3測地線の定理

微分幾何学における3 測地線の定理は、リュステルニク・シュニレルマンの定理とも呼ばれ、球面位相を持つすべてのリーマン多様体は少なくとも 3 つの単純閉測地線（つまり、3 つの埋め込まれた測地円）を持つことを述べています。^{[1]この定理は、凸多面体上の準測地線や可逆}フィンスラー2 球面の閉測地線にも拡張できます。 この定理は明確です。すべてのリーマン 2 球面には無限に多くの異なる閉測地線が含まれますが、そのうち自己交差がないことが保証されているのは 3 つだけです。たとえば、モースの結果により、楕円体の 3 つの主軸の長さが異なっていても、互いに十分に近い場合、楕円体には 3 つの単純閉測地線しかありません。^[2]

リーマン面上の測地線は、各点で局所的に直線となる曲線です。ユークリッド平面上の測地線は直線 で、球面上の測地線は大円です。2 点間の面上の最短経路は常に測地線ですが、他の測地線も存在することがあります。測地線が開始点と開始方向に戻る場合、その測地線は閉じた測地線であると言われます。その際、測地線は自身を複数回交差することがあります。3 測地線の定理によれば、球面に同相な面には、自己交差しない閉じた測地線が少なくとも 3 つ存在します。3 つより多い場合もあります。たとえば、球面には無限に多くの測地線があります。

この結果は、地球の表面を楕円体で正確にモデル化できる海洋航海の数学と、船舶が最短経路を進む楕円体上の測地線の研究に由来する。特に、ほぼ球形の三軸楕円体には、赤道である単純な閉じた測地線が3つしかない。 ^[3] 1905年に、アンリ・ポアンカレは、球と位相的に等価なすべての滑らかな表面は、同様に少なくとも3つの単純な閉じた測地線を含むと予想し、^[4] 1929年にラザール・リュステルニクとレフ・シュニレルマンはその予想の証明を発表した。証明の一般的な位相的議論は正しかったが、後に欠陥があることが判明した変形結果を採用していた。^[5] 数人の著者は、ギャップの不十分な解決策を提案した。 1980年代にカレン・ウーレンベックの提案を受けてグレイソンは曲線短縮フローという手法で広く受け入れられる解決策を提示した。^[6]

この定理の強化版は、位相的に球面である任意のリーマン面上に、その長さが最大で表面の直径に比例する3つの単純な閉じた測地線が必ず存在することを述べています。^[7]

滑らかな位相球面上の長さが最大Lの閉じた測地線の数はL /log  Lに比例して増加するが、そのような測地線のすべてが単純であるとは保証されない。^[8]

コンパクトな双曲 リーマン面上には、単純な閉じた測地線が無限に存在するが、与えられた長さの境界を持つものは有限個しかない。それらはセルバーグゼータ関数によって解析的に符号化される。単純な閉じた測地線の数の増加率は、その長さの関数として、マリアム・ミルザハニによって調査された。^[9]

3つの単純な閉じた測地線の存在は、2次元球面上の任意の可逆フィンスラー計量にも当てはまる。 ^[10]

凸多面体など、どこでも滑らかではない表面上に測地線を定義することも可能である。凸多面体の表面は、多面体の頂点を除いて局所的にユークリッド距離を持ち、頂点を避ける曲線は、多面体の各面内の直線セグメントをたどり、交差する多面体の各辺にわたって直線を保っている場合、測地線である。一部の多面体は単純な閉じた測地線を持つが（例えば、正四面体と二面体には無限に多くの閉じた測地線があり、すべて単純である）、^{[11] [12]、他の多面体は持たない。特に、凸多面体の単純な閉じた測地線は、必然的に頂点の}角度の誤差全体を二等分するが、ほとんどすべての多面体はそのような二等分線を持たない。^{[3] [11]}

それでも、三測地線の定理は、多面体の頂点を除いて測地線であり、交差する各頂点の両側の角度がπ未満である曲線である準測地線を考慮することで、凸多面体に拡張できます。三測地線の定理の凸多面体のバージョンでは、すべての多面体が少なくとも3つの単純な閉じた準測地線を持っていると述べています。これは、多面体を滑らかな面で近似し、この面に三測地線の定理を適用することで証明できます。^{[13]これらの準測地線のいずれかが}多項式時間で構築できるかどうかは未解決の問題です。^{[14] [15]}