アルティン近似定理

数学において、アルティン近似定理は、体kの係数を持つ形式的な冪級数がk上の代数関数によって十分に近似されることを意味する、変形理論におけるマイケル・アルティン (1969)の基本的な結果です。

より正確には、アルティンはそのような定理を 2 つ証明しました。1 つは 1968 年に、形式解による複素解析解の近似 ( の場合) に関する定理、もう 1 つは 1969 年にこの定理の代数バージョンを証明しました。 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

をn個の不定値の集合、体k上の不定値を含む形式的冪級数の環 、および異なる不定値の集合 と表す。${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle k[[\mathbf {x} ]]}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\dots ,y_{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$

を における多項式方程式の連立方程式とし、c を正の整数とする。すると、形式的なべき級数解 が与えられると、代数関数（より正確には代数的べき級数） からなる代数解が存在し、${\displaystyle k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]}$${\displaystyle \mathbf {y} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\equiv \mathbf {y} (\mathbf {x} ){\bmod {(}}\mathbf {x} )^{ c}.}$

この定理は、任意の正の整数cが与えられた場合、 cで指定された次数までの形式的な冪級数解を近似する代数解を見つけることができることを示しています。これにより、特定の形式的な変形のモジュライ空間がスキームとして存在することを演繹する定理が導かれます。アルティンの基準も参照してください。

Michael Artin (1969)の定理 1.12 には、次の代替ステートメントが示されています 。

を体または優れた離散値環とし、を有限型の -代数の素イデアルにおけるヘンゼル化とし、 m をの適切なイデアルとし、を のm進完備とし、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle F\colon (A{\text{-代数}})\to ({\text{集合}}),}$

をフィルタ付き余極限にフィルタ付き余極限を送る関手とする（アルティンはそのような関手を局所的に有限表示と呼ぶ）。すると、任意の整数c と任意のに対して、${\displaystyle {\overline {\xi}}\in F({\hat {A}})}$${\displaystyle \xi \in F(A)}$

${\displaystyle {\overline {\xi }}\equiv \xi {\bmod {m}}^{c}}$。

• 近似特性を持つリング
• ポペスクの定理
• アルティンの基準

• Artin, Michael (1969)、「完全なローカル リング上の構造の代数的近似」、Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 23–58、MR  0268188
• アルティン、マイケル (1971)。代数空間。イェール数学モノグラフ。第3巻。ニューヘブン、コネチカット州–ロンドン：イェール大学出版局。MR  0407012。
• ミシェル・レイノー(1971)、「Travaux récents de M. Artin」、Séminaire Nicolas Bourbaki、11 (363): 279–295、MR  3077132