ケプラー問題

古典力学において、ケプラー問題は二体問題の特殊なケースであり、2つの物体は中心力によって相互作用し、その力の強さは物体間の距離の2乗に反比例する。この力は引力または斥力のいずれかである。この問題は、質量、位置、速度が与えられたときに、2つの物体の位置または速度を時間経過とともに求めることである。古典力学を用いると、解は6つの軌道要素を用いたケプラー軌道として表現できる。

ケプラー問題は、惑星運動のケプラーの法則（古典力学の一部であり、惑星の軌道の問題を解決した）を提唱し、それらの法則に従う軌道をもたらす力の種類を研究したヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられました（ケプラーの逆問題と呼ばれています）。^{[ 1 ]}

動径軌道に特化したケプラー問題については、「動径軌道」を参照してください。一般相対性理論は、特に強い重力場において、二体問題に対するより正確な解を提供します。

ケプラー問題の背後にある逆二乗法則は、最も重要な中心力法則です。^{[ 1 ] : 92} ケプラー問題は、ニュートン重力が逆二乗法則に従うため、天体力学において重要です。例としては、惑星の周りを回る衛星、太陽の周りを回る惑星、または互いの周りを回る2つの連星などがあります。ケプラー問題は、静電気のクーロンの法則も逆二乗法則に従うため、2つの荷電粒子の運動においても重要です。

ケプラー問題と単振動子問題は、古典力学における最も基本的な2つの問題である。これらは、あらゆる初期条件の組み合わせに対して閉じた軌道を持つ唯一の2つの問題であり、すなわち、同じ速度で出発点に戻る（ベルトランの定理）。^{[ 1 ]： 92}

ケプラー問題はラプラス・ルンゲ・レンツベクトルも保存するが、これは後に他の相互作用も含むように一般化された。ケプラー問題の解決により、科学者たちは惑星の運動が古典力学とニュートンの万有引力の法則によって完全に説明できることを示すことができた。惑星運動の科学的説明は啓蒙主義の到来に重要な役割を果たした。

ケプラー問題は、ティコ・ブラーエの天体観測の分析によってヨハネス・ケプラーが苦労して導き出した経験的結果から始まる。データを円軌道に当てはめようと70回ほど試みた後、ケプラーは楕円軌道の考えにたどり着いた。彼は最終的に、惑星運動の3つの法則という形で結果をまとめた。^{[ 2 ]}

現在ケプラー問題と呼ばれるものは、アイザック・ニュートンが著書『プリンキピア』の主要部分で初めて論じた。彼の「定理I」は、運動に関する3つの公理または法則のうち最初の2つから始まり、惑星運動に関するケプラーの第2法則へと至る。次にニュートンは「定理II」を証明し、ケプラーの第2法則が成り立つならば、作用する力は2つの物体を結ぶ線に沿っていなければならないことを示す。言い換えれば、ニュートンは今日でいうところの「逆ケプラー問題」を証明した。すなわち、軌道特性から、力が距離の2乗に反比例する必要があるという問題である。^{[ 3 ]： 107}

2つの物体間の中心力Fは、物体間の距離rの2乗に反比例して強くなる。

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

ここでkは定数であり、${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$は、両者を結ぶ線に沿った単位ベクトルを表します。 ^{[ 4 ]} 力は引力（k < 0）または斥力（k > 0）のいずれかになります。対応するスカラーポテンシャルは次のとおりです。

${\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}$

半径の運動方程式${\displaystyle r}$質量が${\displaystyle m}$中心ポテンシャル内で移動${\displaystyle V(r)}$ラグランジュ方程式によって与えられる

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$そして角運動量${\displaystyle L=mr^{2}\omega }$は保存される。例として、左辺の最初の項は円軌道ではゼロであり、加えられた内向きの力は${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$求心力の要件に等しい${\displaystyle mr\omega ^{2}}$予想通り。

Lがゼロでない場合、角運動量の定義により独立変数を次のように変更できます。${\displaystyle t}$に${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$

時間とは無関係な新しい運動方程式を与える

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

最初の項の展開は

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

変数変換を行うと、この方程式は準線形方程式になる。${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$両辺に${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

置換と並べ替え後：

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)}$

重力ポテンシャルや静電ポテンシャルなどの逆二乗法則の場合、スカラーポテンシャルは次のように表すことができます。

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}$

軌道${\displaystyle u(\theta )}$一般式から導き出すことができる

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}}$

その解は定数である${\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}}$プラス単純な正弦波

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]}$

どこ${\displaystyle e}$（その奇抜さ）そして${\displaystyle \theta _{0}}$（位相オフセット）は積分定数です。

これは、原点に焦点を持つ 円錐曲線の一般式です。${\displaystyle e=0}$円に対応します、${\displaystyle e<1}$楕円に対応し、${\displaystyle e=1}$放物線に対応し、${\displaystyle e>1}$双曲線に対応する。離心率${\displaystyle e}$総エネルギーに関連している${\displaystyle E}$（ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルを参照）

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}$

これらの式を比較すると、${\displaystyle E<0}$は楕円に対応する（閉軌道であるすべての解は楕円である）、${\displaystyle E=0}$放物線に対応し、${\displaystyle E>0}$双曲線に対応する。特に、${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$完全な円軌道の場合（中心力は向心力の要件と正確に等しくなり、これにより、与えられた円半径に必要な角速度が決定されます）。

反発力（k  >  0）の場合、 e  >  1 のみが適用されます。