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『空間と時間の曲率、幾何解析入門』は、数学と物理学の学部生向けの微分幾何学の教科書で、一般相対性理論への応用を中心に扱っています。これは、イヴァ・スタヴロフが2013年のパークシティ数学研究所とその後のルイス＆クラーク大学で教えたコースに基づいて執筆したもので、 [ 1 ] [ 2 ] 2020年にアメリカ数学会の学生数学ライブラリーシリーズの一部として出版されました。 [ 1 ]
空間と時間の曲率は、全 5 章、合計 14 節から構成され、各節は 1 回の講義に相当する内容を扱っています。[ 1 ]本書では、ベルンハルト・リーマンらの原典を参照しながら、数学的および歴史的な観点からトピックを取り上げています。 [ 3 ]ただし、抽象多様体や接ベクトルなど、従来微分幾何学の講義で扱われてきた微分トポロジーのトピックは意図的に避けています。[ 2 ]その代わりに、座標変換に対して不変な量を強調しながら、座標ベースの幾何学を通してこの主題にアプローチしています。本書の目標は、学生がアインシュタインの数学を理解するための近道を提供することと、曲率を形状と幾何学を記述する中心的な方法として促進することの両方です。[ 4 ]
第 1 章では、リーマン多様体を抽象空間ではなくユークリッド空間の埋め込み部分集合として定義します。クリストッフェル記号を使用して、測地線を解とする微分方程式を定式化し、[ 1 ]コズル公式とエネルギー汎関数について説明します。[ 3 ]例として、ユークリッド計量、球面幾何学、射影幾何学、双曲平面のポアンカレ半平面モデルなどがあります。[ 1 ] [ 2 ]第 2 章には、ベクトル場、勾配、発散、[ 2 ]方向微分、テンソル計算、[ 1 ]リー括弧、[ 3 ]グリーン恒等式、最大値原理、レヴィ・チヴィタ接続が含まれます。[ 2 ]曲率とリーマン曲率テンソルについての議論が始まり、第 3 章[ 1 ] [ 3 ]「本書の核心」[ 4 ]に続きます。そのトピックには、ヤコビ場、リッチ曲率、スカラー曲率、[ 2 ]マイヤーズの定理、ビショップ・グロモフの不等式、平行移動が含まれます。[ 4 ]
これらの数学的予備知識の後、最後の 2 章はより物理的で、第 4 章では特殊相対性理論、一般相対性理論、シュワルツシルト計量[ 1 ]、およびクラスカル・セケレス座標[ 3 ]について扱います。最終章のトピックには、幾何学的解析、電荷分布のポテンシャル場のポアソン方程式、および一般相対性理論における質量が含まれます[ 1 ]。
教科書としてはよくあることだが、『空間と時間の曲率』には、その内容の範囲を広げ、学部生向けの教科書として適した演習問題が掲載されている。微分幾何学に関する学部生向けの教科書は複数あるが、それらは一般的に抽象的な数学的視点からこの主題を扱っており、『空間と時間の曲率』の出版当時、この内容に基づく授業はやや時代遅れになっていた。本書は、物理学に最も関連性の高い部分に対してより直接的なアプローチを取っている点で珍しい。しかし、本書は自己完結的な方法でこの内容を扱おうとしているものの、書評家のマーク・フナセックは、一般的な数学の学生には難しすぎる可能性があり、おそらく優等生や「数学的に高度な物理学専攻の学生」向けに取っておく方が良いだろうと警告している。彼はまた、本書を他の分野の研究者にとってこの分野への入門書として勧めている。[ 1 ]
書評家のハンス＝ベルト・ラデマッハーは、本書を「優れた動機と洞察力」を備えた「注目すべき本」と評しているが、この教材を教える主要な基礎としてではなく、標準的な教科書やコースの補足として推奨している。[ 2 ]また、書評家のジャスティン・コルヴィーノは、いくつかの細部に難点があるとしながらも、教員の指導があれば、本書は自主学習や上級トピックのコースにも適しており、アインシュタインの理論の背後にある数学を学ぶことに熱心な学生にとって「必読書」となるだろうと示唆している。[ 4 ]