フラクシオン

フラクションとは、与えられた点におけるフルエント（時間とともに変化する量または関数）の瞬間的な変化率、または勾配のことである。 ^[1]フラクションは、時間微分（時間に関する微分）の形式を説明するためにアイザック・ニュートンによって導入された。ニュートンは1665年にこの概念を導入し、数学論文『フラクション法』で詳細を説明した。^{[2]フラクションとフルエントは、ニュートンの初期の}微積分学を構成していた。^[3]

流数論はライプニッツ・ニュートン微積分論争の中心であり、ニュートンはゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツに流数論を説明する手紙を送ったが、疑念から暗号で言葉を隠していた。彼は次のように書いている。^[4]

今は流動性の説明を続けることはできないので、次のように隠しておくことにしました: 6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx。

この意味不明な文字列は、実際にはラテン語のフレーズ「Data æqvatione qvotcvnqve flventes qvantitatesvolvente, flvxiones invenire: et vice versa 」のハッシュコード（各文字の頻度を示す）であり、「任意の数の流量からなる方程式が与えられた場合、フラックスを求める：およびその逆」を意味します。^[5]

流束⁠ ⁠ が${\displaystyle y}$( ⁠ ⁠は時間)として定義されている場合、 における流束 (導関数) は次のようになります。 ${\displaystyle y=t^{2}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t=2}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {(2+o)^{2}-2^{2}}{(2+o)-2}}={\frac {4+4o+o^{2}-4}{2+o-2}}={\frac {4o+o^{2}}{o}}}$

ここで⁠ ⁠ は${\displaystyle o}$無限に小さい時間です。 ^[6]したがって、項⁠ ⁠${\displaystyle o^{2}}$は2次の無限に小さい項であり、ニュートンによれば、 ⁠ ⁠ の1次の無限に小さいことと比較して、 ⁠ ⁠ の2次の無限に小さいため、 ⁠ ⁠ を無視することができます。[ 7 ]${\displaystyle o^{2}}$したがって、^最終的な方程式は次のようになります。 ${\displaystyle o}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {4o}{o}}=4}$

彼は、フラックスは物体の動きの結果であると述べて、 ⁠ ⁠${\displaystyle o}$をゼロ以外の量として使用することを正当化しました。

当時の著名な哲学者、ジョージ・バークリー司教は、 1734年に出版されたエッセイ『アナリスト』^{の中で、ニュートンの流数法を非難した。 [8]バークリーは、}無限小を使用しているため、それが正確であると信じることを拒否した。彼は、無限小を無視できるとは思わず、もしそれがゼロであれば、結果はゼロ除算になると指摘した。バークリーは、無限小を「消えた量の亡霊」と呼んだが、この発言は当時の数学者を動揺させ、最終的には微積分学で無限小が使われなくなることにつながった。 ${\displaystyle o}$

ニュートンは晩年、⁠ ⁠を${\displaystyle o}$無限に小さいと解釈し直し、極限の概念に似た定義を用いて、 ⁠ ⁠ をゼロに近づくと定義することを好んだ。^[9]彼は、これによって流数表現が安全な状態に戻ったと信じた。この頃には、ライプニッツの導関数（および彼の表記法）がニュートンの流数表現と流数表現にほぼ取って代わり、現在でも使用されている。

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