一貫性

古典的な演繹論理では、矛盾のない 理論とは、論理的矛盾を生じない理論のことである。^[1]理論は、とその否定がの結果の集合の要素となるような公式が存在しない場合に矛盾がない。をの集合の閉じた文（非公式には「公理」）と、何らかの（明示的、場合によっては暗黙的）形式的演繹体系で証明可能な の集合とする。および となるような公式が存在しない場合に、公理の集合は矛盾がない。自明な理論（すなわち、理論の言語ですべての文を証明する理論）は明らかに矛盾している。逆に、爆発的な形式体系（例えば、古典的または直観主義的な命題論理または一階述語論理）では、矛盾する理論はすべて自明である。^{[2] : 7}理論の矛盾は統語論的概念であり、その意味論的対応物は充足可能性である。理論が満足可能であるのは、モデルがある場合、つまり理論内のすべての公理が真となる解釈が存在する場合です。 ^[3]これは伝統的なアリストテレス論理学における「無矛盾」の意味ですが、現代の数理論理学では「満足可能」という用語が代わりに使用されています。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \lnot \varphi }$${\displaystyle T}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle A\rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi \in \langle A\rangle }$${\displaystyle \lnot \varphi \in \langle A\rangle }$

健全な形式体系では、すべての満足可能な理論は矛盾がないが、その逆は成り立たない。特定の演繹論理で定式化された任意の理論に対してこれらの意味的定義と統語的定義が同等である演繹体系が存在する場合、その論理は完全であると呼ばれる。^[要出典]命題論理の完全性は1918年にポール・バーネイズ^{[要出典] [4]}と1921年にエミール・ポスト^[5]によって証明され、 （一階）述語論理の完全性は1930年にクルト・ゲーデル^[6]によって証明され、帰納公理スキームに関して制限された算術の矛盾のない証明はアッカーマン（1924）、フォン・ノイマン（1927）、ヘルブラント（1931）によって証明された。^[7]二階論理などのより強い論理は完全ではない。

無矛盾性証明とは、特定の理論が無矛盾であることを数学的に証明することです。 ^[8]数学的証明理論の初期の発展は、ヒルベルトのプログラムの一部として数学全体に対する有限無矛盾性の証明を提供したいという願望によって推進されました。ヒルベルトのプログラムは不完全性定理に強く影響されました。不完全性定理は、十分に強力な証明理論ではその無矛盾性を証明できないことを示し（無矛盾であると仮定した場合）、

一貫性はモデル理論を使用して証明できますが、多くの場合、論理のモデルを参照する必要なく、純粋に構文的な方法で行われます。カット除去(または、存在する場合は基礎となる計算の正規化) は、計算の一貫性を意味します。カットフリーの偽証明は存在しないため、一般に矛盾は存在しません。

ペアノ算術などの算術理論では、理論の一貫性と完全性の間には複雑な関係があります。理論は、その言語のすべての式 φ に対して、少なくとも φ または ¬φ の 1 つが理論の論理的帰結である場合に完全です。

プレスブルガー算術は、加算における自然数の公理体系です。一貫性があり、完全です。

ゲーデルの不完全性定理は、十分に強い再帰的に可算な算術理論は、完全かつ一貫性のある理論にはなり得ないことを示しています。ゲーデルの定理は、ペアノ算術(PA) と原始再帰算術(PRA)の理論には適用されますが、プレスブルガー算術には適用されません。

さらに、ゲーデルの第二不完全性定理は、十分に強い再帰的列挙可能な算術理論の無矛盾性が特定の方法でテストできることを示している。そのような理論は、理論のゲーデル文と呼ばれる特定の文を証明しない場合にのみ無矛盾である。ゲーデル文とは、理論が確かに無矛盾であるという主張の形式化されたステートメントである。したがって、十分に強く、再帰的列挙可能で無矛盾な算術理論の無矛盾性は、そのシステム自体では決して証明できない。同じ結果は、十分に強い算術の断片を記述できる再帰的列挙可能な理論（ツェルメロ-フランケル集合論（ZF）などの集合論を含む）にも当てはまる。これらの集合論は、一般に信じられているように無矛盾である限り、それ自身のゲーデル文を証明することはできない。

ZFの一貫性はZFでは証明できないので、より弱い概念相対的な一貫性は集合論（および十分に表現力のある他の公理系）において興味深いものです。Tが理論でA が追加の公理、Tが一貫しているT+Aと証明できるなら、T+ATに対して一貫（または単にATと一貫しているます。Aと ¬A のTと一貫している、A はTから独立していると言われます。

数理論理学の次の文脈では、回転木馬の記号 は「から証明可能」を意味します。つまり、次のように読みます: b はaから証明可能です(特定の形式体系で)。 ${\displaystyle \vdash}$${\displaystyle a\vdash b}$

• 第一階述語論理における式 の集合は、かつ となる式が存在しない場合、矛盾がない（と表記される）と表現される。 それ以外の場合、は矛盾している（ と表記される）。${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$${\displaystyle \Phi \vdash \lnot \varphi }$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi}$のどの式に対してもと の否定が の定理である場合、は単矛盾がないと言われます。^{[説明が必要]}${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Phi}$
• ${\displaystyle \Phi}$の言語における少なくとも 1 つの式が の定理でない場合、 は絶対的に無矛盾である、またはポスト無矛盾であると言われます。${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi}$
• ${\displaystyle \Phi}$が最大限に一貫しているとは、 が矛盾せず、すべての式 に対して が成り立つ場合を言います。${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \operatorname {Con} (\Phi \cup \{\varphi \})}$${\displaystyle \varphi \in \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi}$が証拠を含むとは、形式のすべての式に対して、となる項が存在する場合を言う。ここで、はの各を で置き換えることを表す。一階述語論理も参照のこと。^[要出典]${\displaystyle \exists x\,\varphi }$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle (\exists x\,\varphi \to \varphi {t \over x})\in \Phi }$${\displaystyle \varphi {t \over x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle t}$

1. 以下は同等です:
   1. ${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$
   2. 全ての${\displaystyle \varphi ,\;\Phi \vdash \varphi .}$
2. あらゆる満足可能な式の集合は一貫しています。ただし、式の集合が満足可能であるのは、となるモデルが存在する場合のみです。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}\vDash \Phi }$
3. 全員および： ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varphi }$
   1. そうでない場合は、${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$
   2. かつならば;​${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$
   3. の場合、または です。${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$
4. を最大限矛盾のない式の集合とし、それが証拠を含むものとします。すべてのおよびに対して: ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$
   1. もし、ならば、${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$${\displaystyle \varphi \in \Phi }$
   2. どちらか、${\displaystyle \varphi \in \Phi }$${\displaystyle \lnot \varphi \in \Phi }$
   3. ${\displaystyle (\varphi \lor \psi )\in \Phi }$またはの場合に限り、${\displaystyle \varphi \in \Phi }$${\displaystyle \psi \in \Phi }$
   4. かつならば、​${\displaystyle (\varphi \to \psi )\in \Phi }$${\displaystyle \varphi \in \Phi }$${\displaystyle \psi \in \Phi }$
   5. ${\displaystyle \exists x\,\varphi \in \Phi }$となる項が存在する場合に限ります。^[要出典]${\displaystyle t}$${\displaystyle \varphi {t \over x}\in \Phi }$

を記号の集合とします。を証拠を含む -式の最大一貫性集合とします。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle S}$

が等式 を表す場合、項の集合に対する同値関係 を によって定義します。を含む項の同値類を で表し、 が記号の集合に基づく項の集合であるとします。 ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle S}$${\displaystyle t_{0}\sim t_{1}}$${\displaystyle \;t_{0}\equiv t_{1}\in \Phi }$${\displaystyle \equiv }$${\displaystyle {\overline {t}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T_{\Phi }:=\{\;{\overline {t}}\mid t\in T^{S}\}}$${\displaystyle T^{S}}$${\displaystyle S}$

上の-構造（ に対応する項構造とも呼ばれる）を次のように定義します。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\Phi }}$${\displaystyle T_{\Phi }}$${\displaystyle \Phi }$

1. 各-ary 関係記号に対して、^[9]を定義する。${\displaystyle n}$${\displaystyle R\in S}$${\displaystyle R^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}{\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}}$${\displaystyle \;Rt_{0}\ldots t_{n-1}\in \Phi ;}$
2. 各-ary 関数記号に対して、定義する${\displaystyle n}$${\displaystyle f\in S}$${\displaystyle f^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}({\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}):={\overline {ft_{0}\ldots t_{n-1}}};}$
3. 各定数記号について、定義する${\displaystyle c\in S}$${\displaystyle c^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}:={\overline {c}}.}$

各変数 に対して による変数割り当てを定義します。を に関連付けられた項解釈とします。 ${\displaystyle \beta _{\Phi }}$${\displaystyle \beta _{\Phi }(x):={\bar {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }:=({\mathfrak {T}}_{\Phi },\beta _{\Phi })}$${\displaystyle \Phi }$

次に、各式について: ${\displaystyle S}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi }$もし、その場合に限り^[要出典]${\displaystyle \;\varphi \in \Phi .}$

検証すべきことがいくつかあります。まず、 は実際に同値関係です。次に、(1)、(2)、(3) が適切に定義されていることを検証する必要があります。これは、 が同値関係であるという事実から導き出され、(1) と (2) がクラス代表の選択とは無関係であることの証明も必要です。最後に、は式の帰納法によって検証できます。 ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi }$

古典的な一階述語論理を伴うZFC集合論において、^[10]矛盾した理論とは、 とその否定の両方を含む閉じた文が存在する理論である。矛盾のない理論とは、以下の論理的に同値な条件が成り立つ 理論である。${\displaystyle T}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi '}$

1. ${\displaystyle \{\varphi ,\varphi '\}\not \subseteq T}$^[11]
2. ${\displaystyle \varphi '\not \in T\lor \varphi \not \in T}$

Wikiquote に一貫性に関する引用があります。

• 認知的不協和
• 等一貫性
• ヒルベルトの問題
• ヒルベルトの第二問題
• ヤン・ルカシェヴィッチ
• 矛盾のない論理
• ω一貫性
• ゲンツェンの一貫性の証明
• 反証による証明

• ゲーデル、クルト（1931年12月1日）。 「正式な数学と教育システム I を確立する」。数学と物理学のモナトシェフ。38 (1): 173–198。土井：10.1007/BF01700692。
• クリーネ、スティーブン（1952）。メタ数学入門。ニューヨーク：ノースホランド。ISBN 0-7204-2103-9。1991年10回目の印象。
• ライヘンバッハ、ハンス（1947年）。『記号論理学の要素』ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0-486-24004-5。
• タルスキ、アルフレッド（1946年）。論理学および演繹科学の方法論入門（第2版）。ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0-486-28462-X。
• ヴァン・ヘイエノールト、ジャン（1967年）。『フレーゲからゲーデルまで：数理論理学の原典』ケンブリッジ、マサチューセッツ州：ハーバード大学出版局。ISBN 0-674-32449-8。（ペーパーバック）
• 「一貫性」。ケンブリッジ哲学辞典。
• エビングハウス、HD; フラム、J.; トーマス、W.数学的論理。
• ジェヴォンズ、WS（1870）。『論理学初等レッスン』。

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• モーテンセン、クリス (2017)。「矛盾した数学」。スタンフォード哲学百科事典。