ホロロギウム・オシラトリウム

ホイヘンスは本書の前半で、振動式振り子時計の設計について詳細に説明している。そこには、無限鎖、空気抵抗を減らすためのレンズ状のおもり、振り子の揺れを調整するための小さな重り、振り子を歯車に接続するための脱進機、振り子の動きを制限するために両側に取り付けられたサイクロイド形の薄い金属板2枚の説明が含まれている。この部分は、太陽日の不均一性を調整するための表、サイクロイドの描き方の説明、および海上での経度測定への振り子時計の応用についての議論で終わる。^{[ 5 ] [ 8 ]}

本書の第二部で、ホイヘンスは物体の運動に関する三つの仮説を述べている。これらはニュートンの運動の三つの法則の先駆けと見なすことができる。それらは本質的に慣性の法則、等速運動に対する重力の影響、そして運動の合成の法則である。

1. 重力がなく、空気抵抗も物体の運動に全く影響しない場合、これらの物体はいずれも、直線に沿って一定の速度で運動を続けることができる。
2. 重力の作用下では、等速運動の方向がどうであれ、この運動は、物体が現在持っている、あるいは以前に持っていた一定の運動と、重力による下向きの運動とが組み合わさった運動となる。
3. また、これらの動作はどちらも個別に考えることができ、どちらかの動作が他方の動作を妨げることはない。

彼はこれら3つの規則を用いて、斜面に沿った直線落下や曲線経路に沿った落下を含む、ガリレオの落下物体に関する元の研究を幾何学的に再導出しました。 ^{[ 4 ] [ 19 ]}次に彼は制約された落下を研究し、逆サイクロイドに沿って落下する物体は、落下開始地点に関係なく、一定の時間で底に到達するという証明で締めくくりました。これは事実上、サイクロイド曲線によって与えられる等時曲線問題の解を示しています。^{[ 8 ] [ 20 ]}現代の表記では次のようになります。

${\displaystyle (\pi /2)\surd (2D/g)}$

パートIIでは以下の命題を取り上げます。^{[ 8 ]}

本書の第 3 部で、ホイヘンスは、巻き戻し (ラテン語: evolutus ) して第 2 の曲線であるインボリュートを作成する曲線として、エボリュートの概念を導入します。そして、第 1 部で薄い板のサイクロイド形状を正当化するためにエボリュートを使用します。^{[ 8 ]}ホイヘンスは当初、無限小の手法を使用してサイクロイドの等時性を発見しましたが、最終出版物では、アルキメデスのように比例と背理法に頼り、サイクロイド、放物線、その他の高次の曲線などの曲線を修正しました。^{[ 5 ] [ 16 ]}

パート III では、以下の命題が取り上げられています: ^{[ 8 ]}

本書の第 4 部で最も長い部分は、振動中心の最初の成功した理論と、その理論を適用するための特別な方法、およびいくつかの平面図形と立体図形の振動中心の計算を収録している。^{[ 21 ]}ホイヘンスは、複合振り子の問題に取り組む際に、分析に物理的パラメータを導入している。^{[ 22 ]}

この理論はいくつかの定義から始まり、トリチェリの原理を用いて命題を導き出しています。トリチェリの原理とは、重力によっていくつかの重りが動き始めると、それらの重りの重心が運動開始時よりも高い位置まで上昇することはない、という原理です。ホイヘンスはこの原理を「力学の主要公理」と呼び、力やトルクに頼ることなく、運動エネルギー保存の法則のように用いました。^{[ 1 ] [ 4 ]}この過程で、彼は振動する振り子や複合振り子の周期、振動中心とその支点との交換可能性、慣性モーメントと重力加速度定数の概念など、力学的な問題の解を得ました。[5][8] ホイヘンスは暗黙のうちに自由落下の公式を^{用いていました。}現代の表記では次のようになります。

$d=1/2gt^{2}}$

第 IV 部では以下の命題を取り上げます: ^{[ 8 ]}

本書の最後の部分では、振り子の動きが円形であり、紐が放物線の渦巻きからほどける時計の設計に戻ります。証明なしで、等速円運動する物体に関する13の命題で終わり、等速円運動に対する向心力の法則が述べられています。 ^{[ 23 ]}これらの命題は当時綿密に研究されましたが、その証明は死後『De Vi Centrifuga』（1703年）で出版されただけです。^{[ 4 ]}

『振動時計』に見られる命題の多くは時計とはほとんど関係がなく、むしろホイヘンスの思想の発展を示している。^{[ 6 ]}振り子を使って重力定数を測定しようとした試みが一貫した結果を得られなかったため、ホイヘンスは実験を放棄し、代わりにこの問題を自由落下と円周に沿った落下を比較する数学的研究に理想化した。^{[ 24 ]}

当初、彼はガリレオの落下研究の手法に従ったが、その結果が曲線落下には適用できないことが明らかになったため、すぐにその手法を放棄した。その後、ホイヘンスは解析幾何学、古典幾何学、および当時の微小技術を組み合わせた独自の微小解析手法を用いて、この問題に直接取り組んだ。^{[ 4 ] [ 25 ]}ホイヘンスはこれらの手法を用いた結果の大部分を公表せず、アルキメデスのやり方にならって、できる限り厳密に古典的な表現に固執した。^{[ 16 ] [ 26 ]}

当時、主要な研究誌に掲載されたホイヘンスの『振動時計』の最初のレビューは概ね好意的だった。 『ジャーナル・ド・サヴァンス』（1674年）に掲載された匿名のレビューでは、著者が振り子時計を発明したことを称賛し、「天文学と航海にとって極めて重要であるため、今世紀に最大の栄誉をもたらす」と述べるとともに、本書を完全に理解するために必要な優雅だが難解な数学についても言及している。^{[ 27 ]} 『ジョルナーレ・デ・レッテラティ』（1674年）に掲載された別のレビューでは、最初のレビューとほぼ同じ点が繰り返され、ホイヘンスの海上での実験についてさらに詳しく説明されている。『フィロソフィカル・トランザクションズ』（1673年）に掲載されたレビューも同様に著者の発明を称賛しているが、時計の設計に貢献した他の人物、例えばウィリアム・ニールなどにも言及しており、それが後に優先権争いにつながることになる。^{[ 12 ] [ 27 ]}

ホイヘンスは、論文を査読に提出するだけでなく、ヨハン・デ・ウィットのような政治家や、ジル・ド・ロベルヴァルやグレゴリー・オブ・サン・ヴィンセントのような数学者など、ヨーロッパ中の人々に著書のコピーを送った。彼らがこのテキストを高く評価したのは、完全に理解できたからだけではなく、ホイヘンスの知的地位、あるいはそのような贈り物が意味する彼の感謝や友愛の念を認めたからである。^{[ 11 ]}このように、『Horologium Oscillatorium』のコピーを送ることは、ホイヘンスがルイ14世やフェルディナント2世大公など数人に送った実際の時計を贈るのと同様の効果があった。^{[ 27 ]}

ホイヘンスの『振動時計』やその他の著作における数学は、曲線と運動の幾何学的解析として最もよく特徴づけられる。ホイヘンスは古典の著述家、とりわけアルキメデスの著作を好んだため、その様式は古典ギリシャ幾何学に非常によく似ていた。^{[ 1 ] [ 13 ]}彼はまた、デカルトとフェルマーの解析幾何学にも精通しており、特に著書の第3部と第4部でそれを活用した。これらのツールやその他の微小なツールを用いて、ホイヘンスは、ある種の微分方程式の一意性定理を証明したり、近似法や不等式の手法を2階微分に拡張したりするなど、今日では数学的解析を用いて解決される難問の解法を見出すことができた。^{[ 4 ] [ 25 ]}

ホイヘンスの提示方法（つまり、明確に述べられた公理に続いて命題が示される）は、ニュートンを含む同時代の数学者にも感銘を与え、ニュートンは遠心力に関する命題を綿密に研究し、後に自身の主要な著作に『振動時計』の影響を認めた。^{[ 17 ]}それにもかかわらず、ホイヘンスの数学のアルキメデス的かつ幾何学的なスタイルは、微積分学の出現とともにすぐに廃れてしまい、後世の人々が彼の業績を評価することがより困難になった。^{[ 9 ]}

ホイヘンスの『振動時計』における最も永続的な貢献は、科学的用途に適した最初の信頼できる計時装置であった振り子時計を説明するために数学を徹底的に応用したことである。^{[ 4 ]}精密機器を設計および分析するための幾何学と物理学の彼の熟練は、おそらく機械工学の出現を予見していたと言えるだろう。^{[ 28 ]}

ホイヘンスによる第2部および第3部でのサイクロイドの解析は、後に焦線、最速降下曲線、帆曲線、懸垂線など、他の多くの曲線の研究につながった。^{[ 9 ]}さらに、物理問題を最小限のパラメータに厳密に数学的に分解したことは、応用数学の研究において、ベルヌーイ兄弟など他の人々に模範を示し、微積分学の言語ではあるものの、その後の数世紀にわたって研究が続けられた。^{[ 8 ]}