局所コンパクト群の群代数

関数解析および関連する数学の分野において、群代数とは、局所コンパクト群に作用素代数（またはより一般的にはバナッハ代数）を割り当てるさまざまな構成のいずれかであり 、代数の表現は群の表現に関連付けられます。そのため、それらは離散群に関連付けられた 群環に似ています。

Gが局所コンパクト ハウスドルフ群である場合、G はハール測度と呼ばれる本質的に一意の左不変可算加法ボレル測度 μを持ちます。ハール測度を使用して、コンパクトな台を持つG上の複素数値連続関数の空間C _c ( G ) 上の畳み込み演算を定義できます。その後、 C _c ( G ) にさまざまなノルムのいずれかを与えることができ、完成は群代数になります。

畳み込み演算を定義するために、fとgをC _c ( G )の2つの関数とします。Gのtに対して、次のように定義します 。

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).}$

が連続であるという事実は、優勢収束定理から直接わかる。また、 ${\displaystyle f*g}$

${\displaystyle \operatorname {サポート} (f*g)\subseteq \operatorname {サポート} (f)\cdot \operatorname {サポート} (g)}$

ここでドットはGの積を表します。C c ( G ) には、次のように定義される自然な反転も_あります。

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})}$

ここで Δ はG上のモジュラー関数です。この反転により、*-代数になります。

定理。ノルム:

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),}$

C _c ( G ) は近似恒等式を持つ混成ノルム代数になる。

近似恒等関数は、コンパクト集合からなる恒等関数の近傍に基づいてインデックス付けできる。実際、Vが恒等関数のコンパクト近傍である場合、f _VをVでサポートされる非負連続関数とし、

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.}$

すると、{ f _V } _{V は}近似恒等式になります。群代数は、群上の位相が離散位相である場合に限り、単なる近似恒等式ではなく恒等式を持ちます。

離散群の場合、C _c ( G ) は複素群環C [ G ]と同じものであることに注意してください。

群代数の重要性は、次に示すように Gのユニタリ表現理論を捉えていることである。

定理。Gを局所コンパクト群とする。Uがヒルベルト空間H上のGの強連続ユニタリ表現である場合、

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)}$

は、ノルム代数C _c ( G )の非退化有界*-表現である。写像

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

は、 Gの強連続ユニタリ表現の集合とC _c ( G )の非退化有界 *-表現 との間の一対一です。この一対一は、ユニタリ同値性と強い包含関係を尊重します。特に、π _{U が}既約である場合、かつUが既約である場合に限ります。

ヒルベルト空間Hπ上のC _c ( G )の表現πの非退化 は _、

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}$

はH _πにおいて稠密である。

測度論の標準定理は、 L ¹ ( G ) ノルムにおけるC _c ( G )の完備化が、ハール測度に関して積分可能な関数の同値類の空間L ¹ ( G )に同型であるということであり、ここで通常どおり、2 つの関数は、ハール測度ゼロの集合上でのみ異なる場合にのみ、同値であるとみなされる。

定理。L 1 ( G ) は、上で定義した畳み込み積と畳み込みを持ち、L 1 ノルムを持つバナッハ *-代数です^。L 1 ( ^G )に は、有界^な近似単位元もあります。

C [ G ] を離散群Gの群環とする 。

局所コンパクト群Gに対して、 Gの群C*-代数 C* ( G ) はL ¹ ( G )の C*-包絡代数、すなわち最大 C*-ノルムに関するC _c ( G )の完備化として定義される。

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,}$

ここでπはヒルベルト空間上のC _c ( G )の非退化*-表現すべてにわたる。Gが離散的である場合、三角不等式から、任意のπに対して次が成り立つことが分かる。

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

したがって、規範は明確に定義されています。

定義から、G が離散群である場合、C* ( G ) は次の普遍的性質を持つことがわかります。つまり、 C [ G ] から何らかの B ( H ) (何らかのヒルベルト空間H上の有界作用素の C* 代数) への任意の * 準同型は、包含写像を介して因数分解されます。

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

被約群C*-代数C _r * ( G )は、ノルムに関する C _c ( G )の完備化である。

${\displaystyle \|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\},}$

どこ

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu }}}$

はL ²ノルムです。L 2ノルムに関するC _c ( G )の完備化はヒルベルト空間なので、C _r *ノルムはfとの畳み込みによってL ² ( G )に作用する有界演算^子のノルムであり、したがってC*ノルムです。

同様に、C _r * ( G )はℓ ² ( G )上の左正規表現の像によって生成されるC*-代数である。

一般に、C _r * ( G ) はC* ( G )の商です。被約群 C*-代数は、 Gが従順である場合に限り、上で定義した非被約群 C*-代数と同型です。

Gの群フォン・ノイマン代数W* ( G ) はC* ( G )の包絡フォン・ノイマン代数です。

離散群Gに対して、 G が正規直交基底となるヒルベルト空間ℓ ² ( G )を考えることができる。G は基底ベクトルの入れ替えによって ℓ ² ( G )に作用するので、複素群環C [ G ] をℓ ² ( G ) 上の有界作用素の代数の部分代数と同一視することができる。 この部分代数の弱閉包NGはフォン・ノイマン代数である。

NGの中心は、共役類が有限であるGの元によって記述できます。特に、Gの単位元がその特性を持つ唯一の群元である場合 (つまり、G が無限共役類特性を持つ場合)、 NGの中心は単位元の複素倍数のみで構成されます。

NG が超有限タイプ II ₁因子と同型となるのは、 Gが可算、従順であり、無限共役類特性を持つ 場合のみです。

• グラフ代数
• 発生代数
• 局所コンパクト群のヘッケ代数
• パス代数
• 群代数
• ステレオタイプ代数
• ステレオタイプ群代数
• ホップ代数

• ラング、S. (2002)。代数学。大学院数学テキスト。シュプリンガー。ISBN 978-1-4613-0041-0。
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