ザリスキ位相幾何学

代数幾何学と可換代数において、ザリスキ位相は、多様体と呼ばれる幾何学的対象上に定義される位相である。これは、実解析や複素解析で一般的に使用される位相とは非常に異なり、特にハウスドルフではない。^{[1]この位相は、主に}オスカー・ザリスキによって導入され、後に可換環の素イデアルの集合（環のスペクトルと呼ばれる）を位相空間にするために一般化された。

ザリスキ位相は、基礎となる体が位相体でない場合でも、位相幾何学のツールを使って代数多様体を研究することを可能にする。これはスキーム理論の基本的なアイデアの 1 つであり、多様体理論で多様体が実アフィン空間の開部分集合であるチャート同士を貼り合わせることで構築されるのと同様に、アフィン多様体を貼り合わせることで一般代数多様体を構築できるようにする。

代数多様体のザリスキ位相とは、その閉集合が代数的部分集合である位相のことである。^[1]複素数上の代数多様体の場合、通常の位相ではすべての代数集合が閉じているため、ザリスキ位相は通常の位相よりも粗い。

ザリスキ位相の可換環の素イデアルの集合への一般化は、代数的に閉じた体上で定義されたアフィン多様体の点と、その正則関数の環の極大イデアルとの間の全単射対応を確立するヒルベルトの零点定理から導かれる。これは、可換環の極大イデアルの集合上のザリスキ位相を、極大イデアルの集合が閉じている場合と、それが与えられたイデアルを含むすべての極大イデアルの集合である場合に限り、そのような位相として定義することを示唆している。グロタンディークのスキーム理論のもう1つの基本的な考え方は、点として、極大イデアルに対応する通常の点だけでなく、素イデアルに対応するすべての（既約な）代数多様体も考えることである。したがって、可換環の素イデアルの集合（スペクトル）上のザリスキ位相は、固定イデアルを含むすべての素イデアルの集合である場合に限り、素イデアルの集合が閉じているような位相です。

古典代数幾何学（つまり、1960年頃にグロタンディークによって導入されたスキームを使用しない代数幾何学の部分）では、ザリスキ位相は代数多様体上に定義されます。^{[2]多様体の点上に定義されるザリスキ位相は、}閉集合が多様体の代数的部分集合となるような位相です。最も基本的な代数多様体は アフィン多様体と射影多様体であるため、両方のケースでこの定義をより明示的にすると便利です。ここでは、固定された代数的に閉じた体k上で作業していると仮定します（古典代数幾何学では、kは通常、複素数体 です）。

まず、 kのn組の要素によって形成されるアフィン空間 上の位相を定義します。位相は、開集合ではなく閉集合を指定して定義され、これらは単に k 内のすべての代数集合であるとみなされます。 つまり、閉集合は、 Sがk上のn変数の多項式の任意の集合 である形式の集合です。次のことを示すのは簡単な検証です。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$$${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}}$$

• V ( S ) = V (( S ))、ここで( S )はSの要素によって生成されるイデアルである。
• 多項式I、Jの任意の2つのイデアルに対して、
  1. ${\displaystyle V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);}$
  2. ${\displaystyle V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).}$

集合V ( S ) の有限和集合と任意の積集合もこの形式をとるため、これらの集合は位相の閉集合を形成する（同様に、それらの補集合D ( S ) は主開集合と呼ばれ、位相自体を形成する）。これは、${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$

X がアフィン代数集合 (既約かどうかは関係ない) である場合、その上のザリスキ位相は、単に、ある集合へのその包含によって誘導される部分空間位相として定義されます 。同様に、次のことが確認できます。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$

• アフィン座標環 の要素は、 の要素が上の関数として作用するのと同様に、 X上の関数として作用します。ここで、I ( X ) は、 X上で消えるすべての多項式のイデアルです。$${\displaystyle A(X)\,=\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)}$$${\displaystyle k[x_{1},\dots,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$
• 多項式の任意の集合Sについて、T をA ( X )におけるその像の集合とします。すると、 X の部分集合(これらの表記法は標準的ではありません) は、 V(S)のXとの共通部分に等しくなります。$${\displaystyle V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\forall f\in T\}}$$

これにより、上記の式は明らかに上記の閉集合の定義の一般化であり、任意のアフィン多様体上のザリスキ位相を定義することが証明されます。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$

n次元射影空間は、 kのスカラー倍だけ異なる 2 点を同一視することにより、 における非ゼロ点の同値類の集合として定義されることを思い出す。多項式環の要素は一般には関数ではない。なぜなら、任意の点には、多項式で異なる値をもたらす代表が多数存在するからである。しかし、同次多項式の場合、任意の射影点にゼロまたは非ゼロの値を持つという条件は、スカラー倍が多項式から因数分解されるため、明確に定義されている。したがって、S が同次多項式の任意の集合である場合、次のように言うことができる 。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$${\displaystyle k[x_{0},\dots,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.}$

これらの集合についても上記と同じ事実が成り立つが、「理想」という語句は「同次理想」という語句に置き換えられる必要がある。そのため、同次多項式の集合Sに対して、 V ( S ) は上の位相を定義する。 上記のように、これらの集合の補集合はD ( S ) と表記されるが、混乱が生じそうな場合はD ′ ( S ) と表記される。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}.}$

射影ザリスキ位相は、アフィン代数集合に対してアフィンザリスキ位相が部分空間位相をとることによって定義されるのと同様に、射影代数集合に対して定義されます。同様に、この位相は、上記と同じ式によって、射影座標環の要素の集合によって本質的に定義されることが示されます。

ザリスキ位相の重要な特性は、 単純な要素、すなわち個々の多項式（または射影多様体、同次多項式）fのD ( f )からなる基底を持つことである。これらが基底を形成することは、上で示した 2 つのザリスキ閉集合の交差の公式から導かれる（これを( S )の生成元によって生成される主イデアルに繰り返し適用する）。この基底の開集合は、区別開集合または基本開集合と呼ばれる。この特性の重要性は、特にアフィンスキームの定義で使用されることから生じる。

ヒルベルトの基底定理と、ネーター環が商に関して閉じているという事実により、すべてのアフィン座標環または射影座標環はネーター環になります。結果として、ザリスキー位相を持つアフィン空間または射影空間はネーター位相空間であり、これはこれらの空間の任意の閉部分集合がコンパクト であることを意味します。

しかし、有限代数集合を除いて、代数集合はハウスドルフ空間になることはありません。古い位相幾何学の文献では、「コンパクト」にはハウスドルフ特性が含まれるとされており、この慣習は代数幾何学で今でも尊重されています。したがって、現代的な意味でのコンパクト性は、代数幾何学では「準コンパクト性」と呼ばれます。ただし、すべての点 ( a ₁、...、a _n ) は多項式x ₁ - a ₁、...、x _n - a _nの零点集合であるため、点は閉じており、したがってすべての多様体はT ₁公理を満たします。

多様体のあらゆる正則写像はザリスキ位相において連続である。実際、ザリスキ位相は、これが真であり点が閉じている最も弱い位相（開集合が最も少ない）である。これは、ザリスキ閉集合が単に0の多項式関数による逆像の交差であり、正則写像として考えられることに注意することで簡単に検証できる。${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}.}$

現代の代数幾何学では、代数多様体はしばしば、それに関連するスキームによって表現される。これは、環 のスペクトルに局所的に同相な位相空間（追加の構造を備える）である。^[3]可換環Aの スペクトルはSpec Aと表記され、 Aの素イデアルの集合であり、ザリスキー位相を備え、その閉集合は集合である。

${\displaystyle V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} A\mid P\supseteq I\}}$

ここで、I は理想です。

古典的な描像との関連を見るには、代数的に閉じた体上の任意の多項式の集合Sについて、ヒルベルトの零点定理から、 V ( S ) (古い意味で)の点は、多項式x ₁ − a ₁、...、x _n − a _nによって生成されるイデアルがS を含むような組 ( a ₁、...、a _n )とまったく同じであることが分かる。さらに、これらは最大イデアルであり、「弱い」零点定理により、任意のアフィン座標環のイデアルは、この形式である場合に限り最大である。したがって、V ( S ) は、 S を含む最大イデアルと「同じ」である。グロタンディークが Spec を定義する際に革新的だったのは、最大イデアルをすべての素イデアルに置き換えたことである。この定式化では、この観察を環のスペクトル内の閉集合の定義に単純に一般化するのが自然である。

現代の定義を解釈する別の方法は、おそらく元の定義にもっと似ていますが、Aの元は実際にはAの素イデアル上の関数、つまり Spec A上の関数として考えることができることに気づくことです。簡単に言えば、任意の素イデアルPには対応する剰余体（商A / Pの分数の体）があり、Aの任意の元はこの剰余体での反射を持ちます。さらに、実際にPにある元は、まさにその反射がPで消える元です。したがって、 Aの任意の元aに関連付けられた写像 を考えると、

${\displaystyle e_{a}\colon {\bigl (}P\in \operatorname {Spec} A{\bigr )}\mapsto \left({\frac {a\;{\bmod {P}}}{1}}\in \operatorname {Frac} (A/P)\right)}$

（「 aの評価」）は、各点に、その点における剰余場における反射を Spec A上の関数として割り当てます（Spec A の値は、確かに異なる点における異なる場にあります）。すると、

${\displaystyle e_{a}(P)=0\Leftrightarrow P\in V(a)}$

より一般的には、任意のイデアルIのV ( I ) は、 Iのすべての「関数」が消える共通集合であり、これは形式的には古典的な定義に似ています。実際、A が何らかの代数的に閉じた体k上の多項式環である場合、 Aの極大イデアルは (前の段落で説明したように) kのn組の元と同一視され、その留数体はkであり、「評価」マップは実際には対応するn組での多項式の評価であるという意味で、それらは一致しています。上記のように、古典的な定義は本質的に極大イデアルのみを考慮した現代の定義であるため、これは「関数のゼロ集合」としての現代の定義の解釈が、両方とも意味をなす古典的な定義と一致することを示しています。

Spec がアフィン多様体を置き換えるのと同様に、Proj 構成は現代の代数幾何学における射影多様体を置き換えます。古典的な場合と同様に、アフィン定義から射影定義に移行するには、「イデアル」を「同次イデアル」に置き換えるだけで済みますが、引用された記事で説明されている「無関係な最大イデアル」に関連する複雑な問題があります。

• Spec k 、体 kのスペクトルは、1 つの要素を持つ位相空間です。
• Spec では、整数のスペクトルには、最大イデアルに対応するすべての素数pに対する閉点と、零イデアル (0) に対応する 1 つの閉じていない一般点(つまり、その閉包が空間全体である点) があります。したがって、 Spec の閉部分集合は、正確には空間全体と閉点の有限和です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• スペックk [ t ] は、体k上の多項式環のスペクトルです。このような多項式環は主イデアル領域であることが知られており、既約多項式はk [ t ]の素元です。kが代数的に閉じている場合 (たとえば複素数体) 、非定数多項式が既約なのは、kの何らかの元aに対してt − aの形式の線形である場合に限ります。したがって、スペクトルは、kのすべての元aに対して 1 つの閉点と、ゼロイデアルに対応する一般点から構成され、閉点の集合は、ザリスキ位相を備えたアフィン直線kと同相です。この同相のため、一部の著者はk [ t ]のスペクトルにアフィン直線という用語を使用しています。kが代数的に閉じていない場合 (たとえば実数体) 、非線形既約多項式の存在により、図はより複雑になります。この場合、スペクトルは各モニック既約多項式に対する 1 つの閉点と、零イデアルに対応する一般点から構成されます。たとえば、 のスペクトルは、内のaに対する閉点 ( x − a )、内にあり、負の判別式p 2 − 4 q < 0である閉点( x ² + px + q ) 、および一般点 (0)から構成され^{ます。任意の体に対して、 Spec} k [ t ] の閉部分集合は、閉点と空間全体の有限和です。(これは、k [ t ] が主イデアル領域であり、主イデアル領域では、イデアルを含む素イデアルが、イデアルの生成元の素因数分解の素因数であるという事実に起因します)。 ${\displaystyle \mathbb {R} [t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

古典的な描像から新しい描像への位相幾何学における最も劇的な変化は、点が必ずしも閉じている必要はなくなったことである。定義を拡張することによって、グロタンディークは一般点、すなわち極大閉包、すなわち極小素イデアルを持つ点を導入した。閉点はAの極大イデアルに対応する。しかし、スペクトルと射影スペクトルは依然としてT ₀空間である。Aの素イデアルである 2 つの点P、Qが与えられた場合、少なくともそのうちの 1 つ、たとえばPは他方を含みません。すると、D ( Q ) はPを含みますが、もちろんQ は含みません。

古典的な代数幾何学と同様に、任意のスペクトルまたは射影スペクトルは（準）コンパクトであり、問​​題の環がネーターである場合、空間はネーター位相空間です。しかし、これらの事実は直感に反しています。通常、連結成分以外の開集合がコンパクトになることは期待されませんし、アフィン多様体（たとえば、ユークリッド空間）の場合、空間自体がコンパクトになることさえ期待されません。これは、ザリスキ位相の幾何学的不適合性の1つの例です。グロタンディークは、スキーム（実際にはスキームの射）の適切性の概念を定義することでこの問題を解決しました。これにより、コンパクト性の直感的なアイデアが回復されます。Proj は適切ですが、Spec は適切ではありません。

• スペクトル空間