のリーマンの博士論文と結びついたフォン・シュタウトの著作は、物理学における相対性理論の 幾何学的側面の基礎となるものと見なされるべきである。[ 3 ] フォン・シュタウトは、円錐曲線 に関する見解や、極と極座標 の関係についても記憶されている。
フォン・シュタウトは、円錐曲線が極と極線の間に確立する関係は、円錐曲線自体よりも根本的であり、独立して設定できるという重要な発見をした。この「極性」は、完全に対称で即座に自己双対となる方法で円錐曲線を定義する ために使用できる。円錐曲線は、極線上にある点の軌跡、または極を通る直線の包絡線にすぎない。フォン・シュタウトの二次曲面 の扱いは、3 次元で同様である。[ 4 ]
投擲の代数 1857年、第2回論文で、フォン・シュタウトは、 投射代数 （ドイツ語 ： Wurftheorie 射影範囲と 射影調和共役 の関係に基づいている。点の加算と乗算の操作によって、ヴェブレンとヤングの射影幾何学の教科書の第6章にあるように、「点の代数」が得られる。通常の表現は、 4つの共線点の交差比 （CA、BD ）に基づいている。例えば、クーリッジは次のように書いている。[ 5 ]
2 つの距離を足し合わせるにはどうすればよいでしょうか。同じ開始点を与え、それらの終点の中間点、つまりそれらの終点に関する無限大の調和共役点を見つけ、次にこの中間点と無限大に関する開始点の調和共役点を見つけます。これを一般化すると、スロー ( CA,BD ) と ( CA,BD' ) を足し合わせる場合、 D とD' に関するC の調和共役点M を 見つけ、次にC とM に関するA の調和共役点S を 見つけます。 （ C A 、 B D ） + （ C A 、 B D ′ ） = （ C A 、 B S ） 。 {\displaystyle (CA,BD)+(CA,BD')=(CA,BS).\ } 同様に、2回の投擲の積の定義も見つけることができます。2つの数の積は、一方の数と他方の数の比率が1と等しいので、2つの数の比率は、それらがペアとして無限大と0と持つ交差比率です。したがって、フォン・シュタウトは、前述の表記法で、2回の投擲の積を次のように定義しています。 （ C A 、 B D ） ⋅ （ C A 、 D D ′ ） = （ C A 、 B D ′ ） 。 {\displaystyle (CA,BD)\cdot (CA,DD')=(CA,BD')。} これらの定義には、このように定義された代数が通常の交換法則、結合法則、分配法則を満たし、ゼロの約数が存在しないことを示すための長い一連の手順が含まれる。 要約文は、Veblen & Young [ 6 ] P ∞ {\displaystyle P_{\infty }} フィールドを形成する」。フロイデンタールが指摘するように [ 7 ] ：
ヒルベルトまで、フォン・シュタウトの『Beiträge』 に見られるような、幾何学的公理から代数法則を直接導出する例は他にない。フォン・シュタウトの調和共役に関する研究を裏付けるもう一つの証拠は、定理という形で示されている。
直線上の実点間の一対一対応で、4点間の調和関係を保持する唯一のものは、非特異射影である。[ 8 ] 投擲の代数は、ジョン・スティルウェル （2005）によって「射影算術」と表現された。[ 9 ]
本当の難しさは、例えばa + b の構成がb + a の構成とは異なるため、a + b = b + aが成り立つのは「偶然」であるという点にある。同様に、 ab = ba が成り立つ場合も、他の代数法則が成り立つのは「偶然」である。幸いなことに、必要な一致は実際に起こることを示すことができる。なぜなら、それらはパップスの定理やデサルグの定理といった特定の幾何学的一致によって導かれるからである。 フォン・シュタウトの業績を実数の構成 と解釈するならば、それは不完全である。必要な性質の一つは、有界数列が集積点を 持つことである。ハンス・フロイデンタールが 指摘したように、
フォン・シュタウトのアプローチを射影幾何学の厳密な基礎とみなすためには、フォン・シュタウトが暗黙のうちに用いている位相公理を明示的に追加するだけでよい。…計量の支えなしに射影空間の位相を どのように定式化できるだろうか？フォン・シュタウトは、四半世紀後に喫緊の課題となるこの問題を提起するにはまだ程遠いところまで来ていた。…フェリックス・クラインはフォン・シュタウトのアプローチの欠陥に気づき、射影空間の位相を ユークリッド空間 とは独立して定式化する必要性を認識していた。…フォン・シュタウトが解決しようとした、純粋に射影的な射影幾何学の基礎の問題に対して、真に満足のいく解決策を最初に発見したのはイタリア人であった。[ 7 ] イタリアの数学者の一人、ジョヴァンニ・ヴァイラティは、 実射影直線の 円順序 特性を研究した。この順序の科学には、点対分離 と呼ばれる四元関係 が必要である。この関係を用いることで、単調列と極限の概念を、巡回的な「直線」の中で扱うことができる。すべての単調列が極限を持つと仮定すると、[ 10 ] 完備空間 となる。これらの発展は、フォン・シュタウトによる体公理 の演繹に触発されたものであり、体の性質の導出におけるイニシアチブとなった。R {\displaystyle \mathbb {R} }
作品 位置の幾何学 、1847年1831:ユーバー・ダイ・クルヴェン、2. オードナング 。ニュルンベルク 1845: De numeris Bernoullianis: 哲学の儀式に関する解説 、キャロル。 G. Chr.デ・シュタウト。エルランゲ：ジュンゲ。 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatuAcademico rite obtinendi causa commentatus est 、キャロル。 G. Chr.デ・シュタウト。エルランゲ：ジュンゲ。 以下のリンクは、コーネル大学の 歴史的数学モノグラフへのリンクです。
1847年:幾何学模様。ニュルンベルク。 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage、Erstes Heft。ニュルンベルク。 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage、Zweites Heft。ニュルンベルク。 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage、Drittes Heft。ニュルンベルク。 
