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数学において、概加群と概環は環とその分数体との間を補間する特定のオブジェクトです。これらは、ゲルト・ファルティングス(1988) がp進ホッジ理論 の研究で導入しました。

V を最大イデアルmを持つ局所 整域とし、KをVの分数体とする。K加群のカテゴリ K-Mod は、 V-Mod を捩れ加群のセールサブカテゴリ、つまり N の任意の元 n が最大イデアルの非ゼロ元によって消滅するような N で割った商として得られる。捩れ加群のカテゴリをより小さなサブカテゴリに置き換えると、 V加群とK加群の中間段階が得られる。ファルティングスは、ほぼゼロの加群のサブカテゴリ、つまりN ∈ V - ModでNの任意の元n が最大イデアルのすべての元によって消滅するようなものを使用することを提案した。

このアイデアが機能するには、mとV が特定の技術的条件を満たしている必要があります。Vを環(必ずしも局所的ではない)とし、 m ⊆ V を冪等イデアル、つまりm ²  =  mとなるイデアルとします。また、m  ⊗  m は平坦な V加群であるとします。V上の加群N がそのようなmに関してほぼゼロであるためには、すべてのε ∈ mおよびn ∈ Nに対してεn = 0 を満たす必要があります。ほぼゼロの加群は、V加群のカテゴリのセール サブカテゴリを形成します。ほぼ V 加群のカテゴリV ^a - Modは、このサブカテゴリに沿ったV - Modの局所化です。 

商関数 V - Mod → V ^a - Modは で表されます。mに関する仮定は、が右随伴関数と左随伴関数 の両方を持つ正確な関数であることを保証します。さらに、は完全かつ忠実です。ほとんどの加群のカテゴリは完全かつ共完全です。 ${\displaystyle N\mapsto N^{a}}$${\displaystyle (-)^{a}}$ ${\displaystyle M\mapsto M_{*}}$${\displaystyle M\mapsto M_{!}}$${\displaystyle (-)_{*}}$

V加群のテンソル積は、 V ^a - Mod上のモノイド構造に帰着する。環の定義と同様に、自然な条件を満たす写像R ⊗ R → Rを持つほぼ加群R ∈ V ^a - Modは、コンテキストが明確であれば、ほぼV代数またはほぼ環と呼ばれる。代数と代数間の射の多くの標準的な特性は、「ほぼ」の世界に持ち込まれる。 

Faltings の原著論文では、V は離散付値環の商体の代数閉包における整閉包であり、m はその極大イデアルでした。たとえば、V を、つまりのp進完備化とします。m をこの環の極大イデアルとします。すると、商V/mはほぼゼロの加群ですが、V/p は捩れですが、商のp 1/ ^{p 2}の類はmの元として考えられるp ^{1 / p 2}によって消滅しないため、ほぼゼロの加群ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{\infty }}]}$${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{n}\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{n}}]}$

• ファルティングス、ゲルト(1988)、「p 進ホッジ理論」、アメリカ数学会誌、1 (1): 255–299、doi :10.2307/1990970、JSTOR  1990970、MR  0924705
• ガッバー、オフェル、ラメロ、ロレンツォ（2003）、ほぼ環理論、数学講義ノート、第1800巻、ベルリン：シュプリンガー出版社、doi：10.1007/b10047、ISBN 3-540-40594-1、MR  2004652、S2CID  14400790