身もだえ

結び目理論では、 writheまたはという量について、競合する概念がいくつかある。ある意味では、これは純粋に有向リンク図の特性であり、整数値をとる。別の意味では、これは数学的な結び目(または任意の閉じた単純曲線) の 3 次元空間での「巻き」の量を表す量であり、実数をとる。どちらの場合も、writhe は幾何学的な量であり、つまり、曲線 (または図) をその位相を変えずに変形しても、writhe を変えることができることを意味する。^[1]${\displaystyle \operatorname {Wr} }$

結び目理論では、ねじれは有向リンク図の特性です。ねじれは、正の交差の総数から負の交差の総数を引いたものです。

各コンポーネントの 1 点のリンクに方向が割り当てられ、この方向が各コンポーネントの周囲全体にわたって続きます。この方向への移動中に遭遇する各交差点では、下のストランドが右から左に向かう場合、交差点は正であり、下のストランドが左から右に向かう場合、交差点は負です。これを覚える 1 つの方法は、右手の法則のバリエーションを使用することです。

結び目図の場合、どちらの方向でも右手の法則を使用しても同じ結果が得られるため、向きのない結び目図ではねじれが明確に定義されます。

結び目のねじれは、3 つのライデマイスター動作のうち 2 つには影響されません。タイプ II とタイプ III の動作はねじれに影響しません。ただし、ライデマイスター動作タイプ I は、ねじれを 1 増減します。これは、結び目のねじれが結び目自体の同位体不変量ではなく、図のみの同位体不変量であることを意味します。一連のタイプ I 動作により、特定の結び目の図のねじれを任意の整数に設定できます。

ねじれは、3次元空間で曲線として表される結び目の性質でもある。厳密に言えば、結び目とは、数学的には3次元ユークリッド空間への円の埋め込みとして定義される曲線である。異なる視点から曲線を見ると、異なる投影が得られ、それに対応する結び目図を描くことができる。そのねじれ（空間曲線の意味での）は、すべての視点からの投影から得られる積分ねじれ値の平均に等しい。^{[2]したがって、この状況でのねじれは、可能な値として任意}の実数を取ることができる。^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \operatorname {Wr} }$

1961年の論文^[3]で、 ゲオルゲ・カルガレアヌは次のような定理を証明した。のリボンを取り、 はその境界成分の連結数、はその総ねじれとする。すると、その差はリボンのコア曲線 のみに依存し、^[2]そして ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \operatorname {Lk} }$${\displaystyle \operatorname {Tw} }$${\displaystyle \operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$。

1959年の論文^{[4]で、カルガレアヌは、}積分を用いてねじれ Wr を計算する方法も示した。を滑らかで単純な閉曲線とし、 と を 上の点とする。すると、ねじれはガウス積分に等しい。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Wr} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}}$。

空間内の曲線のねじれは二重積分として定義されているので、まず曲線を線分の有限の鎖として表すことで、その値を数値的に近似することができる。マイケル・レビット^{[5]がタンパク質の折り畳みの記述のために最初に導き出し、後にコンスタンチン・クレニンとイェルク・ランゴフスキー[6]}が超らせんDNAのために使用した手順は、 ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}=2\sum _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}}$、

ここで、は線分および上の二重積分の正確な評価である。およびであることに注意する。^[6]${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \Omega _{ij}=\Omega _{ji}}$${\displaystyle \Omega _{i,i+1}=\Omega _{ii}=0}$

および という番号が付けられた線分を評価するには、2つの線分の端点に1、2、3、4の番号を付けます。を端点 で始まり端点 で終わるベクトルとします。次の量を定義します: ^[6]${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle r_{pq}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left|r_{13}\times r_{14}\right|}},\;n_{2}={\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left|r_{14}\times r_{24}\right|}},\;n_{3}={\frac {r_{24}\times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{\left|r_{23}\times r_{13}\right|}}}$

^次に[6]を計算する。

${\displaystyle \Omega ^{*}=\arcsin \left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin \left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}$

最後に、符号の違いを補正し、次のように割り算して^[6]を得る。${\displaystyle 4\pi }$

${\displaystyle {\frac {\Omega }{4\pi }}={\frac {\Omega ^{*}}{4\pi }}{\text{sign}}\left(\left(r_{34}\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).}$

さらに、writheを計算する他の方法は数学的かつアルゴリズム的に完全に記述することができ、そのうちのいくつかは上記の方法（計算複雑度が2乗であるのに対し、線形複雑度を持つ）よりも優れています。^[6]

DNAは、ゴムホースやロープと同じように、ねじれるとコイル状になります。そのため、生物数学者は、ねじれの強さをDNAの変形量として使います。一般的に、このねじれによるコイル形成現象はDNAスーパーコイルと呼ばれ、非常に一般的で、実際、ほとんどの生物ではDNAは負のスーパーコイルになっています。^[1]

DNAに限らず、弾性ロッドはコイル状に巻くことでねじり応力を軽減します。この動作はロッドのねじれを解き、同時に曲げます。F. ブロック・フラーは数学的に^[7]「ロッドの中央の曲線がコイル状になり、そのねじれ数が増えると、ロッドの局所的なねじれによる弾性エネルギーが減少する可能性がある」ことを示しています。

• DNAの超らせん構造
• リンク番号
• リボン理論
• ツイスト（数学）
• 巻数

• アダムス、コリン（2004）、「結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門」、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3678-1