ネーター環

数学において、ネーター環は左イデアルと右イデアル上で昇順連鎖条件を満たす環である。連鎖条件が左イデアルに対してのみ満たされるか、右イデアルに対してのみ満たされる場合、環はそれぞれ左ネーター環または右ネーター環と呼ばれる。つまり、左（または右）イデアルのすべての増加列には最大元がある。つまり、次の条件を満たすnが存在する。 ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

同様に、すべての左イデアル（それぞれ右イデアル）が有限生成である場合、環は左ノイデンシャル（それぞれ右ノイデンシャル）です。環がノイデンシャルである場合、環は左ノイデンシャルと右ノイデンシャルの両方です。

数学で遭遇する多くの環はネーター環であり（特に整数環、多項式環、数体における代数的整数環）、環に関する多くの一般的な定理はネーター性質に大きく依存しているため（たとえば、ラスカー・ネーターの定理やクルルの交差定理） 、ネーター環は可換環論と非可換環論の両方において基本的なものです。

ネーター環はエミー・ネーターにちなんで名付けられましたが、この概念の重要性は、ヒルベルトの基底定理（多項式環がネーター環であることを主張する）とヒルベルトの朔望定理の証明によって、以前にデイヴィト・ヒルベルトによって認識されていました。

非可換環の場合、3つの非常に似た概念を区別する必要があります。

• 環が左ノイデントに対して昇順連鎖条件を満たす場合、その環は左ノイデント環である。
• 環は、右イデアル上の上昇連鎖条件を満たす場合、右ノイザン環である。
• 環が左ネーター環と右ネーター環の両方である場合、その環はネーター環である。

可換環の場合、3 つの概念はすべて一致しますが、一般的には異なります。左ノイザン環でありながら右ノイザン環ではない環があり、その逆もあります。

環Rが左ノイザンであることに対する他の同等の定義も存在する:

• Rの任意の左イデアルIは有限生成である、つまりIにはとなる元が存在する。^[1]${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$
• Rの左イデアルの空でない集合は、包含関係によって部分的に順序付けられており、最大元を持つ。^[1]

右ノイザン環についても同様の結果が得られます。

次の条件も環Rが左ノイザンであるための同値な条件であり、ヒルベルトの元々の定式化である: ^[2]

• R内の要素のシーケンスが与えられた場合、それぞれがR内の係数を持つ有限線形結合となるような整数が存在します。${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{i}}$ ${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$${\displaystyle r_{j}}$

可換環がノイザンであるためには、環のすべての素イデアルが有限生成されていれば十分である。 ^[3]しかし、すべての極大イデアルが有限生成であることを求めるだけでは不十分である。なぜなら、極大イデアルが主イデアルである非ノイザン局所環が存在するからである（局所環#可換ケースのクルルの交差定理の反例を参照）。

• Rがネーター環であれば、ヒルベルトの基底定理により、多項式環はネーター環となる。 帰納法により、はネーター環となる。また、冪級数環R [[ X ]]もネーター環である。${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R[X_{1},\ldots,X_{n}]}$
• Rがネーター環でI が両側イデアルである場合、商環 R / Iもネーター環です。言い換えると、ネーター環の任意の射影環準同型の像はネーター環です。
• 可換ネーター環上の有限生成可換代数はすべてネーターである。(これは前の 2 つの性質から導かれる。)
• 環Rが左ノイザンである場合、かつその場合に限り、すべての有限生成左R加群はノイザン加群である。
• 可換環がその上に忠実なネーター加群を持つ場合、その環はネーター環である。^[4]
• （イーキン–ナガタ）環Aが可換ネーター環Bの部分環であり、 BがA上の有限生成加群である場合、Aはネーター環である。^[5]
• 同様に、環Aが可換ノイザン環Bの部分環であり、BがA上で忠実に平坦である場合(またはより一般的にはA が純粋な部分環として表される場合)、Aはノイザン環です (理由については「忠実に平坦」の記事を参照してください)。
• 可換ネーター環のあらゆる局所化はネーターである。
• 秋月・ホプキンス・レビツキーの定理の帰結として、すべての左アルティン環は左ネーター環である。別の帰結として、左アルティン環が右ネーター環であるのは、右アルティン環の場合のみである。「右」と「左」を入れ替えた類似の記述も真である。
• 左ネーター環は左コヒーレントであり、左ネーター領域は左オーレ領域です。
• (ベース) 環が (左/右) ノイザンであるためには、すべての(左/右)入射加群の直和が入射的である必要があります。左ノイザン加群上のすべての左入射加群は、分解不可能な入射加群の直和として分解できます。 ^[6]下記の #入射加群に関する含意も参照してください。
• 可換なネーター環には、極小素イデアルは有限個しか存在しない。また、素イデアルには降順連鎖条件が成り立つ。
• 可換ネーター領域Rでは、すべての要素は既約な要素に因数分解できます(つまり、Rは因数分解領域です)。したがって、さらに因数分解が単位による因数の乗算まで一意である場合、R は一意の因数分解領域です。

• 有理数、実数、複素数を含む任意の体はネーター体です。(体には、それ自身と (0) の 2 つのイデアルしかありません。)
• 整数などの任意の主イデアル環は、すべてのイデアルが単一の要素によって生成されるため、ノイザン環です。これには、主イデアル領域とユークリッド領域が含まれます。
• デデキント領域（例えば、整数の環）は、すべてのイデアルが最大 2 つの要素によって生成されるネーター領域です。
• アフィン多様体の座標環は、ヒルベルト基底定理の結果として、ネーター環となる。
• 有限次元リー代数の包絡代数Uは、左と右の両方のネーター環である。これは、Uの付随する次数付き環が の商であり、 が体上の多項式環であるという事実から導かれる ( PBW 定理)。したがって、ネーターである。^[7]同じ理由で、ワイル代数、およびより一般的な微分作用素の環 はネーターである。^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$
• 整数または体上の有限変数の多項式環はネーター環です。

ネーター環でない環は、（ある意味で）非常に大きくなる傾向があります。以下に、ネーター環でない環の例をいくつか示します。

• 無限変数の多項式の環、X ₁、X ₂、X ₃など。イデアルのシーケンス ( X ₁ )、( X ₁、X ₂ )、( X ₁、X ₂、X ₃ ) など、は上昇しており、終了しません。
• すべての代数的整数の環はネーター環ではない。例えば、この環には主イデアルの無限上昇連鎖が含まれる: (2)、(2 ^1/2 )、(2 ^1/4 )、(2 ^1/8 )、...
• 実数から実数への連続関数の環はノイザンではありません。I n を、_すべてのx ≥ nに対してf ( x ) = 0となるようなすべての連続関数fのイデアルとします。イデアルの列I ₀、I ₁、I ₂、などは、終了しない上昇チェーンです。
• 球面の安定ホモトピー群の環はネーター的ではない。^[9]

しかし、非ネーター環はネーター環の部分環になり得る。任意の整域は体の部分環なので、ネーターでない任意の整域は例となる。より単純な例を挙げると、

• 体k上のxとy  / x ⁿによって生成される有理関数の環は、2 つの変数のみを持つ体k ( x , y ) の部分環です。

実際、右ノイザン環であっても左ノイザン環ではない環が存在するため、このように環の「大きさ」を測る際には注意が必要である。例えば、L がZに同型なQ ²の部分群である場合、R をQ ²からそれ自身への準同型写像fの環とし、f​​ ( L ) ⊂ L を満たすものとする。基底を選択すると、同じ環R を次のように 記述することができる。

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

この環は右ノイマンだが、左ノイマンではない。a = 0 かつγ = 0である元からなる部分集合I ⊂ Rは、左R加群として有限生成されない左イデアルである。

R が左ノイザン環Sの可換部分環であり、S が左R加群として有限生成である場合、 Rはノイザンである。^{[10] （} Sが可換である特別な場合、これはイーキンの定理として知られている。）しかし、 Rが可換でない場合はこの限りではない。前の段落の環R は左ノイザン環S = Hom( Q ² , Q ² )の部分環であり、S は左R加群として有限生成であるが、Rは左ノイザンではない。

一意の因数分解領域は、必ずしもネーター環であるとは限りません。ネーター環は、より弱い条件、すなわち主イデアルの昇順連鎖条件を満たします。無限変数の多項式の環は、非ネーター一意因数分解領域の例です。

付値環は、主イデアル領域でない限り、ネーター環ではありません。これは、代数幾何学で自然に生じるがネーター環ではない 環の例です。

環上の群の群環 を考えます。 は環であり、 が可換であれば上の結合的代数です。 群と可換環に対して、次の 2 つの条件は同値です。 ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$

• 環は左ネーター環です。${\displaystyle R[G]}$
• 環は右ネーター環です。${\displaystyle R[G]}$

これは、この場合、群環の左イデアルと右イデアルの間に結合代数準同型性を介して一対一の関係があるためである。${\displaystyle R}$

${\displaystyle R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} },}$

${\displaystyle g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G).}$

を群、環とする。が左/右/両側ネーターである場合、 は左/右/両側ネーターであり、 はネーター群である。逆に、がネーター可解群（すなわち多環式群）の有限群による拡張である場合、 は両側ネーターである。しかし、一方で、任意のネーター可換環上の群環が両側ネーターではないネーター群が存在する。 ^{[11] : 423、定理38.1}${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[G]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$

環論（特に可換環の理論）における多くの重要な定理は、環がネーター環であるという仮定に依存しています。

• 可換ノイザン環上では、各イデアルには一次分解があり、これは有限個の一次イデアル（その根基がすべて異なる）の共通部分として表すことができることを意味します。ここで、イデアルQ は、それが適切であり、かつ、ある正の整数nに対してxy ∈ Q、x ∈ Qまたはy ⁿ ∈ Qのいずれかであるときはいつでも、 であるとき一次と呼ばれます。たとえば、元が異なる素元の累乗の積である場合、 であり、したがって一次分解は整数と多項式の素因数分解の直接的な一般化です。^[12]${\displaystyle f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}}$${\displaystyle (f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})}$
• ネーター環は、イデアルの上昇連鎖によって定義されます。一方、アルティン・リースの補題は、イデアルの冪によって与えられるイデアルの下降連鎖に関する情報を提供します。これは、クルル交差定理などの他の重要な定理を証明するために使用される技術的なツールです。${\displaystyle I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots }$
• 可換環の次元理論は、非ネーター環上ではうまく機能しない。最も基本的な定理であるクルルの主イデアル定理は、すでに「ネーター」仮定に依存している。実際には、ここで「ネーター」仮定は十分ではないことが多く、代わりに、特定の次元理論的仮定を満たす (ネーター)普遍カテナリー環が使用されることが多い。応用で現れるネーター環は、ほとんどが普遍カテナリーである。

• ゴールディの定理

環が与えられた場合、環上の入射加群の振る舞いと環がネーター環であるかどうかの間には密接な関係があります。つまり、環Rが与えられた場合、以下は同値です。

• R は左ネーター環です。
• （ベース）各左R加群の直和は単射である。^[6]
• 各左R-加群は分解不可能な左R-加群の直和である。^[13]
• (フェイス–ウォーカー) R上の各入射左加群が-生成加群の直和となるような基数 が存在する（加群が-生成であるとは、その基数の生成集合が最大で であるときである）。^[14]${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• 左R加群Hが存在し、すべての左R加群はHのコピーの直和に埋め込まれる。^[15]

分解不可能な入射加群の自己準同型環は局所的であり^[16]、したがって東谷の定理によれば、左ノイザン環上では、入射加群の各分解不可能な分解は互いに同値である（クルル・シュミットの定理の変形）。

• ネータースキーム
• アルティニアンリング

• アンダーソン、フランク W.; フラー、ケント R. (1992)、「環と加群のカテゴリ」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 13 (2 ed.)、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. x+376、doi :10.1007/978-1-4612-4418-9、ISBN 0-387-97845-3、MR  1245487
• アティヤ、MF、マクドナルド、IG（1969）。可換代数入門。アディソン・ウェズリー・ロングマン。ISBN 978-0-201-40751-8 
• ブルバキ、ニコラス(1989)。可換代数: 第 1 章から第 7 章まで。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-19371-7。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）。「代数幾何学に向けた可換代数」。数学の大学院テキスト。第150巻。シュプリンガー出版。doi ： 10.1007 / 978-1-4612-5350-1。ISBN 0-387-94268-8。
• Formanek, Edward ; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). 「Noether 環の部分環」. Proceedings of the American Mathematical Society . 46 (2): 181–186. doi : 10.2307/2039890 . JSTOR  2039890.
• 堀田 良志、竹内 清、谷崎 俊之 (2008)、「D 加群、倒錯層、表現論」、Progress in Mathematics、vol. 236、Birkhäuser、doi :10.1007/978-0-8176-4523-6、ISBN 978-0-8176-4363-8、MR  2357361、Zbl  1292.00026
• ラム、ツィット・ユエン( 2001)。非可換環の初歩。数学の大学院テキスト。第 131 巻(第 2 版)。ニューヨーク: シュプリンガー。p. 19。doi :10.1007/978-1-4419-8616-0。ISBN 0387951830. MR  1838439。
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• 松村秀之（1989）『可換環論』、ケンブリッジ高等数学研究（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36764-6

• 「ネーター環」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]