クルルリング

可換代数において、クルル環またはクルル領域は、素因数分解の理論が適切に成り立つ可換環である。これらは1931年にヴォルフガング・クルルによって導入された^{。[1]これらは}デデキント領域の高次元一般化であり、デデキント領域はまさに次元が最大1 のクルル領域である。

この記事では、環は可換であり、単位元を持ちます。

を整域とし、を高さ1ののすべての素イデアルの集合、つまり非ゼロの素イデアルを全く含まないすべての素イデアルの集合とします。このとき、がクルル環であるとは、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$はすべての に対する離散値環であり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$
2. ${\displaystyle A}$はこれらの離散値環（の商体の部分環として考えられている）の共通部分であり、${\displaystyle A}$
3. の任意の非ゼロ元は、有限個の高さ 1 の素イデアルにのみ含まれます。${\displaystyle A}$

クルル環を評価値のみで特徴付けることも可能である: ^[2]

整域がクルル環であるとは、 次の 条件を満たす分数の体上の離散値族が存在する場合である。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$

1. おそらく有限個の を除いて、 すべての について 、${\displaystyle x\in K\setminus \{0\}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}(x)=0}$
2. 任意の に対して が に属している場合、かつその場合のみ、 すべての に対して が に属します。${\displaystyle x\in K\setminus \{0\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{i}(x)\geq 0}$${\displaystyle i\in I}$

評価はの必須評価と呼ばれます。 ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle A}$

2 つの定義の関係は次のようになります。任意の に対して、その付値環が である の一意の正規化された付値を関連付けることができます。^[3] この場合、セットは同等の定義の条件を満たします。逆に、セットが上記のようであり、 が正規化されている場合、 はよりも大きくなる可能性がありますが、を含まなければなりません。言い換えると、は同等の定義を満たす正規化された付値の最小セットです。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{\mathfrak {p}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}'=\{v_{i}\}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}'}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

上記の表記法を用いて、 は付値環 に対応する正規化された付値を表し、 は の単位集合、およびその商体を表します。 ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$

• 要素が に属するのは、任意の に対してである場合に限ります。${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$実際、この場合、任意のに対してとなるため、交差特性により となります。逆に、および が に属する場合、 となるため となります。したがって、両方の数は でなければならないため となります。${\displaystyle x\not \in A_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$${\displaystyle x^{-1}\in A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle x^{-1}\in A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(xx^{-1})=v_{\mathfrak {p}}(1)=0=v_{\mathfrak {p}}(x)+v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})=0}$${\displaystyle \geq 0}$
• 元は、 の単位まで、値、によって一意に決定されます。${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$実際、任意の に対して であれば、 となり、したがって上記の性質 (qed) により となります。これは、その応用が明確に定義されていることを示し、有限個の に対してのみ となるため、 はの元によって生成される自由アーベル群への の埋め込みとなります。したがって、後者の群の乗法表記「 」を使用すると、任意の に対して が成立します。ここで は、、およびを含むの元です。${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(y)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(xy^{-1})=0}$${\displaystyle xy^{-1}\in U}$${\displaystyle x\ {\rm {mod}}\ U\mapsto \left(v_{\mathfrak {p}}(x)\right)_{{\mathfrak {p}}\in P}}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)\not =0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A^{\times }/U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle x\in A^{\times }}$${\displaystyle x=1\cdot {\mathfrak {p}}_{1}^{\alpha _{1}}\cdot {\mathfrak {p}}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}^{\alpha _{n}}\ {\rm {mod}}\ U}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha _{i}=v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x)}$
• 評価値は一対一で独立である。^[4]結果として、いわゆる弱近似定理^[5]が成り立つ。これは中国剰余定理の相同物である。すなわち、が異なる の元であり、 (それぞれ)に属し、 が自然数である場合、 が存在する(それぞれ) として、任意のに対してとなる。${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle a_{1},\ldots a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle x\in A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x-x_{i})=n_{i}}$${\displaystyle i}$
• 弱近似定理の結果は、クルル環がネーター環であるときの特徴付けである。つまり、クルル環がネーター環となるのは、その高さ 1 の素数による商がすべてネーター環である場合のみである。${\displaystyle A}$${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$
• の 2 つの元とが互いに素とは、任意の に対してと が両方ではない場合を指します。値の基本特性は、互いに素であることの優れた理論が で成り立つことを示唆しています。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(y)}$${\displaystyle >0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$${\displaystyle A}$
• のすべての素イデアルにはの元が含まれる。^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$
• 商体が等しいクルル域の有限交差は、やはりクルル域となる。^[7]
• が の部分体である場合、 はクルル領域である。^[8]${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\cap L}$
• が0を含まない乗法的に閉じた集合である場合、商の環は再びクルル領域となる。実際、 の本質的な値はとなる値（の）である。^[9]${\displaystyle S\subset A}$${\displaystyle S^{-1}A}$${\displaystyle S^{-1}A}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$
• が の有限代数拡大であり、 がにおけるの整閉包である場合、 はクルル領域である。^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle B}$

1. 任意の一意の因数分解領域はクルル領域である。逆に、クルル領域は、高さ1のすべての素イデアルが主イデアルである場合に限り一意の因数分解領域である。 ^{[11] [12]}
2. すべての整閉 ネーター 整域はクルル整域である。^[13]特に、 デデキント整域はクルル整域である。逆に、クルル整域は整閉であるため、ネーター整域がクルル整域となるのは、それが整閉である場合のみである。
3. がクルル領域であれば、多項式環と形式冪級数環もクルル領域である。^[14]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x]}$ ${\displaystyle A[[x]]}$
4. 一意の因数分解領域上の無限変数の多項式環は、ノイザンではないクルル領域です。${\displaystyle R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}$ ${\displaystyle R}$
5. を商体 を持つネーター領域とし、をの有限代数拡大とする。このとき におけるの積分閉包はクルル領域となる（森永田定理）。^[15]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$
6. をザリスキー環（例えば局所ネーター環） とする。完備化がクルル域であれば、はクルル域（森）である。^{[16] [17]}${\displaystyle A}$${\displaystyle {\widehat {A}}}$${\displaystyle A}$
7. をクルル領域とし、を素元のべき乗からなる乗法的に閉じた集合とする。すると はクルル領域である（永田）。^[18]${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p\in A}$${\displaystyle S^{-1}A}$

がクルル域で、 がその商体であると仮定します。 の素因子はの高さ 1 の素イデアルです。 の素因子の集合は後述のように表記されます。 の (ヴェイユ)因子は、素因子の形式的な整線形結合です。これらは と表記されるアーベル群を形成します。内の非ゼロの値に対する形式 の因子は主因子と呼ばれます。 の主因子は因子群の部分群を形成します (この群は と同型であることが上で示されています。ここで はの単位元群です)。 因子群を主因子の部分群で割った商は の因子類群と呼ばれ、通常は と表記されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(A)}$${\displaystyle div(x)=\sum _{p\in P}v_{p}(x)\cdot p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\times }/U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C(A)}$

がを含むクルル整域であると仮定します。通常、 の素イデアルがの素イデアルの上にあるとは、の場合に言います。これは と省略されます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}\cap A={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}}}$

の分岐指数を、を の素因数の集合で表す。適用を で 定義する。${\displaystyle v_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(A)\to D(B)}$

${\displaystyle j({\mathfrak {p}})=\sum _{{\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {P}}\in P(B)}e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}}){\mathfrak {P}}}$

（上記の和は有限である。なぜなら、各 は最大でも有限個の の元に含まれるからである）。 線型性による適用を線型適用 に拡張しよう。ここで、どのような場合に が射影を誘導するかを問うことができる。これにより、いくつかの結果が導かれる。^[19]例えば、以下はガウスの定理を一般化したものである。 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle D(A)\to D(B)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\bar {j}}:C(A)\to C(B)}$

この応用は単射である。特に、 が唯一の因数分解領域であれば、 も唯一の因数分解領域である。${\displaystyle {\bar {j}}:C(A)\to C(A[X])}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A[X]}$^[20]

クルル環の因子類群は強力な降下法、特にガロア降下法の構築にも用いられる。^[21]

クルル環のカルティエ因子は局所主（ヴェイユ）因子である。カルティエ因子は主因子を含む因子群の部分群を形成する。カルティエ因子を主因子で割った商は因子類群の部分群であり、 Spec( A )上の可逆層のピカール群と同型である。

例: 環k [ x , y , z ]/( xy – z ² ) において、因子類群は因子y = zによって生成される位数 2 であるが、ピカール部分群は自明な群である。^[22]

• N.ブルバキ。可換代数。
• 「クルル環」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Krull、Wolfgang (1931)、「Allgemeine Bewertungstheorie」、J. Reine Angew。数学。、167 : 160–196、2013 年 1 月 6 日のオリジナルからアーカイブ
• 松村秀之『可換代数』第 2版。数学講義ノートシリーズ、56。ベンジャミン/カミングス出版、マサチューセッツ州レディング、1980 年。xv+313 ページ。ISBN 0-8053-7026-9 
• 松村秀之『可換環論』。M. リード訳。ケンブリッジ高等数学研究、8。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1986年。xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9 
• サミュエル、ピエール(1964)、ムルシー、M. パヴマン (編)、一意因数分解ドメインに関する講義、タタ基礎研究所数学講義、第 30 巻、ボンベイ: タタ基礎研究所、MR  0214579