ヤンコグループ J4

群論として知られる現代代数学の分野において、ヤンコ群 J ₄は、次数の散在単純群である。

   86,775,571,046,077,562,880

= 2 ²¹  · 3 ³  · 5  · 7  · 11 ³  · 23  · 29  · 31  · 37  · 43

≈ 9 × 10¹⁹。

J _{4 は}26 の散在群の 1 つです。Zvonimir Janko は1975 年に、2 ^{1 + 12} .3.(M ₂₂ :2) の形式の反転中心化子を持つ群を研究してJ _{4 を発見しました。その存在と一意性は、1980 年に}Simon P. Nortonらによってコンピュータ計算を使用して示されました。J 4 は、2 つの要素を持つ有限体上の 112 次元のモジュラー表現を持ち、外部正方形の特定の 4995 次元部分空間の安定化子です。この事実は Norton が J 4 を構築するために使用したもので、計算的に J 4 を扱う最も簡単な方法です。Aschbacher & Segev (1991) と Ivanov (1992) は、一意性のコンピュータを使わない証明を与えました。 Ivanov & Meierfrankenfeld (1999)とIvanov (2004)は、群2 10 :2 4 :A 8 上の群2 ¹⁰ :SL ₅ (2)と(2 ¹⁰ : 2 ⁴ :A 8 ₎ :2の融合として構築することにより、コンピュータを使わない_存在^{証明を与えた}。

シューア乗数と外部自己同型群は両方とも自明です。

37 と 43 は超特異素数ではないので、 J _{4 は}モンスター群の部分商にはなり得ません。したがって、これはパリアと呼ばれる 6 つの散在群の 1 つです。

最も小さい忠実な複素表現は次元 1333 です。この次元の複素共役表現は 2 つあります。任意の体上の最も小さい忠実な表現は、2 つの要素を持つ体上の 112 次元表現です。

最小の順列表現は 173067389 点であり、ランクは 20 で、点安定子の形式は 2 ¹¹ :M ₂₄です。点は、112 次元表現内の特定の「特殊ベクトル」で識別できます。

これは、3つのジェネレータa、b、cの観点から次のように 表現されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{3}=c^{2}=(ab)^{23}=[a,b]^{12}=[a,bab]^{5}=[c,a]=\left((ab)^{2}ab^{-1}\right)^{3}\left(ab(ab^{-1})^{2}\right)^{3}=\left(ab\left(abab^{-1}\right)^{3}\right)^{4}\\&=\left[c,(ba)^{2}b^{-1}ab^{-1}(ab)^{3}\right]=\left(bc^{(bab^{-1}a)^{2}}\right)^{3}=\left((bababab)^{3}cc^{(ab)^{3}b(ab)^{6}b}\right)^{2}=1.\end{aligned}}}$

あるいは、サブグループ M ₂₄から始めて、3975 の反転を付加することもできます。これは、トリオと同一視されます。特定の関係を追加することにより、可換反転の特定の積は、最大サブグループ 2 ¹¹ :M _{24に拡張される}バイナリ Golay ココード を生成します。Bolt、Bray、および Curtis は、コンピューターを使用して、関係を 1 つ追加するだけでJ ₄を定義できることを示しました。

Kleidman & Wilson (1988) は、 J ₄の最大部分群の 13 個の共役類を発見しました。これらは以下の表に示されています。

J ₄のシロー 3 部分群はハイゼンベルク群です。つまり、位数 27、非可換、すべての非自明要素が位数 3 です。

• アッシュバッハー、マイケル; セゲフ、ヨアヴ (1991)、「J ₄型群の一意性」、Inventiones Mathematicae、105 (3): 589–607、doi :10.1007/BF01232280、ISSN  0020-9910、MR  1117152、S2CID  121529060
• DJ ベンソン単純群 J ₄、博士論文、ケンブリッジ 1981、https://web.archive.org/web/20110610013308/http://www.maths.abdn.ac.uk/~bensondj/papers/b/benson/the-simple-group-J4.pdf
• ボルト、ショーン W.; ブレイ、ジョン R.; カーティス、ロバート T. (2007)、「ヤンコ群 J ₄の対称的表現」、ロンドン数学会誌、76 (3): 683–701、doi :10.1112/jlms/jdm086
• _{イワノフ、AA (1992)、「J 4}のプレゼンテーション」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、64 (2): 369–396、doi :10.1112/plms/s3-64.2.369、ISSN  0024-6115、MR  1143229
• _{イワノフ、AA; マイヤーフランケンフェルト、ウルリッヒ (1999)、「J 4}のコンピュータフリー構築」、代数ジャーナル、219 (1): 113–172、doi : 10.1006/jabr.1999.7851、ISSN  0021-8693、MR  1707666
• イワノフ、AA（2004）。第4ヤンコグループ。オックスフォード数学モノグラフ。オックスフォード：クラレンドンプレス。ISBN 0-19-852759-4。MR2124803​
• Z. Janko, M _{24と M 22}の完全被覆群を部分群として有する、順序 86,775,570,046,077,562,880 の新しい有限単純群、J. Algebra 42 (1976) 564-596. doi :10.1016/0021-8693(76)90115-0 (この論文のタイトルは誤りです。M ₂₂の完全被覆群は後に、順序 6 ではなく 12 の中心である、より大きいことが発見されたためです。)
• _{クライドマン、ピーター B.; ウィルソン、ロバート A. (1988)、「J 4}の最大部分群」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、56 (3): 484–510、doi :10.1112/plms/s3-56.3.484、ISSN  0024-6115、MR  0931511
• SP Norton 「J ₄の構築」、サンタクルーズ有限群会議(編: Cooperstein、Mason) Amer. Math. Soc 1980。

• MathWorld: ヤンコ群
• 有限群表現アトラス: J4 バージョン 2
• 有限群表現アトラス: J4 バージョン 3