投射運動

鉛直方向にのみ加速度があるため、水平方向の速度は一定で、$\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$発射体の垂直方向の運動は、粒子が自由落下する際の運動である。ここでは加速度は一定であり、gに等しい。^{[注1 ]}加速度の成分は次のとおりである。

${\displaystyle a_{x}=0}$、

${\displaystyle a_{y}=-g}$.*

*y方向の加速度は、地球の力とも呼ばれる。${\textstyle (-F_{g}/m)}$対象となる物体について。

発射体は初速度で発射されるものとする$\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$これは、水平成分と垂直成分の合計として次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$。

コンポーネント${\displaystyle v_{0x}}$そして${\displaystyle v_{0y}}$初期発射角度θが分かっている場合、以下の値を求めることができます。

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$、

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

物体の速度の水平成分は、運動中ずっと変化しません。重力による加速度が一定であるため、速度の垂直成分は直線的に変化します^{[注2 ]} 。x方向とy方向の加速度を積分することで、任意の時刻tにおける速度成分を次のように求めることができます。

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$、

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$。

速度の大きさ（ピタゴラスの定理、別名三角形の法則による）：

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$。

いつでも${\displaystyle t}$発射体の水平方向および垂直方向の変位は次のとおりです。

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$、

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$。

変位の大きさは次のとおりです。

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$。

方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$そして${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$[ ^{4 ]​}

これら2つの式からtを消去すると、次の式が得られます。

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

ここでRは発射体の飛距離です。

g、θ、v ₀は定数であるため、上記の式は次の形式になります。

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$、

ここで、aとbは定数です。これは放物線の式なので、軌跡は放物線になります。放物線の軸は垂直です。

発射体の位置（x、y）と発射角度（θまたはα ）が分かっている場合、前述の放物線方程式でv₀について解くことで初速度を求めることができます_。

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$。

放物線の軌道は、直交座標の代わりに極座標でも表すことができます。この場合、位置は次の一般式で表されます。

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$。

この方程式では、原点は発射体の水平飛距離の中点であり、地面が平坦であれば放物線弧は飛距離内に描かれる。${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$この式は、上記のようにデカルト方程式を変換することによって得られます。${\displaystyle y=r\sin \phi }$そして${\displaystyle x=r\cos \phi }$。

発射体が空中にとどまる合計時間t を飛行時間と呼びます。軌道の y 成分は

${\displaystyle y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

飛行後、発射体は水平軸（x軸）に戻るので、${\displaystyle y=0}$。

${\displaystyle y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}=0}$

これを二次方程式の解の公式を使って解くと、

${\displaystyle t={\frac {v_{0y}\pm {\sqrt {v_{0y}^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

この場合、正の平方根を求めます。発射体が 0 から始まると仮定すると (${\displaystyle y_{0}=0}$）そして${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$すると、次のようになります。

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

なお、ここでは発射体にかかる空気抵抗は無視している。

衝突地点に対する出発点の高さがy₀である場合、飛行時間は次_{のようになります。}

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

上記のように、この式は ( y ₀は 0 ) に簡略化できます。

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}},}$=${\displaystyle {\frac {2v\sin {(45^{\circ })}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

θが45°の場合。

もし${\displaystyle v_{y0}=0}$例えば、ある高さから（垂直）静止状態から落とされた物体の場合${\displaystyle y_{0}}$そして重力下で自由落下すると、飛行時間は次のようになります。

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {2y_{0}}{g}}}}$

この結果は、上記の動画で示されているように、初期の水平速度とは無関係です。

上記の変位の項で示したように、発射体の水平速度と垂直速度は互いに独立しています。

このため、水平速度の変位公式を用いて、目標地点に到達するまでの時間を求めることができます。

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

この式は、空気抵抗を無視した場合、発射体が目標の水平変位に到達するまでに必要な合計時間t を求めるものです。

物体が到達する最高高度は、物体の運動のピークとして知られています。高度の上昇は、${\displaystyle v_{y}=0}$つまり、

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$。

最高到達高度(h)に達するまでの時間：

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$。

これは、放物線における最高高度が根の中央に位置することから、上記の式（飛行時間）と一致します。つまり、発射体は飛行の中間地点で高度hに到達するため、所要時間は半分になります。

発射体の最大高度の垂直変位について：

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

到達可能な最大高さは、θ = 90°の場合に得られます。

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

発射体の位置（x、y）と発射角度（θ）が分かっている場合、次の式でhについて解くことで最高到達高度を求めることができます。

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

最高高度における仰角（φ）は次式で与えられる。

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

水平面上の飛距離dと到達する最大高さhの関係${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$は：

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

投射体の飛距離と最高到達高度は質量に依存しません。したがって、同じ速度と方向で投げられたすべての物体について、飛距離と最高到達高度は等しくなります。投射体の水平飛距離dは、初期の高さ (${\textstyle y=0}$)

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$。

地上に到達するまでの時間：

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$。

水平方向の変位から発射体の最大距離を求める：^{[ 5 ]}

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$、

そこで^{[注3 ]}

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta ).}$

dの最大値は、

${\displaystyle \sin(2\theta )=1,}$

これは必然的に${\textstyle 2\theta =90^{\circ }}$、 または${\textstyle \theta =45^{\circ }}$。

移動した水平距離の合計(d)。^{[ 6 ]}

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

表面が平坦な場合（物体の初期高さがゼロの場合）、移動距離：^{[ 7 ]}

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

したがって、 θが45度のときに最大距離が得られます。その距離は次のとおりです。

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

仕事エネルギー定理によれば、速度の垂直成分は次のようになる。

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$。

これらの式は空気抵抗を無視しており、着陸エリアの高さが均一な0であると仮定しています。

「到達角度」とは、初速度vが与えられた場合に、発射体が距離dを進むために発射されなければならない角度（ θ ）のことである。

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

解決策は2つあります。

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$（浅い軌道）

そしてなぜなら${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$、

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$（急激な軌道）

（0,0）から初速度vで発射し、射程x、高度yの目標に命中させるために必要な発射角度θは以下のとおりです。

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

この方程式の 2 つの根は、2 つの可能な発射角度に対応します。ただし、それらが虚数でない場合、初速度が選択した点 ( x , y ) に到達するのに十分ではありません。この式を使用すると、以下の制約なしに、必要な発射角度を見つけることができます。${\textstyle y=0}$。

また、どの発射角度が可能な限り低い発射速度を可能にするかを問うこともできます。これは、上記の 2 つの解が等しい場合に発生し、平方根記号の下の量がゼロであることを意味します。これは、tan θ = v ^{2 /gx であり、}二次方程式を解く必要があります。${\displaystyle v^{2}}$[ ^{8 ]そして}我々は

^{${\displaystyle v^{2}/g=(2gy\pm g{\sqrt {4y^{2}+4(1x)^{2}}})/2g=y\pm {\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$}

これにより

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

接線がy/xである角度をαとすると、^{[ 9 ]}

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }},}$その逆数：

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}},}$^{[ 10 ]}

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

これは、

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

つまり、発射角度は${\textstyle (\pi /2+\alpha )/2}$目標地点と天頂の中間地点（重力とは逆方向のベクトル）。

発射高度と着地高度が同じ（空気抵抗がない）場合、発射体が描く放物線弧の長さLは、次の式で与えられる。

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

どこ${\displaystyle v_{0}}$は初速度です。${\displaystyle \theta }$発射角度と${\displaystyle g}$は重力による加速度を正の値とする。この式は、初期変位と最終変位（すなわち、0から発射体の水平到達距離まで）の間の高さ距離放物線の弧長積分を評価することによって得られる。

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

飛行時間がtの場合、

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

ストークス抵抗${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$は、空気中での非常に低速の場合にのみ適用され、したがって、発射体の典型的なケースではありません。しかし、線形依存性は${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$の上${\displaystyle v}$非常に単純な運動微分方程式を引き起こす

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

この場合、2 つのデカルト成分は完全に独立しており、したがって解きやすくなります。^{[ 12 ]}ここで、${\displaystyle v_{0}}$、${\displaystyle v_{x}}$そして${\displaystyle v_{y}}$はそれぞれ、初速度、 x方向の速度、 y方向の速度を表すために用いられる。発射体の質量はmで表され、${\displaystyle \mu$ :=k/m} 。導出では、次のケースのみ${\textstyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$が考慮されます。ここでも、発射体は原点（0,0）から発射されます。

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$（１b）

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)(1-e^{-\mu t})}$（３b）

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W{\bigl (}-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})e^{-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})}{\bigr )}\right)}$。

レイノルズ数が約 1000 を超える場合の空気抵抗の最も典型的なケースは、速度の 2 乗に比例する抗力を持つニュートン抗力です。${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$空気中の動粘性は約0.15 ^cm²  / sであるため、これは物体の速度と直径の積が約0.015 ^m² /s以上でなければならないことを意味します。

残念ながら、この場合の運動方程式を解析的に解くことは容易ではありません。そのため、数値解法を検討します。

以下の仮定が置かれています。

• 一定の重力加速度${\textstyle g}$
• 空気抵抗は次の抗力式で表されます。

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

どこ：

• F _Dは抗力です。
• cは抗力係数です。
• ρは空気密度です。
• Aは発射体の断面積です。${\displaystyle \mu =k/m:=}$${\displaystyle c\rho A/(2m)}$${\displaystyle =c\rho /(2\rho _{p}l)}$これを弾道係数の理論/実践と比較してください。