物質派生

連続体力学において、物質微分^{[1] [2]}は、空間と時間に依存する巨視的速度場を受ける物質要素の物理量（熱や運動量など）の時間変化率を記述する。物質微分は、連続体変形のオイラー的記述とラグランジアン的記述をつなぐ役割を果たすことができる。^[3]

たとえば、流体力学では、速度場は流速であり、関心のある量は流体の温度です。その場合、物質微分は、パスライン（軌道）に沿って流れる特定の流体塊の温度の時間変化を表します。

物質派生物には、他にも次のような多くの名前があります。

• 移流微分^[4]
• 対流微分^[5]
• 運動に伴う微分^[1]
• 流体力学的微分^[1]
• ラグランジアン微分^[6]
• 粒子微分^[7]
• 実質的派生商品^[1]
• 名詞派生語^[8]
• ストークス微分^[8]
• 全微分[ ^{1] [9]}物質微分は実際には全微分の特別な場合であるが^[9]

物質微分は、位置と時間の座標のみに依存するという意味で、巨視的な任意のテンソル場 yに対して定義され、 y = y ( x、t ) : ここで、∇ yはテンソルの共変微分、 u ( x、t )は流速です。一般に、場の共変微分を含む場u ·∇ yの対流微分は、場u ·(∇ y )の流線テンソル微分を含むものと解釈することも、場( u ·∇) yの流線方向微分を含むものと解釈することもでき、どちらでも同じ結果が得られます。^[10] 流速を含むこの空間項のみが流れの中での場の輸送を記述し、他の項は流れの存在とは無関係に場の固有の変化を記述します。紛らわしいことに、「対流微分」という名前は、空間項u ·∇のみではなく、物質微分D / Dt全体に使用されることがあります。^[2]定義における時間に依存しない項の効果は、スカラーとテンソルの場合にそれぞれ移流と対流として知られています。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y 、}$$

たとえば、マクロなスカラー場 φ ( x , t )とマクロなベクトル場 A ( x , t )の場合、定義は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\ mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \ mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

スカラーの場合、∇ φ は単にスカラーの勾配ですが、 ∇ Aはマクロベクトルの共変微分です（これは、xの関数としてのAのヤコビ行列と考えることもできます）。特に、3次元直交座標系（x ₁、x ₂、x ₃）のスカラー場の場合、速度uの成分はu ₁、u ₂、u ₃であり、対流項は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}$$

スカラー量φ = φ ( x , t )を考えます。ここで、 tは時間、xは位置です。ここで、φ は温度や化学濃度などの物理変数です。スカラー量がφである物理量は連続体として存在し、その巨視的速度はベクトル場u ( x , t )によって表されます。

φの時間に関する（全）微分は多変量連鎖律を用いて展開される： $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+ {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}$$

この導関数が、空間内の選択された経路x ( t ) を 表すベクトルに依存していることは明らかです 。たとえば、 を選択した場合、時間導関数は部分時間導関数と等しくなり、これは部分導関数の定義と一致します。部分導関数とは、他の変数 (この場合は空間) を一定に保ちながら、ある変数 (この場合は時間) に関して取られた導関数です。の場合、導関数はある一定の位置で取られるため、これは理にかなっています。この静的位置の導関数は、オイラー導関数と呼ばれます。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}$

このケースの一例として、早朝に湖でじっと立っている水泳選手が温度変化を感じることが挙げられます。水は太陽の熱で徐々に温かくなります。この場合、この用語は温度の変化率を説明するのに十分です。 ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}}$

太陽が水を温めていない (つまり) が、経路x ( t )が停止していない場合、経路によってφの時間微分が変化することがあります。たとえば、水泳者が屋内で太陽の影響を受けない、動かないプールの中にいるとします。一方の端はたまたま一定の高温になっており、もう一方の端は一定の低温になっています。一方の端からもう一方の端まで泳ぐことで、水泳者は、任意の (静的な) ポイントの温度が一定であっても、時間に対する温度の変化を感じます。これは、微分が水泳者の変化する場所で取られ、右側の 2 番目の項で温度の変化率を表すのに十分だからです。水泳者に取り付けられた温度センサーは、プールの一方の端からもう一方の端までの温度変化により、時間とともに変化する温度を示します。 ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}=0}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }$

最終的に、経路x ( t )が流体速度に等しい速度を持つように選択された ときに、物質微分が得られる。$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}$$

つまり、経路は流体の速度場uによって記述される流体の流れに沿っている。したがって、スカラーφの物質微分は $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}$$

このケースの一例として、軽量で中性浮力の粒子が流れる川に沿って流され、その過程で温度変化を経験することが挙げられます。川の一部が日当たりがよく、他の部分が日陰になっているために水温が局所的に上昇している場合もありますし、日が経つにつれて水全体が加熱されている場合もあります。粒子の動き（それ自体は流体の動きによって引き起こされます）による変化は移流（またはベクトルが輸送されている場合は対流）と呼ばれます。

上記の定義は流体の流れの物理的性質に依存していましたが、物理法則は適用されていません (たとえば、川の中の軽量粒子は水の速度に従うと想定されていました)。しかし、多くの物理的概念は物質微分を使用して簡潔に記述できることがわかりました。ただし、移流の一般的なケースは流体の流れの質量保存に依存しており、移流が非保存媒体で発生する場合は状況が少し異なります。

上記のスカラーについては、経路のみが考慮されました。ベクトルの場合、勾配はテンソル微分になります。テンソル場の場合、流体の動きによる座標系の移動だけでなく、回転や伸縮も考慮する必要があります。これは、上側の対流時間微分によって実現されます。

直交座標において、ベクトル場の物質微分の対流項のj^{番目の成分は[11]}で与えられることが示される。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle [\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}$$

ここで、h _{i は}計量テンソルと次の関係にある。${\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}$

3次元直交座標系（x、y、z）の特殊なケースで、Aが1テンソル（3つの成分を持つベクトル）である場合、これは次のようになります。 $${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u} }$$

ここで はヤコビ行列です。 ${\displaystyle {\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}}$

• コーエン、アイラ M.; クンドゥ、ピジュシュ K (2008)。流体力学(第 4 版)。アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-373735-9。
• ライ、マイケル; クレンプル、エアハルト; ルーベン、デイヴィッド (2010)。連続体力学入門(第 4 版)。エルゼビア。ISBN 978-0-7506-8560-3。