共振

正弦波状の外部力が加わるバネに取り付けられた減衰質量を考えます。ニュートンの第二法則は次のようになります。

ここで、 mは質量、xは質量の平衡点からの変位、F₀_は駆動振幅、ωは駆動角周波数、kはばね定数、cは粘性減衰係数である。これは次の形式で書き直すことができる。

どこ

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$これは、発振器の減衰のない角周波数または固有周波数と呼ばれます。
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$これは減衰比と呼ばれます。

多くの資料では、 ω _0を共振周波数とも呼んでいます。しかし、以下に示すように、変位x ( t ) の振動を解析する場合、共振周波数はω ₀に近いですが、同じではありません。一般に、共振周波数は固有振動数に近いですが、必ずしも同じではありません。^{[ 14 ]}次のセクションの RLC 回路の例では、同じシステムに対する異なる共振周波数の例を示しています。

式（ 2）の一般解は、初期条件に依存する過渡解と、初期条件に依存せず、駆動振幅F ₀、駆動周波数ω、減衰のない角周波数ω ₀、および減衰比ζのみに依存する定常状態解の和である。過渡解は比較的短時間で減衰するため、共振を研究するには定常状態解を考慮すれば十分である。

x ( t )の定常状態解は、誘導位相変化φを伴う駆動力に比例する関数として記述することができる。

どこ${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi .}$

位相値は通常、-180°から0°の間とみなされるため、arctan引数の正の値と負の値の両方に対して位相遅れを表します。

共振は、特定の駆動周波数において、 x ( t )の定常状態振幅が他の駆動周波数における振幅に比べて大きくなる場合に発生します。ばねに取り付けられた質量の場合、共振は物理的には、特定の駆動周波数において質量の振動がばねの平衡位置から大きくずれることに対応します。駆動周波数ωの関数としてx ( t ) の振幅を見ると、振幅は駆動周波数 ω で最大になります。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ωr_はこのシステムの共振周波数です。繰り返しますが、共振周波数は発振器の減衰のない角周波数ω0_とは等しくありません。両者は比例関係にあり、減衰比がゼロの場合は同じになりますが、減衰がゼロでない場合は同じ周波数にはなりません。図に示すように、共振は共振周波数付近の他の周波数（ω0_を含む）でも発生する可能性がありますが、最大応答は共振周波数で得られます。

また、ω _rが実数かつ非ゼロとなるのは、${\textstyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$したがって、このシステムは、調和振動子が著しく減衰不足の場合にのみ共振します。減衰比が非常に小さく、駆動周波数が共振周波数に近いシステムでは、定常状態の振動が非常に大きくなる可能性があります。

振り子

運動方程式がばね上の質量の例と正確には一致しない、他の駆動減衰調和振動子の場合、共振周波数は $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}},}$$しかし、 ω ₀とζ の定義はシステムの物理に基づいて変化します。長さℓで変位角θが小さい振り子の場合、式 ( 1 ) は次のようになります。 $${\displaystyle m\ell {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-mg\theta -c\ell {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$$

そのため

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}},}$
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2m}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$

抵抗Rの抵抗器、インダクタンスLのインダクタ、および容量Cのコンデンサが電流i ( t )と直列に接続され、電圧vin ( t )_の電圧源によって駆動される回路を考えます。回路全体の電圧降下は

上記のばね上の質量の例のようにこの方程式の候補解を分析するのではなく、このセクションではこの回路の周波数応答を分析します。式（4 ）のラプラス変換を取ると、 $${\displaystyle sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{\text{in}}(s),}$$ ここで、I(s)とVin(s )はそれぞれ電流と_入力電圧のラプラス変換であり、sはラプラス領域における 複素周波数パラメータである。項を整理すると、$${\displaystyle I(s)={\frac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

コンデンサにかかる電圧

直列接続されたRLC回路では、出力電圧を測定する場所に関していくつかの選択肢があります。ここで、関心のある出力電圧がコンデンサの両端の電圧降下であると仮定します。上記のように、ラプラス領域ではこの電圧は次のようになります。 $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)}$$ または $${\displaystyle V_{\text{out}}={\frac {1}{LC(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}})}}V_{\text{in}}(s).}$$

この回路の固有振動数と減衰比を定義します。 $${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$$$${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}.}$$

出力電圧と入力電圧の比率は次のようになります $${\displaystyle H(s)\triangleq {\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}}$$

H ( s )は入力電圧と出力電圧間の伝達関数です。この伝達関数には2つの極（伝達関数の分母にある多項式の根）があり、

また、伝達関数の分子には、多項式の根である零点はありません。さらに、${\displaystyle \zeta \leq 1}$これらの極の大きさは、固有振動数ω ₀であり、${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$調和振動子の例における共鳴の条件では、極は実軸よりも虚軸に近い位置にあります。

虚軸s = iωに沿ってH ( s )を評価すると、伝達関数はこの回路の周波数応答を表します。同様に、周波数応答は、ラプラス変換の代わりに式 ( 4 ) のフーリエ変換を行うことによって解析できます。この伝達関数も複素数であり、ゲインと位相として記述できます。 $${\displaystyle H(i\omega )=G(\omega )e^{i\Phi (\omega )}.}$$

周波数ωの正弦波入力電圧は、G ( ω )でスケーリングされ、位相シフトΦ ( ω )を持つ同じ周波数の出力電圧をもたらします。ゲインと位相は、ボード線図上に周波数に対してプロットできます。RLC回路のコンデンサ電圧の場合、伝達関数H ( iω )のゲインは次のようになります。

ここでのゲインと式（3）の振幅との類似性に注目してください。ここでも、ゲインは共振周波数で最大になります。$${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ここでいう共振とは、物理的には、コンデンサにかかる電圧の定常状態における振動の振幅が、他の駆動周波数における振幅と比較して比較的大きいことに相当する。

次に、複数の入力と出力を持つ任意の線形システムを考えてみましょう。たとえば、状態空間表現では、3つの入力と2つの出力を持つ3次線形時不変システムは次のように記述できます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\{\dot {x}}_{3}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+B{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{bmatrix}}=C{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+D{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$ ここで、u _i ( t ) は入力、x _i (t ) は状態変数、 y _i ( t ) は出力であり、A、B、C、Dは変数間のダイナミクスを記述する行列です。

このシステムには、さまざまな入力と出力間の伝達関数を要素とする伝達関数行列があります。たとえば、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}(s)\\H_{21}(s)&H_{22}(s)&H_{23}(s)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\U_{3}(s)\end{bmatrix}}.}$$

各H _ij ( s ) は、入力の 1 つと出力の 1 つをリンクするスカラー伝達関数です。上記の RLC 回路の例では、入力電圧は 1 つで、コンデンサの両端、インダクタの両端、抵抗の両端、およびコンデンサとインダクタを直列に接続した両端の 4 つの可能な出力電圧が示されており、それぞれに独自の伝達関数があります。RLC 回路がこれら 4 つの出力電圧すべてを測定するように設定されている場合、そのシステムは、単一の入力と 4 つの出力のそれぞれをリンクする 4×1 の伝達関数行列を持つことになります。

虚軸に沿って評価すると、各H _ij ( iω ) はゲインと位相シフトとして記述でき、 $${\displaystyle H_{ij}(i\omega )=G_{ij}(\omega )e^{i\Phi _{ij}(\omega )}.}$$

システムが安定していると仮定すると、特定の周波数におけるゲインのピークは、その伝達関数の入力と出力の間の共振に対応します。

各伝達関数H _ij ( s ) は、分子と分母がsの多項式である分数として表すこともできます。 $${\displaystyle H_{ij}(s)={\frac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}}.}$$

分子の複素根は零点と呼ばれ、分母の複素根は極と呼ばれます。安定なシステムの場合、複素平面上のこれらの極と零点の位置は、システムが共振または反共振するかどうか、またどの周波数で共振するかをある程度示します。特に、虚数成分を持つ任意の安定または準安定な複素共役極対は、固有振動数と減衰比を用いて次のように表すことができます。 $${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$$ 式（５）のように。その極の固有振動数ω₀_は複素平面上の極の位置の大きさであり、その極の減衰比はその振動がどれだけ速く減衰するかを決定します。一般に、^{[ 14 ]}

• 虚軸付近にある複素共役極対は、その極の固有振動数付近で周波数応答にピークまたは共振をもたらします。極対が虚軸上にある場合、その周波数におけるゲインは無限大となります。
• 虚軸付近にある複素共役零点のペアは、零点の周波数（すなわち、零点の振幅に等しい周波数）付近の周波数応答にノッチまたは反共振をもたらします。零点のペアが虚軸上にある場合、その周波数におけるゲインはゼロになります。

RLC回路の例では、極と共振の関係を示す最初の一般化は式（5 ）で観察されます。零点と反共振の関係を示す2番目の一般化は式（ 7 ）で観察されます。調和振動子、RLC回路のコンデンサ電圧、およびRLC回路のインダクタ電圧の例では、「虚軸付近の極」は著しく減衰不足の状態ζ < 1/に対応します。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$。

一定の長さの弦を特定の周波数で駆動すると、同じ周波数の波が弦に沿って伝播します。波は弦の両端で反射し、最終的には両方向に波が伝播する定常状態に達します。波形は波の重ね合わせです。 ^{[ 15 ]}

特定の周波数では、定常状態の波形は弦に沿って伝わらないように見える。節と呼ばれる固定位置では、弦は決して変位しない。節の間では弦は振動し、節のちょうど中間にある腹と呼ばれる位置では、振動の振幅が最大になる。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

長さの文字列の場合${\displaystyle L}$固定端を持つ変位${\displaystyle y(x,t)}$弦に垂直な${\displaystyle x}$時刻における軸${\displaystyle t}$[ ^{15 ]​}$${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin(kx)\cos(2\pi ft),}$$

どこ

• ${\displaystyle y_{\text{max}}}$は、定常波を形成するために干渉する左向きおよび右向きの進行波の振幅です。
• ${\displaystyle k}$波数、​
• ${\displaystyle f}$は周波数です。

共鳴して定常波を形成する周波数は弦の長さに関係しており、次のようになります。^{[ 19 ] [ 17 ]}$${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$$$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$$

どこ${\displaystyle v}$は波の速度であり、整数は${\displaystyle n}$は異なるモードまたは高調波を表します。n = 1の定常波は基本周波数で振動し、波長は弦の長さの 2 倍になります。可能な振動モードは高調波列を形成します。^{[ 19 ]}

機械共振とは、機械システムがその振動周波数がシステムの固有振動数と一致するときに、他の周波数の場合よりも多くのエネルギーを吸収する傾向のことです。これは、橋、建物、列車、航空機など、構造が不適切に構築された構造物において、激しい揺れや、場合によっては壊滅的な故障を引き起こす可能性があります。設計を行う際、エンジニアは、構成部品の機械共振周波数が、モーターやその他の振動部品の駆動振動周波数と一致しないようにする必要があります。これは「共振災害」 として知られる現象です。

共振災害の回避は、あらゆる建物、タワー、橋梁の建設プロジェクトにおいて重要な課題です。対策として、共振周波数を吸収し、吸収したエネルギーを散逸させる防振装置を設置することができます。台北101ビルは、共振を打ち消すために、 660トン（730ショートトン）の振り子（同調質量ダンパー）を使用しています。さらに、この構造物は、通常発生しない周波数で共振するように設計されています。地震地帯の建物は、想定される地盤振動の周波数を考慮して建設されることがよくあります。加えて、エンジンを搭載した構造物を設計するエンジニアは、構成部品の機械的共振周波数が、モーターやその他の強く振動する部品の駆動振動周波数と一致しないようにする必要があります。

時計は、テンプ、振り子、または水晶における機械的な共振によって時間を刻みます。

ランナーの歩調は、下肢に蓄えられた弾性エネルギーとランナーの質量との共鳴により、エネルギー的に有利であると仮説が立てられている。^{[ 20 ]}

音響共鳴は、人間の聴覚の周波数範囲全体にわたる機械的振動、つまり音に関係する機械的共鳴の一分野です。人間の聴覚は通常、約 20 Hzから 20,000 Hz (20 kHz ) の周波数範囲に限定されています。^{[ 21 ]} 多くの物体や材料はこの範囲内の共鳴周波数を持つ共鳴器として機能し、叩かれると機械的に振動し、周囲の空気を押して音波を生成します。これが、私たちが聞く多くの打楽器音の発生源です。   

音響共鳴は楽器製作者にとって重要な考慮事項である。なぜなら、ほとんどのアコースティック楽器は共鳴器を使用しており、例えばバイオリンの弦と胴体、フルートの管の長さ、ドラムの膜の形状と張力などが挙げられるからである。

機械的共鳴と同様に、音響共鳴も共鳴時に物体の壊滅的な破壊を引き起こす可能性がある。その典型的な例は、ワイングラスの正確な共鳴周波数の音でグラスを割ることだが、これは実際には難しい。^{[ 22 ]}

電気共振は、直列回路では回路のインピーダンスが最小値となるとき、並列回路ではインピーダンスが最大値となるとき（通常は伝達関数の絶対値が最大となるとき）、特定の共振周波数で電気回路において発生します。回路における共振は、テレビ、携帯電話、ラジオなどの無線通信の送受信に利用されています。

光共振器（光レゾネーターとも呼ばれる）は、光波の定在波共振器を形成するミラーの配置です。光共振器はレーザーの主要構成要素であり、利得媒体を取り囲み、レーザー光のフィードバックを提供します。また、光パラメトリック発振器や一部の干渉計にも使用されます。共振器内に閉じ込められた光は複数回反射し、特定の共振周波数で定在波を生成します。生成される定在波パターンは「モード」と呼ばれます。縦モードは周波数のみが異なりますが、横モードは周波数が異なり、ビームの断面全体で強度パターンが異なります。リング共振器やウィスパリングギャラリーは、定在波を形成しない光共振器の例です。

共振器の種類は、2枚のミラーの焦点距離とミラー間の距離によって区別されます。平面ミラーは、正確な位置合わせが難しいため、あまり使用されません。ビームが安定するように、つまり反射のたびにビームサイズが大きくなり続けないように、形状（共振器の種類）を選択する必要があります。共振器の種類は、ビームウエストが最小であることや、キャビティ内に焦点がないこと（したがって、その点で強い光が発生しないこと）など、他の基準を満たすようにも設計されます。

光共振器は非常に大きなQ値を持つように設計されている。^{[ 23 ]}ビームは減衰が少なく多数回反射されるため、ビームの周波数線幅はレーザーの周波数に比べて小さい。

その他の光共鳴としては、導波モード共鳴と表面プラズモン共鳴があり、これらは共鳴時に異常反射と高いエバネッセント場をもたらします。この場合、共鳴モードは導波路の導波モード、または誘電体と金属の界面の表面プラズモンモードです。これらのモードは通常、サブ波長グレーティングによって励起されます。

天体力学において、軌道共鳴とは、 2つの軌道上の天体が互いに規則的かつ周期的な重力の影響を及ぼし合う現象であり、通常はそれらの軌道周期が2つの小さな整数の比で関連しているために起こります。軌道共鳴は、天体間の相互重力の影響を大きく増幅させます。ほとんどの場合、これは不安定な相互作用を引き起こし、天体は運動量を交換し、共鳴がなくなるまで軌道を変化させます。しかし、状況によっては、共鳴系が安定して自己修正的になり、天体が共鳴状態を維持することもあります。例としては、木星の衛星ガニメデ、エウロパ、イオの1:2:4共鳴や、冥王星と海王星の2:3共鳴が挙げられます。土星の内側の衛星との不安定な共鳴は、土星の環に隙間を生じさせます。 1:1共鳴（軌道半径が類似した天体間の共鳴）という特殊なケースでは、太陽系の大きな天体が軌道周辺のほぼすべての天体を押し出すことで、その周辺を一掃します。この効果は、現在の惑星の定義に用いられています。

核磁気共鳴（NMR）とは、外部磁場を印加した状態で原子核の特定の量子力学的磁気特性を観測する物理的な共鳴現象のことです。多くの科学的手法では、NMR分光法を用いて分子物理学、結晶、非結晶性物質の研究にNMR現象が利用されています。また、 NMRは磁気共鳴画像法（ MRI ）などの高度な医療画像診断技術にも日常的に用いられています。

奇数個の核子を含むすべての原子核は、固有の角運動量と磁気モーメントを持つ。NMRの重要な特徴は、特定の物質の共鳴周波数が印加磁場の強度に正比例することである。イメージング技術ではこの特徴が利用されている。試料を不均一な磁場に置くと、試料の原子核の共鳴周波数は磁場内の位置によって変化する。したがって、共鳴周波数によって粒子の位置を非常に正確に特定することができる。

電子常磁性共鳴（ ESR）は、NMRに似た分光法ですが、不対電子を利用します。この手法を適用できる物質は、不対スピンを持ち、かつ常磁性である必要があるため、非常に限られています。

メスバウアー効果とは、固体状態の原子がガンマ線光子を共鳴的に、かつ反跳を伴わずに放出および吸収する現象である。

素粒子物理学における共鳴は、量子力学や量子場理論のレベルでは古典物理学と同様の状況で現れる。共鳴は不安定な粒子と考えることもでき、 Γが粒子の崩壊率である場合、この記事の普遍共鳴曲線のセクションの式が適用される。${\displaystyle \omega _{0}}$は粒子の質量Mです。この場合、式は粒子のプロパゲーターから得られ、その質量は複素数M  + iΓに置き換えられます。この式は、光学定理によって粒子の崩壊率とさらに関連付けられます。