クラスター代数

クラスター代数は、 FominとZelevinsky  (2002、2003、2007)によって導入された可換環のクラスです。ランクnのクラスター代数は、整域Aと、クラスターと呼ばれるサイズnの部分集合から成り、クラスターの和が代数 A を生成し、さまざまな条件を満たします。

Fが、有理数Q上の n 変数の有理関数の体Q ( x ₁ ,..., x _n )などの整域であるとします。

ランクnのクラスターは、Fのn個の要素 { x、y、...}の集合で構成され、通常は体拡大Fの生成元の代数的に独立した集合であると想定されます。

シードは、 Fのクラスター { x , y , ...}と、クラスターの要素x、_yのペアでインデックス付けされた整数エントリb _x、yを持つ交換行列Bで構成されます。行列は歪対称であると想定されることもあり、すべてのxおよびyについてb _x、y = – b _y、xとなります。より一般的には、行列は歪対称化可能である可能性があり、これは、クラスターの要素に関連付けられた正の整数d _xがあり、すべてのxおよびyについてd _x b _x、y = – d _y b _y、xとなることを意味します。シードは、頂点が生成セットである矢筒として表すのが一般的です。そのためには、 xからyへのb _x、y矢印(この数が正の場合) を描きます。b _x、yが歪対称化可能である場合、矢筒にはループや 2 サイクルが含まれません。

クラスターの頂点yの選択に依存するシードの突然変異は、次のように傾斜の一般化によって与えられる新しいシードです。クラスター内の すべてのxについて、 b _{x , y}とb _{y , x}の値を交換します。 b _{x , y} > 0 かつb _{y , z} > 0の場合、 b _{x , z}を b _{x , y} b _{y , z} + b _{x , z}に置き換えます。 b _{x , y} < 0 かつb _{y , z} < 0の場合、 b _{x , z}を - b _{x , y} b _{y , z} + b _{x , z}に置き換えます。b _{x , y} b _{y , z} ≤ 0 の場合、 b _{x , z}を変更しません。最後に、y を新しいジェネレータwに置き換えます。ここで

${\displaystyle wy=\prod _{t:\,b_{t,y}>0}t^{b_{t,y}}+\prod _{t:\,b_{t,y}}} t^{-b_{t,y}}}$

ここで、積はシードのクラスター内の要素t を通過し、 b _{t、y は}それぞれ正または負になります。突然変異の逆も突然変異です。つまり、AがBの突然変異である場合、B はAの突然変異です。

クラスター代数は、次のように初期シードから構築されます。シードをあらゆる方法で繰り返し変更すると、シードの有限または無限グラフが得られます。このグラフでは、2 つのシードは、一方が他方を変更することで得られる場合、エッジで結合されます。クラスター代数の基礎となる代数は、このグラフ内のすべてのシードのすべてのクラスターによって生成される代数です。クラスター代数には、このグラフのシードの追加構造も付属しています。

クラスター代数は、有限個のシードのみを持つ場合、有限型であると言われます。Fomin & Zelevinsky (2003) は、有限型のクラスター代数は、有限次元単純リー代数のDynkin 図によって分類できることを示しました 。

{ x } が階数 1 のシードのクラスターである場合、唯一の突然変異はこれを {2 x ⁻¹ } にします。したがって、階数 1 のクラスター代数は、ローラン多項式の環k [ x , x ⁻¹ ] にすぎず、2 つのクラスター { x } と {2 x ⁻¹ } だけを持ちます。特に、これは有限型であり、ディンキン図 A ₁に関連付けられています。

クラスター{ x ₁ , x ₂ }から始めて、 b ₁₂ = –b ₂₁ = 1の交換行列を取るとします。すると突然変異により変数のシーケンスx ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ,...が与えられ、クラスターは隣接するペア{ x _n , x _{n +1} }で与えられます。変数は次のように関連しています。

${\displaystyle \displaystyle x_{n-1}x_{n+1}=1+x_{n},}$

順序によって与えられる

${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3}={\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},\ x_{4}={\frac {1+x_{3}}{x_{2}}}={\frac {1+x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle x_{5}={\frac {1+x_{4}}{x_{3}}}={\frac {1+x_{1}}{x_{2}}},\ x_{6}={\frac {1+x_{5}}{x_{4}}}=x_{1},\ x_{7}={\frac {1+x_{6}}{x_{5}}}=x_{2},\ \ldots }$

これは周期 5 で繰り返されます。したがって、このクラスター代数はちょうど 5 つのクラスターを持ち、特に有限型です。これは Dynkin 図 A ₂に関連付けられています。

b ₁₂ = 1、– b ₂₁ = 2 または 3 の場合にも同様の事例があり、クラスター変数の類似したシーケンスが周期 6 または 8 で繰り返されます。これらも有限型であり、ディンキン図 B ₂および G ₂に関連付けられています。ただし、| b ₁₂ b ₂₁ | ≥ 4 の場合、クラスター変数のシーケンスは周期的ではなく、クラスター代数は無限型になります。

矢筒x ₁ → x ₂ → x ₃から始めるとすると、14 個のクラスターは次のようになります。

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},x_{2},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},x_{2},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\}.}$

初期値である 3つのクラスター変数x ₁、x ₂、x _{3の他に、6つのクラスター変数があります。}

${\displaystyle {\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}}$。

これらは、ディンキン図 A ₃の 6 つの正根に対応します。より正確には、分母はx ₁、x ₂、x ₃の単項式であり、正根の表現が単純根の和であることに対応します。3+6 個のクラスター変数は、ディンキン図 A _{3に関連付けられた有限型のクラスター代数を生成します。14 個のクラスターは、}アソシアヘドロンであるクラスター グラフの頂点です。

グラスマン多様体上の同次関数の代数によって簡単な例が与えられます。プルッカー座標はいくつかの特徴的な要素を提供します。

の平面のグラスマン多様体の場合、状況はさらに単純になります。その場合、プルッカー座標はすべての区別される要素を提供し、クラスターはn頂点の正多角形の三角形分割を使用して完全に記述できます。より正確には、クラスターは三角形分割と 1 対 1 に対応し、区別される要素は対角線 (多角形の 2 つの頂点を結ぶ線分) と 1 対 1 に対応します。すべてのクラスターに属する境界の対角線と内部の対角線を区別できます。これは、係数変数とクラスター変数の一般的な区別に対応します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Sがコンパクトで 連結された 有向 リーマン面であり、M がS内の空でない有限の点集合であり、 Sの各境界要素から少なくとも 1 つの点が含まれているとします ( Sの境界は空でも空でないとも想定されません)。ペア ( S、M ) は、マークされた点を持つ境界付き面と呼ばれることがよくあります。 Fomin-Shapiro-Thurston によって、Sが閉じた曲面でない場合、またはM が複数の点を持つ場合、( S、M ) 上の (タグ付き) 弧が、( S 、 M ) と何らかの係数システムの選択のみに依存する特定のクラスター代数A ( S、M ) のクラスター変数のセットをパラメーター化し、( S、M ) の (タグ付き) 三角形分割のセットがA ( S、M )のクラスターのセットと 1 対 1 に対応し、2 つの (タグ付き) 三角形分割がフリップによって関連付けられるのは、それらが対応するクラスターがクラスター変異によって関連付けられている場合のみであることが 示されました。

ボレル部分群のような簡約群の場合、 （およびはワイル群内にある）およびの簡約語分解に依存するクラスター座標チャートが存在します。 これらは因数分解パラメータと呼ばれ、その構造は配線図にエンコードされています。 のみ、または のみの場合、これはBruhat 分解です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle B_{\pm }}$${\displaystyle G^{u,v}=BuB\cap B_{-}vB_{-}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{-}}$

• ベレンシュタイン、アルカディ; フォミン、セルゲイ; ゼレビンスキー、アンドレイ (2005)、「クラスター代数。III. 上限と二重ブルハットセル」、デューク数学ジャーナル、126 (1): 1–52、arXiv : math/0305434、doi :10.1215/S0012-7094-04-12611-9、MR  2110627、S2CID  7733033
• Fomin, Sergey; Shapiro, Michael; Thurston, Dylan (2008)、「クラスター代数と三角形面、パート I: クラスター複合体」、Acta Mathematica、201 : 83–146、arXiv : math/0608367、doi :10.1007/s11511-008-0030-7、S2CID  14327145
• フォミン、セルゲイ; ゼレビンスキー、アンドレイ (2002)、「クラスター代数。I. 基礎」、アメリカ数学会誌、15 (2): 497–529、arXiv : math/0104151、doi :10.1090/S0894-0347-01-00385-X、MR  1887642、S2CID  13629643
• フォミン、セルゲイ。 Zelevinsky、Andrei (2003)、「クラスター代数。II. 有限型分類」、Inventiones Mathematicae、154 (1): 63–121、arXiv : math/0208229、Bibcode :2003InMat.154...63F、doi :10.1007/s00222-003-0302-y、MR  2004457、S2CID  14540263
• フォミン、セルゲイ。 Zelevinsky、Andrei (2007)、「クラスター代数。IV. 係数」、Compositio Mathematica、143 (1): 112–164、arXiv : math/0602259、doi :10.1112/S0010437X06002521、MR  2295199、S2CID  15744006
• Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007)、「ルート システムと一般化された連想面体」、Miller, Ezra、Reiner, Victor、Sturmfels, Bernd (編)、幾何学的組み合わせ論、IAS/Park City Math. Ser.、vol. 13、Providence、RI: Amer. Math. Soc.、arXiv : math/0505518、Bibcode :2005math......5518F、ISBN 978-0-8218-3736-8、MR  2383126
• マーシュ、ベサニー R. (2013)、「クラスター代数の講義ノート」、チューリッヒ上級数学講義、チューリッヒ: ヨーロッパ数学協会 (EMS)、doi :10.4171/130、ISBN 978-3-03719-130-9、MR  3155783
• ライテン、イドゥン (2010)、「ティルティング理論とクラスター代数」、トリエステワークショップ議事録、arXiv : 1012.6014、Bibcode :2010arXiv1012.6014R
• Zelevinsky, Andrei (2007)、「クラスター代数とは何か?」(PDF)、AMS Notices、54 (11): 1494–1495。

• フォミンのクラスター代数ポータル
• フォミンのクラスター代数に関する論文