素数回避補題

代数学において、素数回避補題は、可換環Rのイデアル Iが有限個の素イデアルP _iの和集合に含まれる場合、あるiに対してP _iに含まれるということを言います。

この補題には多くのバリエーションがある（Hochster参照）。例えば、環Rが無限体または十分に大きな濃度の有限体を含む場合、無限体または大きな濃度の有限体上のベクトル空間はその適切なベクトル部分空間の有限和ではないという線型代数の事実から次の命題が導かれる。 ^[1]

次の声明と議論はおそらく最も標準的なものです。

ステートメント: E をRの加法部分群であり乗法的に閉じているRの部分集合とします。が の素イデアルであるようなイデアルとします。Eがのいずれにも含まれない場合、E は和集合 に含まれません。 ${\displaystyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{n},n\geq 1}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle i\geq 3}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \cup I_{i}}$

nに関する帰納法による証明: 考え方は、 Eに含まれ、 のいずれにも含まれない要素を見つけることです。基本的なケースn = 1 は自明です。次に、n ≥ 2 と仮定します。各iについて、 ${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle z_{i}\in E-\cup _{j\neq i}I_{j}}$

ここで、右側の集合は帰納的仮定により空ではない。すべてのiに対して と仮定できる。そうでない場合は、すべての を避けて終了する。 ${\displaystyle z_{i}\in I_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle z=z_{1}\dots z_{n-1}+z_{n}}$。

すると、z はEに含まれますが、 のいずれにも含まれません。実際、zが に対して に含まれる場合、 はに含まれるため、矛盾が生じます。z が に含まれると仮定します。するとはに 含まれます。nが 2 の場合、これで完了です。n > 2 の場合、 は素イデアルであるため、 はに含まれるため、矛盾が生じます。 ${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle i\leq n-1}$${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle z_{1}\dots z_{n-1}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle z_{i},i<n}$${\displaystyle I_{n}}$

E. Davis によるプライム回避の変種として次のものがあります。

証明: ^[3] rについて帰納的に議論する。一般性を失うことなく、 の間に包含関係がないと仮定できる。そうでなければ帰納的仮説を使用できるからである。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

また、各iに対して であれば、これで完了です。したがって、一般性を失うことなく を仮定できます。帰納的仮説により、となるJ内のyを見つけます。が 内にない場合は、これで完了です。それ以外の場合は、 ( であるため) であり、 は素イデアルであるため、次の式が得られること に注意してください。${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle x+y\in I-\cup _{1}^{r-1}{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle x+y}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle J\not \subset {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}\not \supset J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$。

したがって、では ではないを選択できます。 なので、要素は必要なプロパティを持ちます。${\displaystyle y'}$${\displaystyle J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle x+y\in {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle x+y+y'}$${\displaystyle \square }$

A をネーター環、I を n 個の元で生成されるイデアル、M を となる有限 A 加群とします。また、=におけるM正則シーケンスの最大長、 = I におけるすべての最大 M 正則シーケンスの長さとします。すると、この推定値は、上記の素数回避法を使用して次のように示されます。nに関する帰納法によって論じます。をMの関連する素数の集合とします。 の場合、各iに対して となります。の場合、素数回避法によって、 ${\displaystyle IM\neq M}$${\displaystyle d=\operatorname {depth} _{A}(I,M)}$${\displaystyle d\leq n}$${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}\}}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle I\not \subset {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle I=(y_{1},\dots ,y_{n})}$

${\displaystyle x_{1}=y_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}y_{i}}$

に対して、 =となるM上の零因子の集合となる の任意の数に対して、 となる数である。ここで、は元によって生成されるのイデアルであり、したがって帰納的仮定により、 となる。ここで主張は次のようになる。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{1}\not \in \cup _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle I/(x_{1})}$${\displaystyle A/(x_{1})}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \operatorname {depth} _{A/(x_{1})}(I/(x_{1}),M/x_{1}M)\leq n-1}$

• メル・ホクスター、次元理論とパラメータシステム、補足ノート
• 松村秀之 (1986)。可換環論。ケンブリッジ高等数学研究第8巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-36764-6. MR  0879273. Zbl  0603.13001.