I進位相

可換代数、すなわち可換環の数学的研究において、進位相は、加群の基礎集合上の位相の族であり、整数上のp進位相を一般化したものである。

R を可換環、MをR加群とする。このとき、 Rの各イデアル𝔞 は、擬距離によって特徴付けられる、𝔞進位相と呼ばれるM上の位相を決定する。$${\displaystyle d(x,y)=2^{-\sup {\{n\mid xy\in {\mathfrak {a}}^{n}M\}}}.}$$ 家族$${\displaystyle \{x+{\mathfrak {a}}^{n}M:x\in M,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}$$これはこのトポロジーの基礎となる。^{[ 1 ]}

𝔞進位相とは、線形位相（いくつかの部分加群によって生成される位相）のことである。

位相に関して言えば、加法とスカラー乗法のモジュール演算は連続であるため、Mは位相モジュールとなる。ただし、M は必ずしもハウスドルフである必要はない。M がハウスドルフであるのは、次の場合に限る。$${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}M}=0{\text{,}}}$$dが真の距離となる。位相幾何学における通常の用語では、ハウスドルフ空間も分離空間と呼ばれるが、この場合、𝔞進位相は分離空間と呼ばれる。^{[ 1 ]}

クルルの交差定理によれば、R が整域または局所環であるネーター環である場合、次のことが成り立つ。${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}}=0}$Rの任意の真イデアル𝔞に対して。したがって、これらの条件下では、 Rの任意の真イデアル𝔞と任意のR加群Mに対して、M上の𝔞進位相は分離されます。

Mの部分加群Nに対して、M / Nへの標準準同型写像は、 𝔞進位相と一致する商位相を誘導する。同様の結果は、部分加群N自体には必ずしも当てはまらない。部分空間位相は𝔞進位相である必要はない。しかし、 Rがネーター的であり、M が有限生成である場合、2 つの位相は一致する。これは、Artin–Rees の補題から導かれる。^{[ 2 ]}

Mがハウスドルフ空間である場合、Mは距離空間として完備化できる。結果として得られる空間は、で表される。${\displaystyle {\widehat {M}}}$また、モジュール演算を連続性によって拡張することによって得られるモジュール構造を持つ。また、以下と同じである（または正準的に同型である）。$${\displaystyle {\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M}$$ここで、右辺は自然射影による商加群の逆極限である。^{[ 3 ]}

例えば、${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$kを体とする多項式環とし、𝔞 = ( x ₁ , ..., x _n )を（唯一の）斉次極大イデアルとする。${\displaystyle {\hat {R}}=k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$、n 個の変数を持つk体上の形式的冪級数環。^{[ 4 ]}

部分モジュールの𝔞進閉包${\displaystyle N\subseteq M}$は${\textstyle {\overline {N}}=\bigcap _{n>0}{(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}{\text{.}}}$^{[ 5 ]} この閉包は、R𝔞であり、Mある場合にN。 ^{[ 6 ]}

Rは、 Rのすべてのイデアルが𝔞進的に閉じているとき、 𝔞に関してザリスキーであると呼ばれる。特徴付けは次のようになる。

Rが𝔞に関して Zariski であるのは、𝔞 がRのJacobson 根基に含まれている場合かつその場合に限る。

特に、ネーター局所環は最大イデアルに関してザリスキー環である。^{[ 7 ]}