不完全な証明のリスト

このページでは、不完全または誤った数学的証明の注目すべき例を紹介します。これらのほとんどは、長年にわたり完全または正しいものとして受け入れられていましたが、後に欠陥や誤りがあることが判明しました。完全な証明が後に発見された例と、主張された結果が誤りであったことが判明した例の両方があります。

• ユークリッドの原論。ユークリッドの証明は基本的に正しいが、厳密に言えば、交点の存在など、暗黙のうちにいくつかの仮定を使用しているため、時々欠落している。1899年にダヴィッド・ヒルベルトは、ヒルベルトの公理と呼ばれる、ユークリッド幾何学の完全な（2次）公理セットを与え、1926年から1959年の間にタルスキは、タルスキの公理と呼ばれる、完全な1次公理セットを与えた。
• 等周不等式。3次元の場合、表面積に対して最大の体積を囲む形状は球体であると述べている。これはアルキメデスによって定式化されたが、19世紀にヘルマン・シュヴァルツによって厳密に証明されるまでは未だに証明されていなかった。
• 無限小。18世紀には微積分において無限小が広く用いられていたが、それらは厳密には定義されていなかった。微積分は19世紀に確固たる基礎の上に築かれ、20世紀にはロビンソンが非標準解析を導入することで、無限小を厳密な基礎の上に置いた。
• 代数学の基本定理（歴史を参照）。18世紀には、ダランベール（1746年）、オイラー（1749年）、ド・フォンセネックス（1759年）、ラグランジュ（1772年）、ラプラス（1795年）、ウッド（1798年）、ガウス（1799年）など、多くの不完全または誤った証明が試みられた。最初の厳密な証明は、1806年にアルガンによって発表された。
• 等差数列に関するディリクレの定理。1808年、ルジャンドルはディリクレの定理の証明を試みたが、1859年にデュプレが指摘したように、ルジャンドルが用いた補題の一つは誤りである。ディリクレは1837年に完全な証明を与えた。
• クロネッカー（1853年）とウェーバー（1886年）によるクロネッカー＝ウェーバーの定理の証明には、いずれも欠陥があった。最初の完全な証明は、1896年にヒルベルトによって与えられた。
• 1879年、アルフレッド・ケンペは四色定理の証明とされるものを発表したが、その証明の妥当性はパーシー・ヒーウッドによって反駁されるまで11年間受け入れられていた。ピーター・ガスリー・テイトは1880年に別の誤った証明を発表したが、それは1891年にジュリアス・ペーターゼンによって誤りであることが示された。しかし、ケンペの証明は、より弱い五色定理を示すには十分であった。四色定理は最終的に1976年にケネス・アッペルとヴォルフガング・ハーケンによって証明された。 ^{[ 2 ]}
• シュレーダー・ベルンシュタインの定理。1896年にシュレーダーは証明の概略を発表したが^{[ 3 ]} 、 1911年にアルヴィン・ラインホルト・コルセルトによって誤りであることが示された^{[ 4 ]}（シュレーダーによって確認された）。^{[ 5 ] [ 6 ]}
• フェルマーの最終定理。最初の証明は1993年6月にアンドリュー・ワイルズによって発表されたが、同年9月に誤りがあることが判明した。^{[ 7 ]}ワイルズはその後、1995年に修正された証明を発表した。 ^{[ 8 ]}
• ジョルダン曲線定理。1887年にジョルダンが行ったこの定理の証明に欠陥があるかどうかについては、これまで議論が続いてきた。 1905年にオズワルド・ヴェブレンはジョルダンの証明は不完全だと主張したが、2007年にヘイルズは 欠陥は軽微であり、ジョルダンの証明は本質的に完全であると述べた。
• 1905年、ルベーグはベール関数によって暗黙的に定義される関数はベール関数であるという（正しい）結果を証明しようと試みたが、彼の証明はボレル集合の射影がボレル集合であるという誤った仮定に基づいていた。ススリンはこの誤りを指摘し、それをきっかけに解析集合をボレル集合の連続像として定義することを思いついた。
• デーンの補題。デーンは1910年に証明を試みたが、クネーザーが1929年に欠陥を発見した。最終的に1956年にクリストス・パパキリアコプロスによって証明された。
• 平面多項式ベクトル場の極限サイクルの数が有限であるかどうかに関するヒルベルトの第16問題。アンリ・デュラックは1923年にこの問題の部分的な解を発表したが、1980年頃にエカルとイリヤシェンコが独立に重大な欠陥を発見し、1991年頃にそれを修正した。^{[ 9 ]}
• 1929年、ラザール・リュステルニクとレフ・シュニレルマンは3つの測地線の定理の証明を発表したが、後にその証明に欠陥があることが判明した。その証明は、約50年後にヴェルナー・バルマンによって完成された。
• リトルウッド＝リチャードソン則。ロビンソンは1938年に不完全な証明を発表したが、その欠陥は長年気づかれなかった。最初の完全な証明は、 1977年にマルセル＝ポール・シュッツェンベルガー、1974年にトーマスによって与えられた。
• 虚二次体の類数。1952年、ヒーグナーはこの問題の解を発表した。彼の論文には欠陥があったため、完全な証明とは認められず、最初の完全な証明は1967年頃にベイカーとスタークによって与えられた。1969年、スタークはヒーグナーの論文の欠陥をどのように埋めるかを示した。
• 1954年、イゴール・シャファレビッチは、すべての有限可解群は有理数体上のガロア群であるという証明を発表した。しかし、シュミットは素数2のところで議論に欠陥があることを指摘し、シャファレビッチは1989年にそれを修正した。
• ニールセン実現問題。クラベッツは1959年に、タイヒミュラー空間が負の曲率を持つことを最初に示してこの問題を解決したと主張したが、1974年にマスールはそれが負の曲率を持たないことを示した。ニールセン実現問題は最終的に1980年にケルクホフによって解決された。
• 山辺問題。山辺は1960年に解法を主張したが、トルーディンガーは1968年に欠陥を発見し、完全な証明は1984年まで与えられなかった。
• 関数体に関するモルデル予想。マニンは1963年に証明を発表したが、コールマン（1990）は証明の欠陥を発見し、修正した。
• 1973年、ブリットンはバーンサイド問題の解法を試み、282ページに及ぶ論文を発表した。彼の証明では、いくつかの不等式を満たすパラメータの集合が存在すると仮定していたが、アディアンはこれらの不等式が矛盾していることを指摘した。ノビコフとアディアンは、1968年頃に既に正しい解法を見つけていた。
• 有限単純群の分類。1983年、ゴレンシュタインは分類の証明が完了したと発表したが、準単純群の分類の証明の状況については誤った情報を得ており、その証明には重大な欠陥があった。この場合の完全な証明は、 2004年にアシュバッハーとスミスによって発表された。
• 1986年、スペンサー・ブロックは「代数的サイクルと高次K理論」という論文を発表し、モチーフコホモロジーの前身となる高次チャウ群を導入した。この論文では誤った移動補題が用いられており、後にその補題は30ページに及ぶ複雑な議論に置き換えられたが、「それが正しいと認められるまでには何年もかかった」。^{[ 1 ]}
• ケプラー予想。1993年にHsiangが不完全な証明を発表した。1998年にはHalesが長時間のコンピュータ計算に基づく証明を発表した。

• 1759年にオイラーは、3列のチェス盤には閉じたナイトの巡回ルートは存在しないと主張したが、1917年にエルネスト・ベルゴルトは3×10と3×12の盤で巡回ルートを発見した。^{[ 10 ]}
• オイラーのギリシャ・ラテン方陣予想。1780年代、オイラーは、任意の奇偶数n ≡ 2 (mod 4) に対して、そのような方陣は存在しないと予想した。1959年、RC BoseとSS Shrikhandeは、位数22の反例を構築した。その後、ET Parkerは、 1時間のコンピュータ検索を用いて位数10の反例を発見した。最終的に、Parker、Bose、Shrikhandeは、 n ≥ 10の場合すべてにおいて、この予想が誤りであることを示した。
• 1798年にAMルジャンドルは、6は2つの有理数の立方数の和ではないと主張したが、^{[ 11 ]} 1865年にラメが指摘したように、6  =  (37/21) ³  +  (17/21) ³なので、これは誤りである。
• 1803年、ジャン・フランチェスコ・マルファッティは、ある特定の配置の3つの円が直角三角形の内側の最大面積を覆うことを証明したと主張した。しかし、そのために彼は円の配置に関していくつかの不当な仮定を置いていた。1930年には、異なる配置の円の方がより大きな面積を覆うことができることが示され、1967年にはマルファッティの配置は決して最適ではなかったことが明らかになった。マルファッティの円を参照のこと。
• 1806年、アンドレ＝マリー・アンペールは、連続関数はほとんどの点で微分可能であることを証明したと主張した（ただし、関数の正確な定義を与えていないため、彼が何を主張していたのかは完全には明らかではない）。しかし、1872年にワイエルシュトラスは、どこにも微分できない連続関数の例を示した。それがワイエルシュトラス関数である。
• 交点理論。1848年、シュタイナーは与えられた円錐曲線5に接する円錐曲線の数は7776  =  6 ⁵であると主張したが、後にこれが誤りであることに気づいた。正しい数3264は、1865年にベルナーによって、1859年頃にエルネスト・ド・ジョンキエールによって、そして特性理論を用いて1864年にシャールによって発見された。しかし、これらの結果は、古典的な交点理論における他の多くの結果と同様に、1978年頃のフルトンとマクファーソンの研究まで完全な証明が与えられていなかったようである。
• ディリクレの原理。これは1851年にリーマンによって用いられたが、1870年にワイエルシュトラスがこの原理のあるバージョンに対する反例を発見し、1900年にヒルベルトが正しいバージョンを提唱し証明した。
• ケイリー（1878 ）は、位数6の異なるグループが3つあると誤って主張した。この間違いは奇妙である。なぜなら、それ以前の1854年の論文では、そのようなグループは2つしかないと正しく述べていたからである。 
• 1885年、エフグラフ・フェドロフは合同な菱形面を持つ凸多面体を分類したが、1つのケースを見落としていた。1960年、スタンコ・ビリンスキーはビリンスキー十二面体（1752年の発表以降忘れられていた）を再発見し、この形状を追加することで分類が完全になることを証明した。^{[ 12 ]}
• ロンスキアン。1887年、マンシオンは教科書の中で、ある関数のロンスキアンが至るところでゼロになるならば、その関数は線形従属であると主張した。1889年、ペアノは反例としてx ²とx | x | を指摘した。関数が解析的であれば、結果は正しい。
• ヴァーレン（1891 ）は、3次元射影空間における代数曲線の例を発表したが、それは3つの多項式の零点として定義できなかった。しかし、1941年にペロンはヴァーレンの曲線を定義する3つの方程式を発見した。1961年にクネーザーは、射影3次元空間における任意の代数曲線は3つの多項式の零点として与えられることを示した。^{[ 13 ]} 
• 1898年、ミラーはマチュー群M24_が存在しないことを証明したと誤って主張する論文を発表したが、1900年には自身の証明が間違っていたことを指摘した。
• リトルは1900年に、縮約結び目図のねじれは不変量であると主張した。しかし、1974年にペルコは、ペルコ対と呼ばれる反例を発見した。これは、長年表の中で別個のものとして記載されてきた2つの結び目だが、実際には同じものである。
• ヒルベルトの21番目の問題。1908年にプレメリは任意のモノドロミー群を持つフックス微分方程式の存在を示したと主張したが、1989年にボリブルフが反例を発見した。
• 1925年、アッカーマンは弱い体系を用いて解析学のあるバージョンの無矛盾性を証明できることを示す論文を発表したが、数年後、フォン・ノイマンはそこに明らかな誤りがあることを発見した。ゲーデルの不完全性定理は、より弱い体系を用いて解析学の無矛盾性を証明することは不可能であることを示した。
• 位数64の群。1930年にミラーは位数64の群が294個あると主張する論文を発表した。 1964年にホールとシニアは正しい数が267であることを示した。
• クルト・ゲーデルは1933年に、文献で[ ∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , all , (0) ]として知られるある種の一階算術の文の真偽が決定可能であることを証明した。つまり、その形式の文が真であるかどうかを正しく判定する方法が存在するということである。その論文の最後の文で、彼は同じ証明が、等号述語を含む式も含むより大きなクラス [ ∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , all , (0) ] ₌の決定可能性にも有効であると主張した。しかし、1960年代半ばに、スタール・アンデラーはゲーデルの証明がより大きなクラスには適用できないことを示し、1982年にウォーレン・ゴールドファーブは、より大きなクラスの式の妥当性は実際には決定不可能であることを示した。^{[ 14 ] [ 15 ]}    
• グルンヴァルト＝ワンの定理。ヴィルヘルム・グルンヴァルトは1933年に誤った定理の誤った証明を発表し、その後ジョージ・ワプルズも別の誤った証明を発表した。王祥浩は1948年に反例を発見し、1950年に定理の修正版を発表した。
• 1934年にセヴェリは、代数曲面上のサイクルの有理同値類の空間は有限次元であると主張したが、マンフォード（1968）は、正の幾何学的種数を持つ曲面ではこれが誤りであることを示した。
• 20世紀前半の代数幾何学における多くの例の1つとして、セヴェリ（1946）は、 3次元射影空間における次数nの曲面は最大で( ^{n +} ₂₃ )−4個のノードを持つと主張したが、B.セグレはこれが誤りであることを指摘した。例えば、次数6の場合、ノードの最大数は65であり、これはバルトの六次曲面で達成され、セヴェリが主張した最大数52よりも多い。
• ロクリン不変量。ロクリンは1951年に、球面のホモトピー群の3番目の安定ステムの位数が12であると誤って主張した。1952年に彼は自分の間違いに気づき、実際には位数24の巡回群であることを発見した。この違いは、3次元および4次元多様体の理論における基本的なツールであるロクリン不変量の存在につながるため、非常に重要である。
• 1961年、ヤン＝エリック・ルースは、ある一般的な条件下で逆極限関手の最初の導来関手が消滅するという誤った定理を発表した。 ^{[ 16 ]}しかし、2002年にアムノン・ニーマンが反例を構築した。^{[ 17 ]}ルースは2006年に、圏が生成元集合を持つという仮定を追加すれば定理が成り立つことを示した。^{[ 18 ]}
• マチュー群 M ₂₂のシュール乗数は、複数回計算が間違っていたことで特に有名です。BurgoyneとFong (1966)は最初にその位数が 3 であると主張し、1968 年の訂正では位数が 6 であると主張しました。実際の位数は (現在では) 12 です。このため、Jankoの論文「J4上の部分群としてM _{24と M 22}の完全被覆群を持つ位数 86,775,570,046,077,562,880 の新しい有限単純群」のタイトルに誤りが生じました。完全被覆群は当時認識されていたよりも大きいため、完全被覆群を部分群として持つことはありません。
• 1968年にトンプソンが発表したN群の分類に関する最初の記述では、誤ってTits群が省略されていたが、彼はすぐにこれを修正した。
• 1975年、ライツェル、マダン、クイーンは、種数 > 0 かつ類数 1 の有限体上の関数体は 7 つしかないと誤って主張したが、2013年にスターペが別の関数体を発見し、実際には 8 つ存在することが判明した。
• ブーゼマン・ペティ問題。張は1994年と1999年にAnnals of Mathematicsに2つの論文を発表し、最初の論文ではR ⁴におけるブーゼマン・ペティ問題が負の解を持つことを証明し、2番目の論文では正の解を持つことを証明した。
• 代数スタック。Laumon & Moret -Bailly (2000)の代数スタックに関する書籍では、代数スタックの射がlisse-étaleトポスの射を誘導すると誤って主張していた。これに基づく結果はOlsson (2007)によって修正された。

• フレーゲが1879年に著した『概念記号論』における数学の基礎は、1901年に発見されたラッセルのパラドックスのために矛盾していることが判明した。
• チャーチが1932年に発表した形式体系の定義に関する最初の試みは矛盾しており、1933年の修正版も同様であった。彼の体系の矛盾のない部分は、後にラムダ計算となった。
• クワインは1940年に数学論理学の体系に関する最初の記述を発表したが、1942年にロッサーがそれが矛盾していることを示した。ワンは1950年に修正案を発見したが、この改訂された体系の一貫性は依然として不明である。
• 1967年にラインハルトはラインハルト枢数を提唱したが、 1971年にクーネンはそれがZFCと矛盾することを示した。ただし、ZFと矛盾することは知られていない。
• 1971年にペル・マルティン＝レーフが提唱した直観主義型理論の原案は、1972年にジャン＝イヴ・ジラールによって矛盾があることが示され、修正版に置き換えられた。

• 一様収束。コーシーは1821年の『解析学講義』で、連続関数の和が点ごとに収束する場合、その極限も連続であることを「証明」した。しかし、アーベルは1826年に、これは当てはまらないことを指摘した。結論が成り立つためには、「点ごとの収束」を「一様収束」に置き換える必要がある。コーシーの元の結果が間違っていたことは完全には明らかではない。なぜなら、点ごとの収束の定義がやや曖昧で、現在使用されているものよりも強かった可能性があり、彼の結果を正しく解釈する方法があるからである。^{[ 19 ]} 点ごとの収束の標準的な定義を使用した反例は多数ある。例えば、すべて連続な正弦関数と余弦関数のフーリエ級数は、階段関数などの不連続関数に点ごとに収束する可能性がある。
• カーマイケルのトーシェント関数予想は、1907年にロバート・ダニエル・カーマイケルによって定理として発表されたが、1922年に彼は自身の証明が不完全であることを指摘した。2016年現在、この問題は未解決のままである。
• イタリア代数幾何学学派。証明の欠陥のほとんどは、微妙な技術的見落とし、あるいは20世紀以前の場合は正確な定義の欠如によるものです。この例外となるのが、20世紀前半のイタリア代数幾何学学派で、そこでは厳密性の基準が徐々に緩やかになっていきました。その結果、この分野の論文には、証明が不完全であったり、定理が正確に述べられていないものが数多く存在します。このリストには、証明が不完全なだけでなく、完全に間違っている代表的な例がいくつか含まれています。
• 1933年、ジョージ・デイヴィッド・バーコフとヴァルデマール・ジョセフ・トリツィンスキーは、線形漸化式を満たす数列の漸近性に関する非常に一般的な定理^{[ 20 ]}を発表しました。この定理は、 1985年にジェット・ウィンプとドロン・ツァイルベルガーによって広く知られるようになりました。 ^{[ 21 ]}しかし、結果はおそらく正しいものの、現在（2021年）では、バーコフとトリツィンスキーの証明は専門家によって一般的に受け入れられておらず、この定理は（受け入れられている限りでは）特殊な場合にのみ証明されています。^{[ 22 ]}
• ヤコビアン予想。ケラーは1939年にこの問題を提起し、その後数年間でB.セグレによる3つの不完全な証明を含むいくつかの不完全な証明が発表されたが、 ヴィトゥシュキンはそれらの多くに欠陥があることを発見した。ヤコビアン予想は（2016年現在）未解決問題であり、不完全な証明が定期的に発表されている。ハイマン・バス、エドウィン・H・コネル、デイビッド・ライト（1982 ）は、これらの不完全な証明のいくつかにおける誤りについて論じている。 
• ヒルベルトの第16問題を強化したもので、与えられた次数nの平面多項式ベクトル場の極限サイクルの数に一様な有限の上限が存在するかどうかを問うものである。1950年代にエフゲニー・ランディスとイワン・ペトロフスキーが解とされるものを発表したが、1960年代初頭に誤りであることが示された。^{[ 9 ]}
• 1954年、 ザランキエヴィチは完全二部グラフの交差数に関するトゥランのレンガ工場問題を解決したと主張したが、後にカイネンとリンゲルは彼の証明に欠陥があることに気づいた。
• 6次元球面上の複雑な構造。1969年、アルフレッド・アドラーは『アメリカ数学ジャーナル』に、6次元球面には複雑な構造は存在しないと主張する論文を発表した。彼の議論は不完全であり、これは（2016年現在）依然として大きな未解決問題となっている。
• 閉じた測地線。1978年、ヴィルヘルム・クリンゲンベルクは、境界のない滑らかなコンパクト多様体には無限個の閉じた測地線が存在するという証明を発表した。彼の証明は物議を醸し、現在（2016年時点）では、彼の証明が完全であるかどうかについて合意は得られていない。
• 1991年、カプラノフとヴォエヴォツキーは、ホモトピー仮説のあるバージョンを証明したと主張する論文を発表した。その後、シンプソンは、その論文の結果は正しくないことを示したが、結果の変形版が正しい可能性があると推測した。この変形版は現在、シンプソン予想として知られている。
• 望遠鏡予想。ラヴェネルは1992年にこの予想を反駁すると発表したが、後に撤回し、この予想は未解決のままである。
• マトロイド束。2003年にダニエル・ビスはAnnals of Mathematicsに、マトロイド束が実ベクトル束と同等であることを示す論文を発表したが、2009年に証明に重大な欠陥があることを指摘する訂正を発表した。^{[ 23 ]}彼の訂正は、2007年のムネフの論文に基づいていた。^{[ 24 ]}
• 2012年、日本の数学者望月真一は、abc予想を証明したと主張する一連の論文をオンラインで公開した。その後、査読付きジャーナルに掲載されたにもかかわらず、彼の証明は主流の数学界では正しいと認められていない。^{[ 25 ] [ 26 ]}

• 長文の数学的証明一覧
• 反証された数学的概念のリスト
• 科学における時代遅れの理論

• Lecat、Maurice (1935)、Erreurs de mathématiciens des Origines à nos jours、ブリュッセル - ルーヴァン: Librairie Castaigne - Ém。デスバラックス―数学者による（ほとんどが些細な）出版された誤りを100ページ以上にわたって列挙している。

• デビッド・マムフォードによる、セヴェリ率いるイタリア代数幾何学学派の誤りに関するメール
• 最初の9ページホモトピー理論における誤った結果の例をいくつか挙げてください。