ニュートンの運動法則

物体は、外力によってその状態を変えさせられない限り、静止状態、または直線上の等速運動を続ける。^{[ 14 ] : 114 [注3 ]}

ニュートンの第一法則は慣性の原理を表している。すなわち、物体は本来、一定の速度で直線運動をしようとする。物体の運動は現状維持を目的としているが、外部からの力によってこの状態が乱されることがある。

ニュートンの第一法則の現代的な理解では、慣性観測者は誰一人として他の観測者より優位に立つことはない。慣性観測者という概念は、運動の影響を感じないという日常的な感覚を定量化するものである。例えば、地上に立って列車が通り過ぎるのを見ている人は慣性観測者である。地上の観測者が列車が一定の速度で直線上を滑らかに動いていると見ているならば、列車に乗っている乗客もまた慣性観測者であり、列車の乗客は運動を感じない。ニュートンの第一法則が表す原理は、どの慣性観測者が「本当に」動いていて、どの慣性観測者が「本当に」静止しているかを判断する方法はないということである。ある観測者にとっての静止状態は、別の観測者にとっては直線上の等速運動の状態であり、どちらの視点が正しいか間違っているかを実験によって判断することはできない。絶対的な静止の基準は存在しないのである。^{[ 18 ] [ 14 ] : 62–63 [ 19 ] : 7–9}ニュートン自身は絶対的な空間と時間が存在すると信じていたが、実験で測定できる空間や時間の尺度は相対的なものだけであると考えていた。^{[ 20 ]}

物体の運動の変化は加えられた力に比例し、力が加えられた直線の方向に生じる。^{[ 14 ]： 114}

ニュートンが「運動」と言ったのは、現在運動量と呼ばれる量のことで、これは物体に含まれる物質の量、物体が動いている速度、そして物体が動いている方向によって決まります。^{[ 21 ]}現代の表記では、物体の運動量はその質量と速度の積です。 $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$ 3つの量すべてが時間とともに変化する可能性がある。一般的なケースでは質量${\displaystyle m}$は時間とともに変化せず、微分は速度にのみ作用します。すると力は質量と速度の時間微分（加速度）の積に等しくなります。^{[ 22 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} \,.}$$ 加速度は位置の時間に関する2階微分であるため、次のように書くこともできます。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

ニュートンの第二法則は、現代では運動量の時間微分が力であると述べている。^{[ 23 ]： 4.1}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,.}$$質量が変化するシステム に適用する場合、上記の式は固定された粒子セットに対してのみ有効です。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(誤)} }$$ 誤った結果につながる可能性があります。^{[ 24 ]}例えば、ウォータージェットシステムの運動量には、噴射された水の運動量を含める必要があります。^{[ 25 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}-\mathbf {v} _{\mathrm {eject} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}。$$

物体に作用する力はベクトルとして加算されるため、物体に作用する総力は個々の力の大きさと方向の両方に依存します。^{[ 23 ] : 58}物体に作用する正味の力がゼロの場合、ニュートンの第二法則により、物体は加速せず、力学的平衡状態にあると言われます。力学的平衡状態は、物体の位置がわずかに変化しても、物体がその平衡状態の近くにとどまる場合に安定しています。そうでない場合、平衡状態は不安定です。^{[ 14 ] : 121 [ 23 ] : 174}

力が協調して作用する様子を視覚的に表現する一般的な方法として自由体図があります。これは、対象となる物体と、外部からの影響によって物体に加わる力を模式的に表したものです。^{[ 26 ]}例えば、傾斜面上に置かれたブロックの自由体図は、重力、 「垂直」力、摩擦力、および糸の張力の組み合わせを示すことができます。^{[注4 ]}

ニュートンの第二法則は、力の定義として提示されることがあります。つまり、慣性系から見ると物体が加速しているように見えるときに力が存在する、ということです。これは、加速は力を意味し、力は加速を意味するという、潜在的な同義反復と見なされることがあります。同義反復を超越するために、ニュートンの万有引力の法則のように、力を詳細に記述する方程式も指定されることがあります。${\displaystyle \mathbf {F} }$ニュートンの第二法則に、予測力のある方程式を組み込むことができる。^{[注5 ]}ニュートンの第二法則は、物理学の研究プログラムを確立するものとも考えられており、物理学の重要な目標は、自然界に存在する力を特定し、物質の構成要素を分類することであるとされている。^{[ 14 ]： 134 [ 28 ]： 12-2}

すべての作用には必ず等しい反作用が伴う。すなわち、二つの物体が互いに及ぼし合う作用は常に等しく、反対の方向に向かう。^{[ 14 ]： 116}

言い換えれば、ある物体が別の物体に力を及ぼすと、その別の物体も最初の物体に同じ大きさで反対方向に力を及ぼします。第三法則を「作用は反作用に等しい」などとあまりにも簡潔に言い換えると、何世代にもわたる学生の間で混乱を招いた可能性があります。「作用」と「反作用」は異なる物体に適用されるからです。例えば、テーブルの上に静止している本を考えてみましょう。地球の重力が本を下向きに引っ張ります。この「作用」に対する「反作用」は、テーブルが本を支えている力ではなく、本が地球に及ぼす重力です。^{[注6 ]}

ニュートンの第三法則は、より根本的な原理である運動量保存の法則に関係している。後者は、ニュートンの法則が成り立たない場合、例えば力場と物質の両方が運動量を持つ場合（例えば電磁気学）、そして運動量が適切に定義されている場合（量子力学においても）でも真であり続ける。^{[注7 ]}ニュートン力学では、2つの物体が運動量を持つ場合、$\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$そして$\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$それぞれ、ペアの全運動量は${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$、そして変化率は${\displaystyle \mathbf {p} }$は$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{2}}{\mathrm {d} t}}。$$ニュートンの第二法則によれば、第一項は第一の物体に作用する全力であり、第二項は第二の物体に作用する全力である。二つの物体が外部からの影響から隔離されている場合、第一の物体に作用する力は第二の物体からの力のみであり、その逆もまた同様である。ニュートンの第三法則によれば、これらの力は大きさが等しく方向が反対であるため、加算すると打ち消し合い、${\displaystyle \mathbf {p} }$は定数です。あるいは、${\displaystyle \mathbf {p} }$が一定であることがわかっているので、力は大きさが等しく方向が反対であることがわかります。

古典力学で用いられる他の概念をニュートンの法則と同等の地位に引き上げることを様々な情報源が提案している。例えば、ニュートン力学では、2つの小さな物体を結合して作られた物体の総質量は、それぞれの物体の質量の合計である。フランク・ウィルチェックはこの仮定を「ニュートンの第ゼロ法則」と名付けることで、この仮定に注目するよう提案している。^{[ 37 ]}「第ゼロ法則」のもう1つの候補は、物体はどの瞬間においても、その瞬間に作用する力に反応するという事実である。^{[ 38 ]}同様に、力がベクトルのように加算される（言い換えれば重ね合わせの原理に従う）という考え方、および力が物体のエネルギーを変化させるという考え方の両方が「第4法則」として説明されている。^{[注8 ]}

さらに、ニュートン力学の基本概念を、一般的に表現される3つの法則以外のさまざまな公準に整理したテキストもあり、経験的に観察されるものと定義によって真であるものをより明確にすることを目的としています。^{[ 19 ] : 9 [ 27 ]}

ニュートンの法則を用いて質量のある物体の挙動を研究する学問は、ニュートン力学として知られています。ニュートン力学におけるいくつかの例題は、概念的または歴史的な理由から特に注目に値します。

等加速度運動

物体が地球表面付近で静止状態から落下する場合、空気抵抗がないため、一定の加速度で落下します。これは自由落下と呼ばれます。自由落下中に到達する速度は経過時間に比例し、移動距離は経過時間の二乗に比例します。^{[ 43 ]}重要なのは、加速度は物体の質量に関係なく、すべての物体で同じであるということです。これは、ニュートンの運動第二法則と万有引力の法則を組み合わせることで導き出されます。万有引力の法則は、地球から物体に及ぼす重力の大きさは、 $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle m}$は落下する物体の質量です。${\displaystyle M}$は地球の質量です。${\displaystyle G}$はニュートン定数であり、${\displaystyle r}$は地球の中心から物体の位置までの距離であり、地球の半径とほぼ同じです。これを${\displaystyle ma}$体の質量${\displaystyle m}$方程式の両辺から相殺され、残る加速度は${\displaystyle G}$、${\displaystyle M}$、 そして${\displaystyle r}$、 そして${\displaystyle r}$は一定とみなすことができる。この特定の加速度の値は通常、次のように表される。${\displaystyle g}$: $${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

物体が静止状態から解放されるのではなく、非ゼロの速度で上向きおよび/または水平方向に発射される場合、自由落下は放物運動となる。^{[ 44 ]}空気抵抗を無視できる場合、重力は物体の垂直方向の運動には影響するが水平方向の運動には影響しないため、放物線状の軌道を描く。放物線の軌道の頂点では、垂直方向の速度はゼロであるが、加速度は${\displaystyle g}$常に下向きである。間違ったベクトルをゼロに設定することは、物理学の学生の間でよくある混乱である。^{[ 45 ]}

等速円運動

物体が等速円運動をしているとき、物体に作用する力は運動の方向を変えるが、速度は変えない。半径の円を運動する物体の場合${\displaystyle r}$一定の速度で${\displaystyle v}$その加速度の大きさは$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$そして、円の中心に向かっています。^{[注9 ]}この加速度を維持するために必要な力は向心力と呼ばれ、したがって円の中心に向かっており、大きさは です。${\displaystyle mv^{2}/r}$月が地球の周りを回る軌道など、多くの軌道は等速円運動で近似できます。このような場合、向心力は重力であり、ニュートンの万有引力の法則により、その大きさは${\displaystyle GMm/r^{2}}$、 どこ${\displaystyle M}$は、周回しているより大きな天体の質量である。したがって、ある天体の質量は、その周囲を周回する別の天体の観測から計算することができる。^{[ 47 ]： 130}

ニュートンの砲弾は、投射運動と等速円運動の間を補間する思考実験です。高い崖の端から弱く投げられた砲弾は、静止状態から落とされた場合と同じ時間で地面に到達します。これは、重力が砲弾の運動量に下向きにのみ影響し、水平方向の動きによってその影響が軽減されないためです。砲弾がより大きな初速度で発射された場合、地面に到達するまでの距離は長くなりますが、それでも地面に到達する時間は同じです。しかし、砲弾がさらに大きな初速度で発射された場合、地球の曲率が重要になります。地面自体が落下する砲弾から遠ざかるように湾曲します。非常に速い砲弾は、地球がその下で湾曲するのと同じ速度で慣性直線軌道から遠ざかります。言い換えれば、（空気抵抗や障害物によって減速されないと仮定すると）軌道上にあることになります。^{[ 48 ]}

調和運動

質量が${\displaystyle m}$に沿って移動できる${\displaystyle x}$軸、そして平衡点が位置に存在すると仮定する${\displaystyle x=0}$つまり、${\displaystyle x=0}$物体にかかる正味の力はゼロベクトルであり、ニュートンの第二法則により、物体は加速しません。物体にかかる力が平衡点からの変位に比例し、平衡点に向かう方向であれば、物体は単振動を行います。力を次のように表します。${\displaystyle F=-kx}$ニュートンの第二法則は次のようになる $${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx\,.}$$ この微分方程式の解は $${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$ 周波数${\displaystyle \omega }$に等しい${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$定数${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$例えば、ある時点での物体の位置と速度が分かっていれば計算できる。${\displaystyle t=0}$。

調和振動子が概念的に重要な例である理由の一つは、安定な力学的平衡状態に近い多くのシステムに対して良い近似となるからである。^{[注10 ]}例えば、振り子は垂直位置で安定平衡状態にある。そこで静止していればそのまま静止し、少し押せば前後に揺れる。空気抵抗と支点の摩擦を無視すると、振り子にかかる力は重力となり、ニュートンの第二法則は次のようになる。$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$どこ${\displaystyle L}$は振り子の長さで、${\displaystyle \theta }$は垂直からの角度です。${\displaystyle \theta }$は小さいので、サインは${\displaystyle \theta }$ほぼ等しい${\displaystyle \theta }$（小角近似を参照）したがって、この式は周波数を持つ単純調和振動子の式に簡略化されます${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$。

調和振動子は、摩擦や粘性抵抗などによって減衰することがあり、その場合、振動子からエネルギーが失われ、振動の振幅は時間とともに減少します。また、調和振動子は外力によって駆動されることがあり、共鳴現象を引き起こす可能性があります。^{[ 50 ]}

質量が変化する物体

ニュートン力学では、物質は生成も消滅もせず、再配置されるだけであるとみなされます。対象となる物体に物質が加えられたり取り除かれたりすることで、その物体の質量が増減することがあります。このような場合、ニュートンの法則を個々の物質に適用し、どの物質が対象物体に属しているかを時間経過とともに追跡することができます。例えば、質量が のロケットの場合、${\displaystyle M(t)}$速度で移動${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$物質をある速度で噴出する${\displaystyle \mathbf {u} }$ロケットに対して相対的に^{[ 24 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}\,}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {F} }$は正味の外力（例えば、惑星の重力）である。^{[ 23 ]： 139}

扇風機と帆

扇風機と帆の例は、ニュートンの第三法則の議論で研究される状況です。^{[ 51 ]}この状況では、扇風機がカートまたは帆船に取り付けられ、帆に風を送ります。第三法則から、一方向に押す空気の力が扇風機が帆に加える力を打ち消し、装置全体が静止すると考えるでしょう。しかし、システムは完全に密閉されているわけではないため、船が動く条件があります。たとえば、帆が空気の流れの大部分を扇風機の方に向けるように作られている場合、正味の力によって船は前進します。^{[ 34 ] [ 52 ]}

広がりを持つ物体の運動の重要な側面は、その物体の質量が一点に集中していると考えることで理解できます。この一点は質量中心と呼ばれます。物体の質量中心の位置は、その物体の物質がどのように分布しているかによって決まります。質量を持つ点状物体の集合の場合、${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$ポジション${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$重心は$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$どこ${\displaystyle M}$は集合体の総質量である。正味の外力が作用しない場合、重心は直線上を一定速度で移動する。これは、例えば2つの物体の衝突に当てはまる。^{[ 55 ]}総外力がゼロでない場合、重心は質点のように速度を変化させる。${\displaystyle M}$これは、集合体内の内部力、すなわち物体同士が及ぼし合う力が、ニュートンの第三法則によって釣り合ったペアで発生するという事実から導かれる。一方の物体が他方の物体よりもはるかに質量が大きい2つの物体からなる系では、重心は質量が大きい物体の位置とほぼ一致する。^{[ 19 ]： 22-24}

ニュートンの法則を回転する拡張物体に適用すると、元の法則で用いられた量に類似した新しい量が生じる。質量に相当するのは慣性モーメント、運動量に相当するのは角運動量、力に相当するのはトルクである。

角運動量は基準点に関して計算されます。^{[ 56 ]}基準点から物体への変位ベクトルが${\displaystyle \mathbf {r} }$そして物体には運動量がある${\displaystyle \mathbf {p} }$すると、その点に関する物体の角運動量は、ベクトル外積を用いて、$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$角運動量の時間微分をとると、$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$最初の項は消える。${\displaystyle \mathbf {v} }$そして${\displaystyle m\mathbf {v} }$同じ方向を指している。残りの項はトルクである。$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$トルクがゼロの場合、角運動量は一定であり、力がゼロの場合、運動量が一定であるのと同様である。^{[ 19 ]： 14-15}物体が基準点にある場合、力がゼロでない場合でもトルクはゼロになる可能性がある（${\displaystyle \mathbf {r} =0}$）または力が${\displaystyle \mathbf {F} }$そして変位ベクトル${\displaystyle \mathbf {r} }$同じ線に沿って方向付けられている。

点質量の集合、ひいては広がりを持つ物体の角運動量は、各点からの寄与を合計することによって求められる。これにより、個々の部分の角運動量を合計することで、物体の軸周りの回転を特徴づける手段が得られる。結果は、選択された軸、物体の形状、および回転速度に依存する。^{[ 19 ]： 28}

ニュートンの万有引力の法則によれば、あらゆる物体は、それらを結ぶ直線に沿って他のあらゆる物体を引き付けます。引力の大きさは、それらの質量の積に比例し、それらの間の距離の二乗に反比例します。逆二乗の力の法則が生み出す軌道の形状を求めることは、ケプラー問題として知られています。ケプラー問題は、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルが一定であることを示す方法^{[ 57 ]}や、2次元調和振動子に双対変換を適用する方法^{[ 58 ]}など、複数の方法で解くことができます。どのように解いても、結果として軌道は円錐曲線、つまり楕円（円を含む）、放物線、または双曲線になります。軌道の離心率、したがって円錐曲線の種類は、軌道を回る物体のエネルギーと角運動量によって決まります。惑星は太陽から脱出するのに十分なエネルギーを持っていないため、その軌道はほぼ楕円形になります。ただし、惑星同士が互いに引力を持ち合うため、実際の軌道は厳密には円錐曲線にはなりません。

3つ目の質量が加わると、ケプラー問題は三体問題となり、一般に閉じた形での厳密解は存在しません。つまり、ニュートンの法則によって導かれる微分方程式から出発して、一連の標準的な数学演算の後、3つの物体の時間経過に伴う運動を表す方程式を得る方法はありません。^{[ 59 ] [ 60 ]}数値的手法を用いることで、三体問題に対して有用な、ただし近似的な結果を得ることができます。^{[ 61 ]}物体の位置と速度はコンピュータのメモリ内の変数に格納できます。ニュートンの法則を用いて、速度が短い時間間隔でどのように変化するかを計算し、速度が分かれば、その時間間隔での位置の変化を計算できます。このプロセスを繰り返して、物体の軌道を近似的に計算します。一般的に、時間間隔が短いほど、近似の精度が高くなります。^{[ 62 ]}

ニュートンの運動法則はカオスの可能性を許容する。^{[ 63 ] [ 64 ]}つまり、定性的に言えば、ニュートンの法則に従う物理システムは、初期条件に敏感に依存する可能性がある。システムの一部分の位置や速度がわずかに変化すると、短時間のうちにシステム全体が根本的に異なる振る舞いをする可能性がある。注目すべき例としては、三体問題、二重振り子、動的ビリヤード、フェルミ・パスタ・ウラム・ツィングー問題などがある。

ニュートンの法則は、流体を微小な断片から構成され、それぞれの断片が隣接する断片に力を及ぼすと考えることで、流体にも適用できます。オイラーの運動量方程式は、流体力学に適合させたニュートンの第2法則の表現です。^{[ 65 ] [ 66 ]}流体は速度場、すなわち関数によって記述されます。${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$これは、空間と時間の各点に速度ベクトルを割り当てるものです。流体の流れに乗って運ばれる小さな物体は、2つの理由で速度を変えることができます。1つ目は、その位置における速度場が時間とともに変化しているため、2つ目は、速度場の値が異なる新しい場所に移動するためです。したがって、流体の微小な部分にニュートンの第二法則を適用すると、加速度は${\displaystyle \mathbf {a} }$には 2 つの項があり、これは総微分または物質微分として知られています。微小部分の質量は流体密度に依存し、流体圧力が片側からもう一方の側へ変化すると、その部分には正味の力が働きます。したがって、${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$になる $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$ どこ${\displaystyle \rho }$密度は、${\displaystyle P}$圧力であり、${\displaystyle \mathbf {f} }$は重力のような外部からの影響を表します。粘性の影響を組み込むことで、オイラー方程式はナビエ・ストークス方程式になります。 $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$ どこ${\displaystyle \nu }$は動粘度である。^{[ 65 ]}

ニュートンの法則に従って運動する点質量の集合が、有限時間内に無限遠まで飛び去るほど強力に自身を発射することは、数学的には可能である。^{[ 67 ]}この「非衝突特異点」として知られる非物理的な挙動^{[ 60 ]}は、質量が点状であり、互いに任意に接近できること、およびニュートン力学に相対論的速度制限がないことに依存している。^{[ 68 ]}

オイラー方程式とナビエ・ストークス方程式が、初期に滑らかな解が有限時間内に「爆発」するという類似の挙動を示すかどうかはまだ分かっていません。ナビエ・ストークス方程式の解の存在と滑らかさの問題は、ミレニアム懸賞問題の一つです。^{[ 69 ]}

ラグランジュ力学は、物体の運動を単一の瞬間で予測するのではなく、軌道全体を一度に考慮するという点でニュートン力学の定式化とは異なります。^{[ 19 ]： 109}ラグランジュ力学では、位置をで表すのが一般的です。${\displaystyle q}$速度${\displaystyle {\dot {q}}}$最も単純な例は質量のある点粒子であり、そのラグランジアンは運動エネルギーと位置エネルギーの差として表すことができる。 $${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$ 運動エネルギーは $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$ そして位置エネルギーは位置の何らかの関数であり、${\displaystyle V(q)}$粒子が始点から終点までたどる物理的な経路${\displaystyle q_{i}}$そして最後に${\displaystyle q_{f}}$は、ラグランジアンの積分が「定常」となる経路です。つまり、物理的な経路は、その小さな摂動が、第一近似ではラグランジアンの積分を変えないという性質を持っています。変分法は、この経路を見つけるための数学的ツールを提供します。^{[ 46 ]： 485}変分法を経路を見つけるタスクに適用すると、粒子の オイラー・ラグランジュ方程式が得られます。$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$ラグランジアンの 偏微分 を評価すると、$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\dot {q}})=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$ これはニュートンの第二法則の言い換えである。左辺は運動量の時間微分であり、右辺は位置エネルギーで表された力である。^{[ 9 ]： 737}

ランダウとリフシッツは、ラグランジュ形式を用いることで、ニュートンの法則から始めるよりも古典力学の概念的内容がより明確になると主張している。^{[ 29 ]}ラグランジュ力学は、対称性と保存則を関連付けるネーターの定理を証明するための便利な枠組みを提供する。 ^{[ 72 ]}運動量保存則は、多粒子系のラグランジアンにネーターの定理を適用することで導出できるため、ニュートンの第三法則は仮定ではなく定理である。^{[ 19 ] : 124}

ハミルトン力学では、系のダイナミクスはハミルトニアンと呼ばれる関数で表され、多くの場合、これは系の全エネルギーに等しくなります。^{[ 9 ] : 742}ハミルトニアンは、系を構成するすべての物体の位置と運動量の関数であり、時間にも明示的に依存する場合があります。位置と運動量の変数の時間微分は、ハミルトンの方程式を介して、ハミルトニアンの偏微分によって与えられます。^{[ 19 ] : 203}最も単純な例は点質量です。${\displaystyle m}$電位の影響下で直線運動を強いられる。${\displaystyle q}$位置座標と${\displaystyle p}$物体の運動量に対するハミルトニアンは次のようになる。 $${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$ この例では、ハミルトンの方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$ そして $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$ これらの偏微分を評価すると、前述の式は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}},}$$ これは、物体の運動量はその質量と速度の積であるというおなじみの記述を再現するものです。運動量の時間微分は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$ これは、ポテンシャルの負の微分を力と同一視すると、再びニュートンの第二法則となる。^{[ 63 ] [ 9 ]： 742}

ラグランジュ形式と同様に、ハミルトン力学においても運動量保存則はネーターの定理を用いて導出することができ、ニュートンの第三法則は仮定ではなく演繹される概念となる。^{[ 19 ]： 251}

標準的な入門物理学カリキュラムを改革するための提案の中には、力の概念よりも先にエネルギーの概念を教えるというものがあり、これは本質的に「入門ハミルトン力学」である。^{[ 73 ] [ 74 ]}

ハミルトン・ヤコビ方程式は、古典力学のもう一つの定式化を提供し、数学的に波動光学と類似したものとなる。^{[ 19 ]： 284 [ 75 ]}この定式化もハミルトニアン関数を使用するが、上記の定式化とは異なる方法である。物体または物体の集合がたどる経路は、関数から導出される。${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$ポジション${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$そして時間${\displaystyle t}$ハミルトニアンはハミルトン・ヤコビ方程式に組み込まれ、これは微分方程式である。${\displaystyle S}$物体は、一定速度の表面に垂直な軌道を描くように時間とともに移動する。${\displaystyle S}$これは、光線が波面に垂直な方向に伝播するのと同様である。これは、単一の点質量の場合に最も簡単に表現でき、${\displaystyle S}$関数です${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$点質量は、${\displaystyle S}$最も急激に変化する。言い換えれば、点質量の運動量は、${\displaystyle S}$: $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$ 点質量に対するハミルトン・ヤコビ方程式は $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$ ニュートンの法則との関連性は、時間的に一定なポテンシャル中で運動する質点を考えることで理解できる。${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$この場合、ハミルトン・ヤコビ方程式は次のようになる。 $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$ 両辺の勾配を取ると、次のようになる。 $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$ 左辺の偏微分の順序を入れ替え、右辺の最初の項に べき乗則と連鎖律を適用すると、$${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$ 勾配に依存する用語をまとめると${\displaystyle S}$、 $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$ This is another re-expression of Newton's second law.^[76] The expression in brackets is a total or material derivative as mentioned above,^[77] in which the first term indicates how the function being differentiated changes over time at a fixed location, and the second term captures how a moving particle will see different values of that function as it travels from place to place: $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}.}$$

In statistical physics, the kinetic theory of gases applies Newton's laws of motion to large numbers (typically on the order of the Avogadro number) of particles. Kinetic theory can explain, for example, the pressure that a gas exerts upon the container holding it as the aggregate of many impacts of atoms, each imparting a tiny amount of momentum.^[71]:62

The Langevin equation is a special case of Newton's second law, adapted for the case of describing a small object bombarded stochastically by even smaller ones.^[78]:235 It can be written$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$where ${\displaystyle \gamma }$ is a drag coefficient and ${\displaystyle \mathbf {\xi } }$ is a force that varies randomly from instant to instant, representing the net effect of collisions with the surrounding particles. This is used to model Brownian motion.^[79]

Newton's three laws can be applied to phenomena involving electricity and magnetism, though subtleties and caveats exist.

Coulomb's law for the electric force between two stationary, electrically charged bodies has much the same mathematical form as Newton's law of universal gravitation: the force is proportional to the product of the charges, inversely proportional to the square of the distance between them, and directed along the straight line between them. The Coulomb force that a charge ${\displaystyle q_{1}}$ exerts upon a charge ${\displaystyle q_{2}}$ is equal in magnitude to the force that ${\displaystyle q_{2}}$ exerts upon ${\displaystyle q_{1}}$, and it points in the exact opposite direction. Coulomb's law is thus consistent with Newton's third law.^[80]

電磁気学では、力は電荷に作用する場によって生じるものとして扱われます。ローレンツ力法則は、帯電した物体に作用する力を表す式を提供し、これをニュートンの第二法則に代入することで、物体の加速度を計算できます。^{[ 81 ]： 85}ローレンツ力法則によれば、電場中の帯電した物体は、その電場の方向と同じ方向に力を受け、その力は帯電した物体の電荷に比例します。${\displaystyle q}$また、電場の強さにも比例します。さらに、磁場中の移動する帯電物体は、磁場と物体の運動方向の両方に垂直な方向に、その電荷に比例する力を受けます。ベクトル外積を使用すると、$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

電場が消滅する場合（${\displaystyle \mathbf {E} =0}$) の場合、力は電荷の運動方向に対して垂直になり、これは上で検討した等速円運動の場合と同様であり、電荷はサイクロトロン周波数で磁力線の周りを円を描くように（より一般的にはらせん状に）運動する。${\displaystyle \omega =qB/m}$. ^{[ 78 ] : 222}質量分析法は、移動する電荷に電場および/または磁場を印加し、結果として生じる加速度を測定することによって機能し、ローレンツ力法則により質量電荷比が得られます。^{[ 82 ]}

帯電した物体の集合は必ずしもニュートンの第三法則に従うとは限らない。ある物体の運動量が変化しても、別の物体の運動量に補償的な変化が生じないことがある。この不一致は、電磁場自体が持つ運動量によって説明される。電磁場の単位体積あたりの運動量はポインティングベクトルに比例する。^{[ 83 ] : 184 [ 84 ]}

電磁気学とニュートンの第一法則の間には微妙な概念的矛盾が存在する。マクスウェルの電磁気理論は、電磁波が真空中を一定の速度で伝播すると予測する。そのため、慣性系の観測者の中には、他の観測者よりも特権的な地位にあるように見える者もいる。それは、光速を測定し、それがマクスウェル方程式によって予測される値と一致すると見なす者などである。言い換えれば、光は速度の絶対的な基準を提供するが、慣性の原理は、そのような基準は存在すべきではないと主張する。この矛盾は特殊相対性理論で解消される。特殊相対性理論は、空間と時間の概念を修正し、すべての慣性系の観測者が真空中の光速に同意するようにする。^{[注12 ]}

特殊相対性理論では、ウィルチェックが「ニュートンの第ゼロ法則」と呼んだ規則が破綻する。複合物体の質量は、個々の構成要素の質量の単なる合計ではない。^{[ 87 ]： 33}ニュートンの第一法則である慣性運動は依然として真である。ニュートンの第二法則の一形態である力は運動量の変化率であり、運動量保存則も成り立つ。しかし、運動量の定義は修正される。この結果の一つとして、物体が速く動くほど加速が難しくなり、したがって、どれだけの力が加えられても、物体を光速まで加速することはできないという事実がある。特殊相対性理論における運動量は、問題に応じて、3次元ベクトルとして表すことができる。${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$、 どこ${\displaystyle m}$は体の静止質量であり、${\displaystyle \gamma }$はローレンツ因子であり、物体の速度に依存する。あるいは、運動量と力は4元ベクトルで表すこともできる。^{[ 88 ]： 107}

特殊相対性理論では、ニュートンの第三法則を修正する必要があります。第三法則は、同じ瞬間に二つの物体間に働く力に関するもので、特殊相対性理論の重要な特徴は、同時性が相対的であることです。ある観測者にとって同時に起こる出来事でも、別の観測者にとっては異なる時間に起こる可能性があります。したがって、ある観測者の基準系では、作用と反作用は必ずしも正反対ではなく、相互作用する物体の全運動量は保存されない可能性があります。運動量の保存は、物体の相互作用を記述する場に蓄積された運動量を含めることによって回復されます。^{[ 89 ] [ 90 ]}

ニュートン力学は、関係する速度が光速に比べて小さい場合、特殊相対性理論の良い近似となる。^{[ 91 ]： 131}

一般相対性理論は、ニュートンの重力理論を発展させた重力理論です。一般相対性理論では、ニュートン力学の重力は時空の曲率として再解釈されます。ニュートン力学で重力に起因するとされる軌道のような曲がった経路は、物体を理想的な直線経路から逸らす力の結果ではなく、他の質量の存在によって曲がった背景の中を物体が自由に落下しようとする試みの結果です。物理学者の間で定説となっているジョン・アーチボルド・ホイーラーの言葉がこの理論を要約しています。「時空は物質に動き方を教え、物質は時空に曲がる方法を教えます。」^{[ 92 ] [ 93 ]}ホイーラー自身はこの相互関係を、ニュートンの第三法則の現代的で一般化された形式と考えていました。^{[ 92 ]}物質分布と時空曲率の関係は、テンソル解析を必要とするアインシュタイン場の方程式によって与えられます。^{[ 87 ] : 43 [ 94 ]}

ニュートン重力理論は、重力効果が弱く、物体が光速に比べてゆっくり動いている場合、一般相対性理論の予測に対する良い近似値となる。^{[ 85 ]： 327 [ 95 ]}

量子力学は、もともと分子、原子、または素粒子のスケールでの挙動といった微視的な現象を理解するために開発された物理学の理論です。一般的に、大まかに言えば、システムが小さいほど、適切な数学モデルには量子効果の理解が必要になります。量子物理学の概念的基盤は、古典物理学とは大きく異なります。位置、運動量、エネルギーなどの量を物体が持つ性質として考える代わりに、選択したタイプの測定を行ったときにどのような結果が現れるかを考えます。量子力学では、物理学者は選択した測定によって特定の結果が得られる確率を計算できます。^{[ 96 ] [ 97 ]}測定の期待値は、その測定によって得られる可能性のある結果を、それぞれの発生確率で重み付けした平均値です。^{[ 98 ]}

エーレンフェストの定理は、量子期待値とニュートンの第二法則との間の関係を示していますが、量子物理学は古典物理学とは根本的に異なるため、この関係は必然的に不正確です。量子物理学では、位置と運動量はエルミート演算子と呼ばれる数学的実体で表され、位置測定または運動量測定の期待値を計算するにはボルンの規則が使用されます。これらの期待値は一般に時間とともに変化します。つまり、（例えば）位置測定が行われる時間に応じて、そのさまざまな可能な結果の確率は変化します。エーレンフェストの定理は、大まかに言えば、これらの期待値が時間とともにどのように変化するかを記述する方程式が、ニュートンの第二法則を彷彿とさせる形式を持っていることを示しています。しかし、特定の状況で量子効果が顕著であればあるほど、この類似性から意味のある結論を導き出すことは難しくなります。^{[注13 ]}

フランスの哲学者ルネ・デカルトは、1629年から1633年にかけて執筆した『世界』（Traité du monde et de la lumière ）の中で、「自然法則」を通して慣性の概念を導入した。しかし、『世界』は地動説を主張しており、1633年にはこの見解がガリレオ・ガリレイとローマ・カトリック異端審問所との間で大きな対立を引き起こしていた。デカルトはこの論争を知っていたが、関わりたくなかった。『世界』は彼の死後10年後の1664年まで出版されなかった。^{[ 107 ]}

慣性の現代的な概念はガリレオに帰せられる。ガリレオは自身の実験に基づいて、動いている物体の「自然な」挙動は、何かが邪魔をするまで動き続けることだと結論づけた。ガリレオは『二つの新科学』（1638年）の中で次のように書いている。 ^{[ 108 ] [ 109 ]}

摩擦のない水平面上を任意の粒子が運動していると想像してみてください。すると、前のページでより詳しく説明したように、その粒子は、平面に限界がない限り、同じ平面上を一定かつ永続的に運動し続けることがわかります。

ガリレオは、投射運動において、地球の重力は垂直方向の運動には影響するが水平方向の運動には影響しないことを認識していた。^{[ 110 ]}しかし、ガリレオの慣性の概念は、ニュートンの第一法則に成文化されるものとは正確には異なっていた。ガリレオは、慣性で長距離を移動する物体は地球の曲率に沿って移動すると考えていた。この考えは、慣性運動は直線運動であるべきだと認識したアイザック・ビークマン、デカルト、ピエール・ガッサンディによって修正された。 ^{[ 111 ]}デカルトは、この修正を加えた自然法則（運動法則）を1644年に『哲学原理』（Principia Philosophiae）で発表し、地動説の部分は弱められた。^{[ 112 ] [ 107 ]}

自然法則の第一法則：あらゆるものは、それ自体に任せておくと、同じ状態を維持する。したがって、動いている物体は、何かがそれを止めるまで動き続ける。

自然法則第二法則：あらゆる動いている物体は、放っておけば直線運動をする。したがって、円運動をしている物体は常に円の中心から遠ざかる傾向がある。

アメリカの哲学者リチャード・J・ブラックウェルによれば、オランダの科学者クリスティアーン・ホイヘンスは1656年に独自の簡潔な法則を考案した。^{[ 113 ]}それは彼の死後8年後の1703年、『De Motu Corporum ex Percussione 』の冒頭の段落で出版された。

仮説1：既に運動している物体は、妨げられない限り、同じ速度で直線的に永久に運動し続ける。

ホイヘンスによれば、この法則はガリレオやデカルトらによって既に知られていた。^{[ 113 ]}

クリスティアーン・ホイヘンスは、著書『振動時計』（1673年）の中で、「重力の作用によって、その発生源が何であれ、物体は一方向または別の方向への等速運動と重力による下向きの運動の両方からなる運動によって動かされる」という仮説を提唱した。ニュートンの第二法則は、この仮説を重力からすべての力へと一般化した。^{[ 114 ]}

ニュートン物理学の重要な特徴の1つは、物理的な接触を必要とせずに力が遠隔で作用できることである。 ^{[注16 ]}例えば、太陽と地球は数百万キロメートル離れているにもかかわらず、互いに重力で引き合っている。これは、デカルトらが提唱した、太陽の重力が透明な物質であるエーテルの渦の中で惑星を回転させることで惑星を軌道上に保持しているという考えとは対照的である。^{[ 121 ]}ニュートンは力のエーテル的説明を検討したが、最終的にはそれを拒否した。^{[ 119 ]}ウィリアム・ギルバートらによる磁気の研究は、非物質的な力を考える先例を作り、^{[ 119 ]}エーテルモデルの観点から重力の法則を定量的に満足のいく形で説明することができなかったニュートンは、最終的に「私は仮説を立てない」と宣言した。デカルトの渦のようなモデルがプリンキピアの運動と重力の理論の根底にあるかどうかはともかく、それらを判断する最初の根拠は、それらが行った予測の成功でなければならない。[ ^{122 ]そして}実際、ニュートンの時代以降、そのようなモデルを試みた者はすべて失敗している。

ヨハネス・ケプラーは、重力による引力は相互的である、つまり、例えば月が地球を引っ張り、地球が月を引っ張る、と示唆したが、そのようなペアが等しく反対であるとは主張しなかった。^{[ 123 ]}デカルトは『哲学原理』 （1644年）で、物体同士の衝突中に「運動量」は変化しないという考えを導入した。デカルトはこの量を、各物体の速度と「大きさ」の積を足し合わせることでやや不正確に定義した。ここで、彼にとって「大きさ」には体積と表面積の両方が含まれていた。^{[ 124 ]}さらに、デカルトは宇宙を充満、つまり物質で満たされていると考えていたため、すべての運動には、物体が移動する際に媒体を押し出すことが必要だった。

1650年代、ホイヘンスは硬球同士の衝突を研究し、現在では運動量保存の法則として知られる原理を導き出した。^{[ 125 ] [ 126 ]}後にクリストファー・レンはホイヘンスと同じ弾性衝突の法則を導き出し、ジョン・ウォリスは運動量保存の法則を非弾性衝突の研究に応用した。ニュートンは、自身の第三法則の正当性を裏付けるために、ホイヘンス、レン、ウォリスの研究を引用した。^{[ 127 ]}

ニュートンは、3つの法則に段階的にたどり着いた。1684年にホイヘンスに宛てた原稿の中で、彼は4つの法則を挙げている。慣性の法則、力による運動の変化、今日ではガリレオ不変性と呼ばれる相対運動に関する記述、そして物体間の相互作用によって重心の運動が変化しないという法則である。後の原稿で、ニュートンは作用反作用の法則を追加し、この法則と重心に関する法則は互いに含意関係にあると述べている。ニュートンは、 3つの基本法則と、その他の記述を系としてまとめた『プリンキピア』の記述に、おそらく1685年頃に落ち着いたと思われる。 ^{[ 128 ]}

ニュートンは、物体に働く力はその運動の変化、すなわち運動量に比例すると述べることで、第二法則を表現した。プリンキピアを執筆する頃には、彼はすでに微積分（彼自身は「流率の科学」と呼んだ）を開発していたが、プリンキピアではそれを明示的に用いていない。おそらく、ユークリッドの伝統に基づく幾何学的議論の方がより厳密であると信じていたからであろう。^{[ 130 ] : 15 [ 131 ]}その結果、プリンキピアでは加速度を位置の二階微分として表現していないため、第二法則を次のように示していない。${\displaystyle F=ma}$この第二法則の形式は、少なくとも1716年にはヤコブ・ヘルマンによって（一定の力の特殊な場合について）書かれており、レオンハルト・オイラーは1740年代にこれを基本前提として採用した。^{[ 132 ]}オイラーは剛体の研究を先駆的に行い^{[ 133 ]}、流体力学の基本理論を確立した。^{[ 134 ]}ピエール＝シモン・ラプラスの5巻からなる『天体力学論』 （1798～1825年）は幾何学を捨て、純粋に代数式によって力学を発展させ、潮汐の完全な理論など、『プリンキピア』が未解決のまま残していた問題を解決した。^{[ 135 ]}

エネルギーの概念は、ニュートン以降の時代にニュートン力学の重要な要素となった。ホイヘンスによる硬球の衝突の解は、この場合、運動量だけでなく運動エネルギーも保存されることを示した（あるいは、後から考えると、運動エネルギーの半分に相当する量である）。非弾性衝突や摩擦によって減速される運動など、他のすべての過程で何が保存されるのかという問題は、19世紀まで解決されなかった。このテーマに関する議論は、ニュートンとライプニッツの形而上学的見解をめぐる哲学的論争と重なり合い、「力」という用語の変形が、現代でいうところのエネルギーの種類を表すために用いられることもあった。例えば、1742年にエミリー・デュ・シャトレは、「死力とは、単純な運動傾向のことである。例えば、ばねが弛緩するのと同じようなものである。生力とは、物体が実際に運動しているときに持つ力である」と記している。現代の用語では、「デッドフォース」と「リビングフォース」はそれぞれ位置エネルギーと運動エネルギーに対応します。^{[ 136 ]}エネルギー保存の法則は、機械的な仕事のエネルギーが熱に散逸することが理解されるまで、普遍的な原理として確立されませんでした。^{[ 137 ] [ 138 ]}エネルギーの概念が確固たる基礎を与えられたことで、ニュートンの法則は、上述のラグランジュ形式やハミルトン形式のように、エネルギーを第一とする古典力学の定式化の中で導出できるようになりました。

ニュートンの法則の現代的な説明では、ベクトルの数学が用いられていますが、この分野は19世紀後半から20世紀初頭にかけて発展しました。ジョサイア・ウィラード・ギブスとオリバー・ヘヴィサイドによって開拓されたベクトル代数は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発明された初期の四元数体系から派生し、それをほぼ完全に置き換えました。^{[ 139 ] [ 140 ]}