ズボン（数学）

数学において、ズボンは3 つの穴があいた球面に同相な面である。この名前は、取り除かれた円板の 1 つをウエスト、他の 2 つをズボンの裾と考えることに由来する。

パンツのペアは、さまざまな理論でコンパクトサーフェスの構成要素として使用されます。重要な応用としては、双曲幾何学、つまり閉じたサーフェスをパンツのペアに分解して、タイヒミュラー空間上にフェンチェル-ニールセン座標を構築する応用と、位相量子場理論、つまり1 次元多様体間の最も単純で非自明なコボルディズムとして使用される応用の 2 つがあります。

パンツは、3 つの穴がある球に同相な任意の表面であり、正式には、球から 2 つずつ互いに素な閉包を持つ 3 つの開円板を取り除いた結果です。したがって、パンツは、3 つの境界成分を持つ種数0のコンパクトな表面です。

ズボンのオイラー特性は -1 に等しく、この特性を持つ他の唯一の表面は、穴あきトーラス(トーラスから開いたディスクを除いたもの) です。

曲面の研究におけるパンツの重要性は、次の特性に由来します。境界成分を持つ種数の連結コンパクト曲面の複雑性を と定義し、連結されていない曲面の場合はすべての成分の合計をとります。すると、負のオイラー特性と複雑性ゼロを持つ曲面は、パンツの互いに素な和だけです。さらに、任意の曲面と、境界成分に同型でない任意の単純閉曲線の場合、に沿って切断することで得られるコンパクト曲面の複雑性は より小さくなります。この意味で、パンツは、負のオイラー特性を持つすべての曲面の中で唯一の「既約」曲面です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \xi (S)=3g-3+k}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$

再帰的議論によれば、これは、任意の曲面に対して、曲面をパンツのペアに分割する単純な閉曲線のシステムが存在することを意味します。これは、曲面のパンツ分解と呼ばれ、曲線は分解のカフスと呼ばれます。この分解は一意ではありませんが、議論を定量化することで、特定の曲面のすべてのパンツ分解に同じ数の曲線があることがわかります。これは、まさに複雑さです。^[1]連結された曲面の場合、パンツ分解には正確にパンツがあります。 ${\displaystyle 2g-2+k}$

表面上の単純な閉曲線のコレクションは、それらが互いに素であり、それらの 2 つがホモトピックでなく、どれも境界コンポーネントにホモトピックでない場合、およびコレクションがこれらのプロパティに対して最大である場合に限り、パンツ分解です。

与えられた曲面には、無限に多くの異なるパンツ分解があります (2 つの分解は、ホモトピックでない場合は異なると理解されます)。これらすべての分解の関係を理解する 1 つの方法は、曲面に関連付けられたパンツ複体です。これは、パンツ分解の頂点集合を持つグラフであり、2 つの頂点が基本移動によって関連付けられている場合は、それらの頂点が結合されます。基本移動は次の 2 つの操作のいずれかです。 ${\displaystyle S}$

• 1つの穴があるトーラスの分解における曲線を取り、それをトーラス内の1回だけ交差する曲線に置き換えます。${\displaystyle \alpha}$
• 4 つの穴がある球面の分解における曲線を取り、それを 2 回だけ交差する球面の曲線に置き換えます。${\displaystyle \alpha}$

パンツ複合体は連結されており^[2]（任意の2つのパンツ分解は一連の基本移動によって関連していることを意味する）、無限の直径を持つ（つまり、1つの分解から別の分解に移行するために必要な移動回数に上限がないことを意味する）。表面の複雑度が1である特定のケースでは、パンツ複合体はファレイグラフと同型である。

写像類群のパンツ複体への作用は、この群を研究する上で興味深いものです。例えば、アレン・ハッチャーとウィリアム・サーストンは、それが有限提示であるという事実の証明を与えるためにそれを使用しました。

ズボンの興味深い双曲線構造は簡単に分類できます。^[3]

すべてに対して、ズボンに同相で、境界要素が に等しい長さの単純な閉じた測地線である双曲面が存在します。このような曲面は、等長変換までによって一意に決定されます。${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}\in (0,\infty )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell _{1}、\ell _{2}、\ell _{3}}$${\displaystyle \ell_{i}}$

袖口の長さをゼロにすると、袖口を除いたズボンの完全な 測定単位が得られ、袖口は尖端に置き換えられます。この構造は有限体積です。

前の段落の分類の幾何学的証明は、双曲パンツの構造を理解する上で重要です。それは次のように行われます。完全に測地線境界を持つ双曲パンツの場合、袖口をペアで接続し、端点で袖口に垂直になる 3 つの固有の測地線弧が存在します。これらの弧はパンツの 縫い目と呼ばれます。

ズボンを縫い目に沿って切ると、長さが一致する3つの交互の辺を持つ2つの直角双曲六角形が得られます。次の補題は初等双曲幾何学で証明できます。^[4]

2 つの直角双曲六角形がそれぞれ 3 つの交互の辺の長さが同じである場合、それらは互いに等長です。

したがって、このパンツは、交互の辺に沿った直角六角形の二重であることがわかります。六角形の等長類も、残りの交互の 3 辺の長さによって一意に決定されるため、パンツの分類は六角形の分類に従います。

片方のカフの長さがゼロの場合、直角六角形の対応する辺を理想的な頂点に置き換えます。

曲面の Teichmüller 空間内の点は、完全双曲面と微分同相写像 のペアによって表されます。${\displaystyle S}$${\displaystyle (M,f)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:S\to M}$

が曲線によるパンツ分解を持つ場合、次のように定義されるフェンチェル-ニールセン座標によって Teichmüller ペアをパラメータ化できます。カフの長さは、 に同相な閉じた測地線の長さに過ぎません。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \gamma_{i}}$ ${\displaystyle \ell_{i}}$${\displaystyle f(\gamma _{i})}$

ねじれパラメータは 定義するのがより困難です。これは、2 組のズボンを に沿って接着するときにどれだけ回転するかに対応します。これは、 を法として定義します。定義を改良して (解析接続^[5]または幾何学的手法を使用して)、 で値が設定されるねじれパラメータを取得できます(大まかに言えば、ポイントは、完全に回転すると、の周りのDehn ねじれで事前合成することにより、Teichmüller 空間内の点が変化するということです)。 ${\displaystyle \tau_{i}}$${\displaystyle \gamma_{i}}$${\displaystyle \ell _{i}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \gamma_{i}}$

パンツ複体からタイヒミュラー空間への写像を定義することができ、これはフェンチェル・ニールセン座標のカフ部分が十分に大きな定数で囲まれる領域内の任意の点へのパンツ分解をとる。これはタイヒミュラー空間にヴァイル・ペーターソン計量が備わっている場合の準等長写像であり、この計量の研究に有用であることが証明されている。^[6]

これらの構造は、2 つの生成元上のショットキー群に対応します(より正確には、 2 つの生成元上のショットキー群による双曲平面の商がズボンの内部と同相である場合、その凸コアは上記のように双曲ズボンであり、すべてはそのように得られます)。

2 つのn次元閉多様体間のコボルディズムは、その境界が 2 つの多様体の非交わりな和であるコンパクトな ( n +1) 次元多様体です。次元n +1のコボルディズムのカテゴリは、次元nの閉多様体を対象とし、それらの間のコボルディズムを射とするカテゴリです(コボルディズムの定義には、境界の多様体への同一視が含まれることに注意してください)。多様体の 1 つは空になる可能性があることに注意します。特に、次元n +1 の閉多様体は、空集合の自己準同型として見なされます。最初のコボルディズムの終了が 2 番目の開始に等しい場合、2 つのコボルディズムを合成することもできます。n 次元位相量子場理論 (TQFT) は、nコボルディズムのカテゴリから複素ベクトル空間のカテゴリへのモノイド関数です (乗算はテンソル積で与えられます)。

特に、1 次元多様体 (円の和集合) 間のコボルディズムは、境界が 2 つの互いに交わらない円の和集合に分割されたコンパクト サーフェスです。2 次元 TQFT はフロベニウス代数に対応し、円 (唯一の連結した 1 次元閉多様体) は代数の基礎となるベクトル空間にマップされ、パンツは境界コンポーネントのグループ化方法 (可換または余可換) に応じて積または余積を与えます。さらに、ディスクに関連付けられたマップは、境界のグループ化に応じて余単位 (トレース) または単位 (スカラー) を与え、これにより対応が完成します。

• ハッチャー、アレン; サーストン、ウィリアム (1980)。「閉じた有向面の写像類群の表現」。トポロジー。19 (3​​): 221–237。doi :10.1016/0040-9383(80)90009-9。
• 今吉洋一、谷口雅彦 (1992)。タイヒミュラー空間入門。シュプリンガー。pp. xiv+ 279。ISBN 4-431-70088-9。
• ラトクリフ、ジョン (2006)。双曲多様体の基礎、第 2 版。シュプリンガー。pp. xii+779。ISBN 978-0387-33197-3。