ジョエル・デイビッド・ハムキンス

集合論において、ハムキンスは大きな基数の不滅現象を調査し、小さな強制によって超コンパクト基数や他の大きな基数の不滅性が必然的に損なわれることを証明し^{[ 15 ]}、不滅性を強制する一般的な方法として宝くじ準備を導入した^{[ 16 ]} 。ハムキンスは強制の様相論理を導入し、ベネディクト・レーヴェと共に、 ZFCが無矛盾であれば、ZFCで証明可能な強制の原理はS4.2として知られる様相理論の原理と全く同じであることを証明した^{[ 17 ]} 。ハムキンス、リネツキー、ライツは、ゲーデル・ベルネイス集合論のすべての可算モデルは、すべての集合とクラスがパラメータなしで定義可能な点ごとの定義可能モデルへのクラス強制拡張を持つことを証明した^{[ 18 ]} 。ハムキンスとライツは、集合論的宇宙は集合強制によるいかなる内部モデルの強制拡張でもないと主張する基礎公理を導入した。ハムキンスは、集合論の任意の2つの可算モデルは埋め込み可能性によって比較可能であり、特に、集合論のすべての可算モデルは、それ自身の構成可能な宇宙に埋め込まれることを証明した。^{[ 19 ]}

ハムキンスは哲学的著作の中で、数学的真理のマルチバース観を擁護し、 ^{[ 20 ] [ 21 ]}多様な集合概念が、異なる数学的真理の理論を持つ異なる集合論的宇宙を生み出すと主張している。例えば、連続体仮説の問題は、「マルチバースにおけるその振る舞いに関する我々の広範な知識によってマルチバース観では解決されており、その結果、以前期待されていた方法ではもはや解決できない」と主張している。(Hamkins 2012)エリオット・メンデルソンは、ハムキンスの集合論的マルチバースに関する研究について、「その結果として得られた研究は、新しい幻想的で、時には当惑させるような概念と結果の集合であり、すでに集合論の新しい分野とも言えるものが花開いている。この画期的な論文は、著者と…他の人々によって先導された驚くほど豊かな発展を垣間見せてくれる…」と書いている。^{[ 22 ]}

ハムキンスは、可能性主義の哲学のモデル理論的説明を研究した。オイスタイン・リンネボとの共同研究で、彼は集合論的可能性主義のいくつかのバリエーションを紹介した。^{[ 23 ]}彼は、算術における可能性主義的概念についても同様の分析を行い、特にW・ヒュー・ウッディンの普遍アルゴリズムを用いて、PAのモデルをさまざまな自然な拡張概念の下で扱った。さらに共同研究で、ハムキンスとウッディンは、その結果の集合論的一般化を提供した。ハムキンスは、オックスフォード大学の博士課程学生であるヴォイチェフ・アレクサンダー・ウォウォシンとの共同研究で、様相モデル理論の一般的な説明を構築した。^{[ 24 ]}

ハムキンスは、ジェフ・キダーとアンディ・ルイスと共に、ハイパーコンピューティングの分野の一部である無限時間チューリングマシンの理論を導入し、記述集合論と関連付けました。^{[ 25 ]}

他の計算可能性に関する研究では、ハムキンスとミアスニコフは、チューリングマシンの古典的な停止問題は決定不能であるにもかかわらず、漸近確率が 1 の集合上で決定可能であることを証明しました。これは、難しい問題や解決不可能な問題が平均的には容易であることを示す、一般的なケースの複雑性に関するいくつかの結果の 1 つです。 ^{[ 26 ]}

群論において、ハムキンスはすべての群が終端超限自己同型タワーを持つことを証明した。^{[ 27 ]}彼はサイモン・トーマスと共に、群の自己同型タワーの高さは強制によって変更できることを証明した。

ハムキンスは、無限チェス、無限ドラフツ、無限ヘックスなど、いくつかの無限ゲームを研究した。無限チェスに関しては、ハムキンス、ブルムレーブ、シュリヒトは、無限チェスのn手詰め問題が決定可能であることを証明した。^{[ 28 ]}ハムキンスとエヴァンスは、無限チェスにおける超限ゲーム値を研究し、すべての可算順序数が無限3次元チェスの局面のゲーム値として現れることを証明した。^{[ 29 ]}ハムキンスとダヴィデ・レオネッシは、すべての可算順序数が無限ドラフツのゲーム値として現れることを証明した。^{[ 30 ]}また、無限ヘックスは引き分けであることも証明した。^{[ 31 ]}

1980年代にカリフォルニア工科大学の学部生だったハムキンスは、ブルース・ティーマンと共に、後にサイトスワップ・ジャグリング記法として知られるようになる記法を開発するなど、ジャグリングの数学理論に貢献した。