跳ねるボール

重力は下向きで、^{[ 4 ]に等しい。}

${\displaystyle F_{\text{G}}=mg,}$

ここで、 mはボールの質量、gは重力加速度であり、地球上では、9.764 m/s ² および9.834  m/s² ^。 [ ^{5 ]他}の力は通常小さいため、運動はしばしば重力のみの影響下にあるものとして理想化される。ボールに重力のみが作用する場合、飛行中に力学的エネルギーは保存される。この理想化されたケースでは、運動方程式は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}}$

ここで、 a、v、rはそれぞれボールの加速度、速度、位置を表し、v₀とr₀_はそれぞれボールの初期速度と初期位置を表す_。

より具体的には、ボールが地面に対して角度θで跳ね返った場合、 x軸とy軸（それぞれ水平方向と垂直方向の動きを表す）の動きは^{[ 6 ]で説明されます。}

これらの式は、平らな面に跳ね返るボールの最大高さ（H）、飛距離（R）、飛行時間（T ）が^{[ 2 ] [ 6 ]で与えられることを意味している。}

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}}$

空気抵抗（および抗力や風などの関連効果）、マグナス効果、浮力などを考慮に入れることで、ボールの動きをさらに微調整することができる。軽いボールほど加速しやすいため、その動きはこれらの力の影響をより強く受ける傾向がある。

球体の周囲の空気の流れは、レイノルズ数（Re）によって層流にも乱流にもなり得る。レイノルズ数は次のように定義される。

${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},}$

ここで、 ρは空気の密度、μは空気の動粘度、Dはボールの直径、vは空気中を移動するボールの速度である。温度は20  °C、ρ =1.2  kg/m ³およびμ =1.8 × 10 ⁻⁵  Pa·s。 ^{[ 7 ]}

レイノルズ数が非常に低い場合（Re  <  1）、ボールにかかる抗力はストークスの法則で表されます。^{[ 8 ]}

${\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,}$

ここでrはボールの半径です。この力はボールの進行方向と反対方向（${\displaystyle \textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}}$) ただし、ほとんどのスポーツボールの場合、レイノルズ数は 10 ⁴～ 10 ⁵の間となり、ストークスの法則は適用されません。^{[ 9 ]}レイノルズ数がこれらの高い値の場合、ボールにかかる抗力は代わりに抗力方程式で表されます。^{[ 10 ]}

${\displaystyle F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}平均^{2},}$

ここで、C _dは抗力係数、A はボールの断面積である。

空気抵抗はボールの飛行中に運動エネルギーを失わせ、飛距離と高度を低下させる。一方、横風はボールを本来の軌道から逸らす。ゴルフなどのスポーツでは、これらの両方の影響をプレーヤーは考慮に入れなければならない。

卓球では、熟練したプレーヤーはボールの回転を利用して、飛行中のボールの軌道や、表面に衝突した際のボールの反応をコントロールすることができます。トップスピンの場合、ボールは飛行の途中で最高高度に達し（1）、その後急激に下方にカーブします（2）。衝突によってボールは前方に推進され（3）、相手プレーヤーのラケットに衝突するとボールは上方に跳ね返る傾向があります。バックスピンの場合は状況が逆になります。

ボールの回転は、マグナス効果によってその軌道に影響を与えます。クッタ・ジュコフスキーの定理によれば、非粘性空気の流れの中で回転する球体の場合、マグナス力は^{[ 11 ]に等しくなります。}

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,}$

ここで、rはボールの半径、ω はボールの角速度（または回転速度）、ρは空気の密度、v は空気に対するボールの速度です。この力は運動方向と回転軸に垂直な方向（$\displaystyle \textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}}$) バックスピンの場合は力が上向きに、トップスピンの場合は下向きに作用します。実際には、流れは決して非粘性ではなく、マグナスリフトは^{[ 12 ]でより適切に説明されます。}

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}平均^{2},}$

ここで、ρは空気の密度、CL_は揚力係数、Aはボールの断面積、vは空気に対するボールの速度です。揚力係数は、 rω / vの比、レイノルズ数、表面粗さなどに依存する複雑な係数です。^{[ 12 ]}特定の条件下では、揚力係数が負になることさえあり、マグナス力の方向が変わります（逆マグナス効果）。^{[ 4 ] [ 13 ] [ 14 ]}

テニスやバレーボールなどのスポーツでは、プレーヤーはマグナス効果を利用して、ボールの軌道を（例えばトップスピンやバックスピンによって）飛行中に制御することができます。ゴルフでは、この効果はスライスやフックの原因となり、これらは通常ゴルファーにとって不利ですが、ドライブやその他のショットの飛距離を伸ばすのにも役立ちます。^{[ 15 ] [ 16 ]}野球では、ピッチャーはこの効果を利用してカーブボールやその他の特殊な球種を作り出します。^{[ 17 ]}

ボールの改ざんは違法であることが多く、 2006 年 8 月にイングランドとパキスタンの間で起きたようなクリケットの論争の中心となることが多い。^{[ 18 ]}野球では、「スピットボール」という用語は、ボールの空気力学を変えるために唾液やその他の物質でボールを不正にコーティングすることを指す。 ^{[ 19 ]}

水や空気などの流体に浸された物体は、上向きの浮力を受ける。^{[ 20 ]}アルキメデスの原理によれば、この浮力は物体によって押し除けられた流体の重さに等しい。球の場合、この力は

${\displaystyle F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.}$

浮力は通常、抗力やマグナス力に比べて小さいため、無視できる場合が多い。しかし、バスケットボールの場合、浮力はボールの重量の約 1.5% になることがある。^{[ 20 ]}浮力は上向きに働くため、ボールの飛距離と高さを伸ばす働きをする。

地面に衝突すると、ボールの衝突角度と角速度に応じて、並進運動エネルギーの一部が回転運動エネルギーに変換され、またその逆も起こります。衝突時にボールが水平方向に動く場合、摩擦にはボールの動きとは逆の方向に「並進」成分があります。図では、ボールは右方向に動いているため、摩擦の並進成分はボールを左方向に押します。さらに、衝突時にボールが回転している場合、摩擦にはボールの回転とは逆の方向に「回転」成分があります。図では、ボールは時計回りに回転しており、地面に衝突する点はボールの重心に対して左方向に動いています。したがって、摩擦の回転成分はボールを右方向に押します。垂直抗力や重力とは異なり、これらの摩擦力はボールにトルクを及ぼし、角速度（ω）を変化させます。^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

3つの状況が発生する可能性があります。^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

• ボールがバックスピンをかけて前方に打ち出されると、並進摩擦と回転摩擦は同じ方向に作用します。衝突後、ボールの角速度と水平速度は減少し、ボールは上方に押し上げられ、場合によっては元の高さを超えることもあります。また、ボールが反対方向に回転し始め、後方に跳ね返る可能性もあります。
• ボールがトップスピンをかけて前方に飛ばされる場合、並進摩擦と回転摩擦は互いに逆方向に作用します。実際に何が起こるかは、どちらの要素が優勢になるかによって決まります。
  • ボールが以前よりもはるかに速く回転している場合、回転摩擦が支配的になります。衝突後、ボールの角速度は減少しますが、水平方向の速度は増加します。ボールは前方に推進されますが、元の高さを超えることはなく、同じ方向に回転し続けます。
  • ボールが回転していた時よりもはるかに速く動いている場合、並進摩擦が支配的になります。衝突後、ボールの角速度は増加しますが、水平方向の速度は減少します。ボールは元の高さを超えることはなく、同じ方向に回転し続けます。

表面が何らかの角度θだけ傾いている場合、図全体がθだけ回転しますが、重力は下向きのままです（表面と角度θを形成します）。すると、重力には表面に平行な成分が生じ、それが摩擦に寄与し、回転に寄与することになります。^{[ 32 ]}

卓球やラケットボールなどのラケットスポーツでは、熟練した選手はスピン（サイドスピンを含む）を使って、ボールが地面や相手のラケットなどの表面に当たった瞬間に、ボールの方向を急激に変えます。同様に、クリケットにも、ボールをピッチから大きく逸らすことができる様々なスピンボウリングの方法があります。

楕円形のボール（グリッドアイアンフットボールやラグビーフットボールで使用されるようなボール）の跳ね返りは、一般的に球形のボールの跳ね返りよりもはるかに予測しにくい。衝突時のボールの向きによって、垂直抗力はボールの重心の前または後ろに作用し、地面からの摩擦はボールの向き、回転、スピン、衝突速度によって決まる。ボールが地面を転がるにつれて、ボールの重心に対する力の作用位置は変化し、垂直抗力や重力を含むすべての力がボールにトルクを及ぼす可能性がある。これにより、ボールは前方に跳ね返ったり、後方に跳ね返ったり、横方向に跳ね返ったりする可能性がある。回転運動エネルギーの一部を並進運動エネルギーに変換できるため、CORが1より大きくなったり、衝突時にボールの前方速度が増加したりする可能性もある。^{[ 35 ]}

よく知られている実験では、複数のボールを積み重ねて跳ね返らせる様子が観察されます。バスケットボールの上にテニスボールを積み重ね、両方を同時に落とすと、テニスボールは単独で落とした場合よりもはるかに高く跳ね上がり、元の落下高さを超えることもあります。^{[ 36 ] [ 37 ]}この結果は、エネルギー保存の法則に反しているように見えるため、驚くべきものです。^{[ 38 ]}しかし、詳しく調べてみると、バスケットボールはテニスボールが上に乗っていなかった場合ほど高く跳ね上がらず、そのエネルギーの一部がテニスボールに伝わり、テニスボールをより高く押し上げていることがわかります。^{[ 36 ]}

一般的な説明では、バスケットボールが床に衝突する瞬間と、バスケットボールがテニスボールに衝突する瞬間という、2つの別々の衝突を考慮する。^{[ 36 ] [ 37 ]}完全弾性衝突を仮定すると、1 m/s で床に衝突したバスケットボールは 1 m/s で跳ね返る 。1 m/s で飛んでいるテニスボールは 、相対衝突速度が 2 m/s となり、バスケットボールに対して 2 m/s、床に対して 3 m/s で跳ね返り、単独で床に衝突した場合の3 倍の跳ね返り速度となる。これは、ボールが元の高さの9 倍まで跳ね返ることを意味する。 ^{[注 2 ]}実際には、非弾性衝突 のため、テニスボールの速度と跳ね返り高さはより小さな係数で増加するが、それでも単独で衝突した場合よりも速く高く跳ね返る。^{[ 37 ]}  

別々の衝突という仮定は実際には妥当ではないが（衝突のほとんどの間、球は互いに密接に接触したままである）、このモデルはそれでも実験結果を良好な一致で再現し、^{[ 37 ]}超新星の核崩壊、^{[ 36 ]}または重力スイングバイ操作、 ^{[ 39 ]}のようなより複雑な現象を理解するためによく使用される。