分裂した権力構造

数学、特に可換代数において、分割べき構造は、 で実際に割ることができない場合でも、の形式の式が持つのと同様の特性を持つ項目を導入する方法です。 ${\displaystyle x^{n}/n!}$${\displaystyle n!}$

A をイデアルIを持つ可換環とします。I上の分割冪構造(またはフランス語のpuissances diviséesにちなんでPD 構造) は、n = 0, 1, 2, ...に対する写像の集合で、次のようになります。 ${\displaystyle \gamma _{n}:I\to A}$

1. ${\displaystyle \gamma_{0}(x)=1}$およびについては、n > 0については です。${\displaystyle \gamma _{1}(x)=x}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle \gamma _{n}(x)\in I}$
2. ${\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{ni}(x)\gamma _{i}(y)}$のために。${\displaystyle x,y\in I}$
3. ${\displaystyle \gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)}$のために。${\displaystyle \lambda \in A,x\in I}$
4. ${\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)}$（ ）の場合、 は整数です。${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle ((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}}$
5. ${\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)}$およびについては、 は整数です。${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle m>0}$${\displaystyle C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}}$

表記の便宜上、分割された権力構造が何を意味するかが明らかな場合は、 と表記されることが多い。${\displaystyle \gamma _{n}(x)}$${\displaystyle x^{[n]}}$

分割されたパワー イデアルという用語は、与えられた分割されたパワー構造を持つイデアルを指し、分割されたパワー リングという用語は、与えられた分割されたパワー構造を持つイデアルを持つリングを指します。

分割べき代数の準同型は、そのソースとターゲット上の分割べき構造を尊重する環準同型です。

• 1 つのジェネレータ上の自由な分割べき代数:${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\tfrac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\tfrac {x^{n}}{n!}},\ldots \right]\subset \mathbb {Q} [x].}$

• Aが 上の代数である場合、すべてのイデアルI は一意の分割されたべき乗構造を持ち、^[1] 実際、これはそもそも定義の動機となる例です。${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \gamma _{n}(x)={\tfrac {1}{n!}}\cdot x^{n}.}$

• MがA加群である場合、A上のMの対称代数を で表します。その双対は分割冪環の標準構造を持ちます。実際、 M が有限ランクを持つ場合、それは (以下を参照)の自然完備化に標準同型です。${\displaystyle S^{\bullet }M}$${\displaystyle (S^{\bullet }M)^{\vee }={\text{Hom}}_{A}(S^{\bullet }M,A)}$${\displaystyle \Gamma _{A}({\check {M}})}$

Aが任意の環であるとき、冪環が存在する。

${\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$

変数の べき乗多項式からなる

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$

それは次の形式の べき乗単項式の和である。

${\displaystyle cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}}$

ここで、べき乗イデアルは定数係数 0 を持つべき乗多項式の集合です。 ${\displaystyle c\in A}$

より一般的には、MがA加群であれば、普遍的な A代数が存在し、これは

${\displaystyle \Gamma _{A}(M),}$

PD理想

${\displaystyle \Gamma _{+}(M)}$

およびA線型写像

${\displaystyle M\to \Gamma _{+}(M).}$

(べき乗多項式の場合には、Mが有限階数のA上の自由加群である特殊なケースです。)

I が環Aの任意のイデアルである場合、 Iの元の分割されたべき乗でA を拡張して、 AにおけるIの分割されたべき乗エンベロープを取得する普遍的な構成が存在します。

分割されたべきエンベロープは、PD微分作用素と結晶コホモロジーの理論における基本的なツールであり、正の特性で生じる技術的な困難を克服するために使用されます。

分割べき乗関数は、コシューア関数の構築に使用されます。

• 結晶コホモロジー

• ベルテロ、ピエール、オーガス、アーサー(1978)。結晶コホモロジーに関するノート。数学研究年報。プリンストン大学出版局。Zbl 0383.14010  。
• Hazewinkel, Michiel (1978)。形式群とその応用。純粋数学と応用数学、モノグラフと教科書のシリーズ。第 78 巻。Elsevier。p . 507。ISBN 0123351502.ZBL0454.14020  。​
• p進導出ド・ラーム・コホモロジー - PD多項式環とPDエンベロープに関する優れた資料が含まれています
• x^i/i の分割べき代数の類似物の名前は何ですか? 分割べき代数を双対代数として有用な同等性を含みます