非弾性衝突

弾性衝突とは対照的に、非弾性衝突とは、内部摩擦の作用により運動エネルギーが保存されない衝突のことである。

巨視的な物体同士の衝突では、運動エネルギーの一部が原子の振動エネルギーに変換され、発熱効果が生じ、物体が変形する。

気体や液体の分子は、衝突のたびに分子の並進運動と内部自由度との間で運動エネルギーが交換されるため、完全に弾性的な衝突を起こすことはまれです。ある瞬間には、衝突の半分は程度の差こそあれ非弾性（衝突後の運動エネルギーが衝突前よりも少ない）であり、残りの半分は「超弾性」（衝突後の運動エネルギーが衝突前よりも多い）と表現できます。サンプル全体で平均すると、分子衝突は弾性的です。^{[ 1 ]}

非弾性衝突では運動エネルギーは保存されませんが、運動量保存則は成り立ちます。^{[ 2 ]}単純な弾道振り子の問題では、ブロックが最大角度まで振れる場合にのみ運動エネルギー保存則が成り立ちます。

原子核物理学において、非弾性衝突とは、入射粒子が衝突した原子核を励起または崩壊させる衝突のことである。深非弾性散乱は、ラザフォードが原子の内部を調べたのとほぼ同じ方法で、素粒子の構造を調べる方法である（ラザフォード散乱を参照）。このような実験は、1960年代後半にスタンフォード線形加速器（SLAC）で高エネルギー電子を用いて陽子に対して行われた。ラザフォード散乱と同様に、陽子標的による電子の深非弾性散乱では、入射電子のほとんどがほとんど相互作用せず、そのまま通過し、ごく少数だけが跳ね返ることが明らかになった。これは、陽子の電荷が小さな塊に集中していることを示しており、原子の正電荷が原子核に集中しているというラザフォードの発見を彷彿とさせる。しかし、陽子の場合、証拠は電荷の集中が1つではなく、3つの異なる集中（クォーク）であることを示唆していた。

一次元衝突後の速度を求める式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{a}&={\frac {C_{R}m_{b}(u_{b}-u_{a})+m_{a}u_{a}+m_{b}u_{b}}{m_{a}+m_{b}}}\\v_{b}&={\frac {C_{R}m_{a}(u_{a}-u_{b})+m_{a}u_{a}+m_{b}u_{b}}{m_{a}+m_{b}}}\end{aligned}}}$$

どこ

• v _aは衝突後の最初の物体の最終速度である
• v _bは衝突後の2番目の物体の最終速度である。
• u _aは衝突前の最初の物体の初速度である。
• u _bは、衝突前の第 2 物体の初速度です。
• m _aは最初の物体の質量です
• m _bは2番目の物体の質量です
• C _Rは反発係数です。1 の場合は弾性衝突、0 の場合は完全非弾性衝突となります（下記参照）。

運動量中心座標系では、式は以下のように簡略化されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{a}&=-C_{R}u_{a}\\v_{b}&=-C_{R}u_{b}\end{aligned}}}$$

2次元および3次元の衝突の場合、これらの式における速度は、接触点における接線／接平面に垂直な成分である。

衝突の前後で物体が回転していないと仮定すると、法線方向の力積は次のようになります。

$${\displaystyle J_{n}={\frac {m_{a}m_{b}}{m_{a}+m_{b}}}(1+C_{R})({\vec {u_{b}}}-{\vec {u_{a}}})\cdot {\vec {n}}}$$

どこ${\displaystyle {\vec {n}}}$は法線ベクトルです。

摩擦がないと仮定すると、速度の更新は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {v_{a}}}&={\frac {J_{n}}{m_{a}}}{\vec {n}}\\\Delta {\vec {v_{b}}}&=-{\frac {J_{n}}{m_{b}}}{\vec {n}}\end{aligned}}}$$

完全非弾性衝突は、システムの運動エネルギーが最大量失われるときに発生します。完全非弾性衝突、つまり反発係数がゼロの場合、衝突する粒子はくっつきます。このような衝突では、2 つの物体が結合することによって運動エネルギーが失われます。この結合エネルギーは通常、システムの運動エネルギーの最大損失をもたらします。運動量保存を考慮する必要があります。（注：上記の滑りブロックの例では、2 体システムの運動量は、表面に摩擦がない場合にのみ保存されます。摩擦がある場合、2 つの物体の運動量は、2 つの物体が滑っている表面に伝達されます。同様に、空気抵抗がある場合、物体の運動量は空気に伝達される可能性があります。）以下の式は、上記の例の 2 体 (物体 A、物体 B) システムの衝突に対して成り立ちます。この例では、滑っている物体と表面の間に摩擦がないため、システムの運動量は保存されます。 $${\displaystyle m_{a}u_{a}+m_{b}u_{b}=\left(m_{a}+m_{b}\right)v}$$ ここでvは最終速度であり、したがって次式で与えられる。 $${\displaystyle v={\frac {m_{a}u_{a}+m_{b}u_{b}}{m_{a}+m_{b}}}}$$2つの粒子系に対する運動量中心座標系では、衝突後の運動エネルギーはゼロとなるため、全運動エネルギーの減少は衝突前の全運動エネルギーに等しくなります。この座標系では、衝突前の運動エネルギーの大部分は質量の小さい方の粒子のものです。別の座標系では、運動エネルギーの減少に加えて、一方の粒子から他方の粒子への運動エネルギーの伝達が生じる可能性があります。これが座標系に依存するという事実は、これが相対的なものであることを示しています。したがって、運動エネルギーの変化は次のようになります。 $${\displaystyle \Delta KE={1 \over 2}\mu u_{\rm {rel}}^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{a}m_{b}}{m_{a}+m_{b}}}|u_{a}-u_{b}|^{2}}$$

ここで、μは換算質量、u _{relは衝突前の物体の}相対速度です。時間を逆にすると、2つの物体が互いに押し離される状況になります。たとえば、発射体を飛ばしたり、ロケットが推力を加えたりする場合です（ツィオルコフスキーのロケット方程式の導出と比較してください）。

部分非弾性衝突は、素粒子を除けば、現実世界で最も一般的な衝突の種類です。部分非弾性衝突では、衝突に関与する物体はくっつきませんが、運動エネルギーの一部が失われます。摩擦、音、熱などは、部分非弾性衝突で運動エネルギーが失われる要因の一部です。

• 衝突
• 弾性衝突
• 反発係数