弾性衝突

物理学では、弾性衝突とは、2 つの物体が遭遇 (衝突)した 際に、2 つの物体の合計運動エネルギーが同じままになることです。理想的な完全な弾性衝突では、運動エネルギーが熱、ノイズ、位置エネルギーなどの他の形式に変換されることはありません。

小さな物体の衝突の際、運動エネルギーはまず粒子間の反発力または引力に関連する位置エネルギーに変換され（粒子がこの力に逆らって動く場合、つまり力と相対速度の間の角度が鈍角の場合）、次にこの位置エネルギーは運動エネルギーに戻されます（粒子がこの力で動く場合、つまり力と相対速度の間の角度が鋭角の場合）。

原子の衝突は弾性的であり、例えばラザフォード後方散乱がこれにあたります。

弾性衝突の便利な特殊なケースは、2 つの物体の質量が等しい場合です。この場合は、2 つの物体は単に運動量を交換するだけです。

原子とは異なり、気体や液体の分子は、衝突のたびに分子の並進運動と分子の内部自由度の間で運動エネルギーが交換されるため、完全に弾性的な衝突を経験することはめったにありません。どの瞬間でも、衝突の半分は程度の差はあれ非弾性衝突（衝突前よりも衝突後の並進運動の運動エネルギーが減少）であり、残りの半分は「超弾性」衝突（衝突前よりも衝突後の運動エネルギーが増加）と言えます。サンプル全体を平均すると、プランクの法則により黒体光子によってエネルギーが持ち去られることが禁じられている限り、分子衝突は基本的に弾性衝突と見なすことができます。

マクロな物体の場合、完全な弾性衝突は完全に実現されることはない理想ですが、ビリヤードのボールなどの物体の相互作用によって近似されます。

エネルギーを考慮する場合、衝突前および/または衝突後の回転エネルギーも役割を果たす可能性があります。

いかなる衝突でも運動量は保存されるが、弾性衝突では運動エネルギーも保存される。^[1]質量がm _A、m _B、衝突前の速度がv _A1、v _{B1 、衝突後の速度が}v _A2、v _B2である粒子AとBを考える。衝突前後の運動量保存は次のように表される。^[1] $${\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}\ =\ m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}$$

同様に、全運動エネルギーの保存則は次のように表される: ^[1] $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}.}$$

これらの方程式は、いつが既知であるかを直接調べるために解くことができる。^[2]${\displaystyle v_{A2},v_{B2}}$${\displaystyle v_{A1},v_{B1}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{A2}&=&{\dfrac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}\\[.5em]v_{B2}&=&{\dfrac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}.\end{array}}}$$

あるいは、粒子の最終速度 v ₂ (v _A2または v _B2 ) は次のように表されます。

${\displaystyle v=(1+e)v_{CoM}-eu,v_{CoM}={\dfrac {m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}}{m_{A}+m_{B}}}}$

どこ：

• eは反発係数です。
• v _{CoM は}、2 つの粒子のシステムの質量中心の速度です。
• v ₁ (v _A1または v _B1 ) は粒子の初期速度です。

両方の質量が同じであれば、単純な解が得られます。 これは単に物体が互いの初期速度を交換することに相当します。^[2]$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}.\end{aligned}}}$$

予想どおり、解はすべての速度に定数を加えても不変です (ガリレイ相対性)。これは、並進速度が一定の基準フレームを使用するようなものです。実際、方程式を導くには、まず、既知の速度の 1 つがゼロになるように基準フレームを変更し、新しい基準フレームで未知の速度を決定し、元の基準フレームに変換し直す必要があります。

衝突前

ボールA: 質量 = 3 kg、速度 = 4 m/s

ボールB: 質量 = 5 kg、速度 = 0 m/s

衝突後

ボールA: 速度 = −1 m/s

ボールB: 速度 = 3 m/s

別の状況:

以下は質量が等しい場合の例です。 ${\displaystyle m_{A}=m_{B}}$

が よりはるかに大きい極限の場合、例えばピンポンパドルがピンポンボールを打ったり、SUVがゴミ箱にぶつかったりする場合、重い質量の速度はほとんど変化しないのに対し、軽い質量は跳ね返って、重い質量の速度の約2倍の速度を加えます。^[3]${\displaystyle m_{A}}$${\displaystyle m_{B}}$

が大きい場合、質量がほぼ同じであればの値は小さくなります。つまり、はるかに軽い粒子に衝突しても速度はあまり変化しませんが、はるかに重い粒子に衝突すると、高速粒子は高速で跳ね返ります。このため、中性子減速材（高速中性子を減速させて、連鎖反応を維持できる熱中性子に変える媒体）は、中性子を簡単に吸収しない軽い核を持つ原子で満たされた物質です。最も軽い核の質量は、中性子とほぼ同じです。 ${\displaystyle v_{A1}}$${\displaystyle v_{A2}}$

上記の式を導き出すには、運動エネルギーと運動量の方程式を整理します。 ${\displaystyle v_{A2},v_{B2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}(v_{A2}^{2}-v_{A1}^{2})&=m_{B}(v_{B1}^{2}-v_{B2}^{2})\\m_{A}(v_{A2}-v_{A1})&=m_{B}(v_{B1}-v_{B2})\end{aligned}}}$$

上の方程式の各辺を下の方程式の各辺で割り、 を使用すると次のようになります。 ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{(a-b)}}=a+b,}$

$${\displaystyle v_{A2}+v_{A1}=v_{B1}+v_{B2}\quad \Rightarrow \quad v_{A2}-v_{B2}=v_{B1}-v_{A1}}$$

つまり、衝突によって、一方の粒子と他方の粒子の相対速度が逆転します。

さて、上記の式は、を定数と 見なす線形方程式のシステムを解くことから得られます。 が決定される と、対称性によって見つけることができます。 ${\displaystyle v_{A2},v_{B2},}$${\displaystyle m_{A},m_{B},v_{A1},v_{B1}}$$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{A2}&-&v_{B2}&=&v_{B1}-v_{A1}\\m_{A}v_{A1}&+&m_{B}v_{B1}&=&m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.\end{array}}\right.}$$${\displaystyle v_{A2}}$${\displaystyle v_{B2}}$

質量の中心に関しては、衝突によって両方の速度が逆転します。つまり、重い粒子は質量の中心に向かってゆっくりと移動し、同じ低速で跳ね返ります。一方、軽い粒子は質量の中心に向かって高速で移動し、同じ高速で跳ね返ります。

衝突によって質量中心の速度は変化しません。これを確認するには、衝突前と衝突後の質量中心を考えてみましょう。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&={\frac {m_{A}x_{A}(t)+m_{B}x_{B}(t)}{m_{A}+m_{B}}}\\{\bar {x}}(t')&={\frac {m_{A}x_{A}(t')+m_{B}x_{B}(t')}{m_{A}+m_{B}}}.\end{aligned}}}$$

したがって、衝突前と衝突後の質量中心の速度は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\bar {x}}&={\frac {m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}}{m_{A}+m_{B}}}\\v_{\bar {x}}'&={\frac {m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}}{m_{A}+m_{B}}}.\end{aligned}}}$$

と の分子は衝突前と衝突後の全運動量です。運動量は保存されるので、${\displaystyle v_{\bar {x}}}$${\displaystyle v_{\bar {x}}'}$${\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'\,.}$

特殊相対性理論によれば 、p は質量を持つ粒子の運動量、v は速度、cは光速を表します。 $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

運動量フレームの中心では、総運動量はゼロとなり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}$$

ここで、は衝突する 2 つの物体の静止質量を表し、は衝突前の速度、は衝突後の速度、は運動量を表し、は真空中の光速であり、は 2 つの物体の静止質量と運動エネルギーの合計である全エネルギーを表します。 ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$${\displaystyle u_{1},u_{2}}$${\displaystyle v_{1},v_{2}}$${\displaystyle p_{1},p_{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle E}$

システムの全エネルギーと運動量は保存され、静止質量は変化しないため、衝突体の運動量は衝突体の静止質量、全エネルギー、および全運動量によって決定されることが示されます。運動量フレームの中心に対して、各衝突体の運動量は衝突後も大きさは変化しませんが、移動方向が反転します。

光速よりはるかに遅いマクロな物体を扱う正確な結果を与える古典力学と比較すると、衝突する2つの物体の全運動量はフレームに依存します。運動量フレームの中心では、古典力学によれば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}$$

これは、他の違いにもかかわらず、相対論的な計算と一致します。 ${\displaystyle u_{1}=-v_{1},}$

特殊相対性理論の公理の一つは、運動量保存則などの物理法則はすべての慣性系において不変であるべきである、と述べている。総運動量が任意になり得る一般慣性系では、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}$$ 2 つの運動物体を 1 つのシステムとして考えることができます。このシステムの合計運動量は合計エネルギーであり、速度は質量中心の速度です。運動量中心フレームに対して、合計運動量はゼロです。次のように 表すことができます。 衝突前の運動量中心フレームでの速度と速度は次のとおりです。 ${\displaystyle p_{T},}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{c}}$${\displaystyle v_{c}}$$${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$$${\displaystyle u_{1}'}$${\displaystyle u_{2}'}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

いつ、そして${\displaystyle u_{1}\ll c}$${\displaystyle u_{2}\ll c\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$$

したがって、衝突する両方の物体の速度が光速（毎秒約 300,000 キロメートル）よりもはるかに遅い場合、古典的な計算は当てはまります。

いわゆる速度パラメータ （通常はラピディティと呼ばれる）を使用すると、 ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh(s),}$$ 私たちは得る $${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s).}$$

相対論的なエネルギーと運動量は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}$$

衝突する質量と運動量の合計エネルギーと運動量（速度は速度パラメータに対応）を適切な力で割った後の方程式は次のようになります。 ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2},}$${\displaystyle v_{1},v_{2},u_{1},u_{2}}$${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})&=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})\\m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})&=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})\end{aligned}}}$$

従属方程式、上記の方程式の合計: $${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$$

両辺の方程式「運動量」から「エネルギー」を二乗して引き、簡略化した後の恒等式を使用すると次のようになります。 ${\textstyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1,}$$${\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}$$

質量がゼロでない場合は、双曲三角関数の恒等式を使用して次の式を得ます。 ${\textstyle \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(b)\sinh(a),}$$${\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}$$

関数が偶数の場合、2 つの解が得られます。 最後の方程式から、非自明な解が導かれ、これを解いて従属方程式に代入すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \cosh(s)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}-s_{2}&=s_{3}-s_{4}\\s_{1}-s_{2}&=-s_{3}+s_{4}\end{aligned}}}$$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle e^{s_{1}}}$${\displaystyle e^{s_{2}},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{s_{1}}&=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\\e^{s_{2}}&=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\end{aligned}}}$$

これは問題の解ですが、速度のパラメータで表現されています。速度の解を得るための置換を返すと次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}/c&=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}\\v_{2}/c&=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}\end{aligned}}}$$

以前のソリューションを置き換えて、次のように置き換えます。 長い変換の後、次のように置き換えて、 次のようになります。 ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}},}$${\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\\v_{2}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

2 次元で 2 つの回転しない物体が衝突する場合、物体の運動は、運動量、運動エネルギー、角運動量の 3 つの保存則によって決まります。各物体の全体的な速度は、2 つの垂直な速度に分割する必要があります。1 つは接触点で衝突する物体の共通法線面に接する速度で、もう 1 つは衝突線に沿った速度です。衝突は衝突線に沿ってのみ力を与えるため、衝突点に接する速度は変化しません。衝突線に沿った速度は、1 次元衝突と同じ方程式で使用できます。最終的な速度は、2 つの新しい成分速度から計算でき、衝突点によって異なります。2 次元衝突の研究は、2 次元ガスの枠組みの中で多くの物体に対して行われています。

運動量中心フレームでは、2 つの物体の速度は常に反対方向で、大きさは質量に反比例します。弾性衝突では、これらの大きさは変化しません。方向は、物体の形状と衝突点に応じて変化する場合があります。たとえば、球の場合、角度は 2 つの物体の中心の (平行な) 経路間の距離によって決まります。ゼロ以外の方向変更は可能です。この距離がゼロの場合、衝突時に速度が逆転します。この距離が球の半径の合計に近い場合、2 つの物体はわずかに偏向するだけです。

衝突前に2番目の粒子が静止していると仮定すると、2つの粒子の偏向角、およびは、質量中心のシステムにおける偏向角と次の式で関係付けられます^[4] 衝突後の粒子の速度の大きさは次のとおりです。 ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \tan \theta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \theta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1}&=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}}\\v'_{2}&=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

最初のボールの最終的な x 速度成分と y 速度成分は次のように計算できます。^[5] ここで、v ₁とv ₂は物体の 2 つの元の速度のスカラーサイズ、m ₁とm ₂は質量、θ ₁とθ ₂は移動角度、つまり(つまり、右下への移動は -45° の角度、または 315° の角度)、小文字のファイ ( φ ) は接触角です。( 2 番目のボールのx速度とy速度を取得するには、すべての '1' 添え字を '2' 添え字と交換する必要があります。) $${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}$$${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$

この方程式は、2つの物体間の相互作用が接触角に沿って簡単に計算できるという事実から導き出されたもので、物体の速度は、x軸とy軸を物体の接触角と平行になるように回転させて1次元で計算し、その後元の方向に戻すことで速度の真のx成分とy成分を得ることができます。^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]}

角度のない表現では、変化した速度は接触時の 中心x ₁とx _{2 を}使用して次のように計算されます。 ここで、山括弧は2 つのベクトルの内積(またはドット積) を示します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$$

質量が等しい粒子の特定のケースでは、上記の結果から直接計算することで、衝突前と衝突後の速度のスカラー積が同じであることが確認できます。つまり、この積は、弾性衝突における運動量と運動エネルギーと同じように加法不変ではありませんが、この量の保存は、それでも高次の保存則を導くために使用できるようです。^[12]${\displaystyle \langle \mathbf {v} '_{1},\mathbf {v} '_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle .}$

• 衝突
• 非弾性衝突
• 反発係数

• Landau, LD; Lifshitz, EM (1976)。力学（第3版）。Pergamon Press。ISBN 0-08-021022-8。
• Raymond, David J.「10.4.1 弾性衝突」。入門物理学への根本的に現代的なアプローチ。第 1 巻: 基本原理。ニューメキシコ州ソコロ: New Mexico Tech Press。ISBN 978-0-9830394-5-7。
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2014)。「9: 線形運動量と衝突」。現代物理学を取り入れた科学者とエンジニアのための物理学 (第 9 版)。ボストン。ISBN 978-1-133-95405-7。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• 保存則を用いた導出を含む3次元での剛体衝突解決