直線を囲む空間曲線
(lr) 引張、圧縮、ねじりコイルばね 機械ネジ 0 ≤ t ≤ 4 π における 右巻きらせん （cos t 、sin t 、 t ）。 矢印は tの増加方向を示す。 ヘリックス （ 、 複数形は helices ）は、円筒形のコイルバネや機械ねじのねじ山のような形状である 。 これ は 、 固定軸に対して 一定の 角度で 接線が交わる 滑らか な 空間曲線 の一種である。DNA 分子は 2つの絡み合ったヘリックス として形成され 、多くの タンパク質は アルファヘリックス と呼ばれるヘリックス構造を持つため、ヘリックスは 生物学において重要である。 ヘリックス という言葉は 、 ギリシャ 語の ἕλιξ （ねじれた、曲がった） に由来する。 [1]
「充填された」ヘリックス、たとえば「らせん状の」傾斜面は、 ヘリコイド と呼ばれる表面である。 [2]
プロパティとタイプ らせんのピッチは、らせんの軸に平行に測定された、らせんの 1 回転分の 高 さ です
。
二 重らせんは 、同じ軸を持ち、軸に沿った移動が異なる 2つのらせん（通常は 合同）で構成されます。 [3]
円形らせん （ つまり、半径が一定なもの）は、バンドの 曲率が一定で、 ねじれ も一定です 。円形らせんの傾斜は、一般的に、らせんが巻かれる円筒の円周とピッチ（らせんの 1 回転の高さ）の比として定義されます。
円錐 らせんは 円錐スパイラル とも呼ばれ、円錐面上の 螺旋 として定義され 、頂点までの距離は軸からの方向を示す角度の指数関数になります。
曲線の接線が空間内の固定線と一定の角度をなす場合、その曲線は一般らせん または 円筒 らせんと呼ばれます [4] 。曲線が一般らせんであるのは、 曲率 と ねじれ の比が一定である 場合のみです [5] 。
曲線の主法線が空間内の固定線と一定の角度をなす場合、その 曲線は斜めらせん と呼ばれます。 [6] これは、一般的ならせんの運動フレームに変換を適用することによって構築できます。 [7]
より一般的ならせん状の空間曲線については、空間らせん( 球状らせん など) を参照してください 。
利き手 らせんは右巻きか左巻きかのどちらかです。視線をらせんの軸に沿わせて、時計回りに回転するとらせんが観察者から遠ざかる場合、それは右巻きのらせんと呼ばれます。観察者に近づく場合は、左巻きのらせんと呼ばれます。利き手 (または キラリティー ) はらせんの特性であり、視点によるものではありません。右巻きのらせんは、鏡で見ない限り、左巻きのらせんのようには見えません。逆もまた同様です。
2 種類のらせんの比較 。これは、らせんの 2 つの キラリティーを示しています。1 つは左巻きで、もう 1 つは右巻きです。各行は、2 つのらせんを異なる視点から比較しています。キラリティーは、 視点 (視野角) ではなく、オブジェクトのプロパティです。
数学的記述 正弦波のx と yの 成分 で構成されたらせん 数学 において 、らせんとは 3 次元 空間における 曲線のことである。次のような 直交座標系 での パラメータ化は、 特定のらせんを定義する。 [8] おそらく最も単純な方程式は次の通りである。
x （ t ）
= コス （ t ） 、
ええ （ t ）
= 罪 （ t ） 、
ず （ t ）
= t 。
{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\cos(t),\\y(t)&=\sin(t),\\z(t)&=t.\end{aligned}}}
パラメータ t が増加すると 、点 ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))は、右手座標系で、 z 軸を中心にピッチ 2 π (または傾き 1) および半径 1の右手らせん を描きます。
円筒座標 ( r 、 θ 、 h ) では 、同じらせんは次のようにパラメータ化されます。
r （ t ）
= 1 、
θ （ t ）
= t 、
h （ t ）
= t 。
{\displaystyle {\begin{aligned}r(t)&=1,\\\theta (t)&=t,\\h(t)&=t.\end{aligned}}}
半径a 、傾き の円形らせん 1つの / b (またはピッチ 2 πb ) は次のパラメータ化によって記述されます。
x （ t ）
= 1つの コス （ t ） 、
ええ （ t ）
= 1つの 罪 （ t ） 、
ず （ t ）
= b t 。
{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t),\\y(t)&=a\sin(t),\\z(t)&=bt.\end{aligned}}}
らせんを数学的に構築する別の方法は、複素数値関数 e xi を 実数 x の関数としてプロットすることです( オイラーの公式を参照)。 x の値 と関数値の実数部と虚数部により、このプロットは 3 つの実数次元になります。
回転 、 平行移動 、スケールの変更を除き 、すべての右巻きらせんは、上で定義したらせんと同等です。同等の左巻きらせんはさまざまな方法で作成できますが、最も簡単な方法は、 x 、 y 、または z コンポーネントのいずれかを反転することです。
弧の長さ、曲率、ねじれ 半径a 、傾き の円形らせん 1つの / b （またはピッチ 2πb ） を 直交座標で表すと、次の パラメトリック方程式となる。
t ↦ （ 1つの コス t 、 1つの 罪 t 、 b t ） 、 t ∈ [ 0 、 T ]
{\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]}
弧の
長さ は
あ = T ⋅
1つの
2
+
b
2
、
{\displaystyle A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}
曲 率
|
1つの
|
1つの
2
+
b
2
、
{\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}},}
そして ねじれ
b
1つの
2
+
b
2
。
{\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}
らせんには一定の非ゼロの曲率とねじれがあります。
らせんはベクトル値関数である
r
= 1つの コス t
私
+ 1つの 罪 t
じ
+ b t
け
ヴ
= − 1つの 罪 t
私
+ 1つの コス t
じ
+ b
け
1つの
= − 1つの コス t
私
− 1つの 罪 t
じ
+ 0
け
|
ヴ
|
=
（ − 1つの 罪 t
）
2
+ （ 1つの コス t
）
2
+
b
2
=
1つの
2
+
b
2
|
1つの
|
=
（ − 1つの 罪 t
）
2
+ （ 1つの コス t
）
2
= 1つの
s （ t ）
=
∫
0
t
1つの
2
+
b
2
d τ =
1つの
2
+
b
2
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}}
したがって、らせんは s の関数として再パラメータ化できますが、これは単位速度でなければなりません。
r
(
s
)
=
a
cos
s
a
2
+
b
2
i
+
a
sin
s
a
2
+
b
2
j
+
b
s
a
2
+
b
2
k
{\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }
単位接線ベクトルは
d
r
d
s
=
T
=
−
a
a
2
+
b
2
sin
s
a
2
+
b
2
i
+
a
a
2
+
b
2
cos
s
a
2
+
b
2
j
+
b
a
2
+
b
2
k
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }
法線ベクトルは
d
T
d
s
=
κ
N
=
−
a
a
2
+
b
2
cos
s
a
2
+
b
2
i
+
−
a
a
2
+
b
2
sin
s
a
2
+
b
2
j
+
0
k
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }
その曲率は
κ
=
|
d
T
d
s
|
=
|
a
|
a
2
+
b
2
{\displaystyle \kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}
。
単位法線ベクトルは
N
=
−
cos
s
a
2
+
b
2
i
−
sin
s
a
2
+
b
2
j
+
0
k
{\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }
従法線ベクトルは
B
=
T
×
N
=
1
a
2
+
b
2
(
b
sin
s
a
2
+
b
2
i
−
b
cos
s
a
2
+
b
2
j
+
a
k
)
d
B
d
s
=
1
a
2
+
b
2
(
b
cos
s
a
2
+
b
2
i
+
b
sin
s
a
2
+
b
2
j
+
0
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}}
そのねじれは
τ
=
|
d
B
d
s
|
=
b
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle \tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}
例 分子生物学における二重らせんの例としては、 核酸の二重らせん があります。
円錐らせんの例としては、 シーダーポイント 遊園地
の 「コークスクリュー」ジェットコースターがあります。
自然界に見られる曲線の中には、 巻きひげの倒錯 として知られる遷移によって結合された、異なる巻き方の複数のらせんから構成されるものがあります。
ほとんどのハードウェアの ネジ山は 右巻きのらせん構造です。生物学におけるアルファらせんやDNA の A 型および B 型も右巻きのらせん構造です。DNAの Z 型 は左巻きです。
音楽 では 、 ピッチ空間は螺旋または二重螺旋でモデル化されることが多く、 オクターブの等価性 を表すために、 五度圏 などの円から外側に広がることが最も多い 。
航空学において、 幾何ピッチ とは、飛行機のプロペラの要素が、その要素の弦とプロペラ軸に垂直な平面との間の角度に等しい角度を持つらせんに沿って動いている場合に、1 回転で進む距離のことです。 「ピッチ角 (航空)」 も参照してください。
参照
無料辞書『ウィクショナリー』で 「helix」 を調べてください。
参考文献
^ ἕλιξ Archived 2012-10-16 at the Wayback Machine 、ヘンリー・ジョージ・リデル、ロバート・スコット、 ギリシャ語-英語辞典 、Perseus について ^ Weisstein, Eric W. 「ヘリコイド」 。MathWorld 。 ^ 「Double Helix Archived 2008-04-30 at the Wayback Machine 」、Sándor Kabai、 Wolfram Demonstrations Project 著。 ^ オニール、B. 初等微分幾何学、 1961年72ページ ^ オニール、B. 初等微分幾何学、 1961年74ページ ^ 泉谷 誠・竹内 暢 (2004) 「新しい特殊曲線と展開可能面」 Turk J Math Archived 2016-03-04 at the Wayback Machine , 28:153–163. ^ Menninger, T. (2013)「 斜めらせんのフレネ装置の明示的なパラメータ化」 arXiv:1302.3175 Archived 2018-02-05 at the Wayback Machine 。 ^ ワイスタイン、エリック・W. 『ヘリックス』。 マスワールド 。 ^ Schmitt, J.-L.; Stadler, A.-M.; Kyritsakas, N.; Lehn, J.-M. (2003). 「ヘリシティエンコード分子鎖：ヒドラゾン経路による効率的なアクセスと構造的特徴」 Helvetica Chimica Acta . 86 (5): 1598–1624. doi :10.1002/hlca.200390137.
![{\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d3e0b26d648578d282662c605919e609ab3636)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf { v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+ (a\コスト)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t) ^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau = {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afe0c394e1f5016fe6f79cb7e61355847a8e4b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2} }}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds} }&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2} }}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe28a7b7e7e718f1acea8099543719f9a5368cf4)
![Lehnらによって報告された折り畳まれた分子らせんの結晶構造[9]](https://img-server.japedia.wiki/wikipedia/commons/thumb/0/05/Lehn_Beautiful_Foldamer_HelvChimActa_1598_2003.jpg/500px-Lehn_Beautiful_Foldamer_HelvChimActa_1598_2003.jpg)
