乗法的に閉じた集合

抽象代数学において、乗法的に閉集合（または乗法的集合）とは、環Rの部分集合 Sであって、次の2つの条件が満たされるものである。^{[1] [2]}

• ${\displaystyle 1\in S}$、
• ${\displaystyle xy\in S}$すべてに対して。${\displaystyle x,y\in S}$

言い換えれば、Sは有限積を取ることについて閉じており、これには空積1も含まれます。 ^[3] 同様に、乗法集合は環の 乗法モノイドのサブモノイドです。

乗法集合は可換代数において特に重要であり、可換環の 局所化を構築するために使用されます。

環Rの部分集合S は、それが因子を取ることに関して閉じている場合に飽和していると呼ばれます。つまり、積xy がSに含まれるときはいつでも、要素xとyもSに含まれます。

乗法集合の例には次のものがあります。

• 可換環における素イデアルの集合論的補集合。
• 集合{1, x , x ² , x ³ , ...}（ただしxは環の元）。
• 環の単位集合。
• 環内の非零因子の集合。
•  理想Iの場合は1 + I ;
• ジョルダン・ポリア数、階乗の乗法閉包。

• 可換環RのイデアルP は、その補環R \ Pが乗法的に閉じている場合に限り素数である。
• 部分集合Sが飽和かつ乗法的に閉じている場合、かつその場合のみ、Sは素イデアルの和集合の補集合となる。 ^[4] 特に、素イデアルの補集合は飽和かつ乗法的に閉じている。
• 乗法集合の族の共通部分は乗法集合である。
• 飽和集合の族の共通部分は飽和しています。

• リングの局在
• 右分母セット

• MF AtiyahとIG Macdonald著、『可換代数入門』、Addison-Wesley、1969 年。
• David Eisenbud、「代数幾何学に向けた可換代数」、Springer、1995年。
• カプランスキー、アーヴィング（1974）、可換環（改訂版）、シカゴ大学出版局、MR  0345945
• Serge Lang、代数第 3 版、Springer、2002 年。