第一階理論のリスト

一階述語論理では、一階述語理論は何らかの言語の公理の集合によって与えられます。このエントリでは、モデル理論で使用されるより一般的な例のいくつかとその特性のいくつかをリストします。

すべての自然な数学的構造には、 理論の定数、関数、関係をそれらの引数とともにリストするシグネチャσ が存在するため、オブジェクトは自然にσ 構造になります。シグネチャ σ が与えられれば、σ 構造に関する 1 階の表現可能な事実を捉えるために使用できる一意の 1 階言語 L _σが存在します。

理論を指定する一般的な方法は 2 つあります。

1. 理論の公理と呼ばれる一連の文を言語L _{σで列挙または説明します。}
2. σ 構造の集合を与え、これらすべてのモデルで成り立つL _σ内の文の集合として理論を定義します。たとえば、「有限体の理論」は、すべての有限体で真である体の言語のすべての文で構成されます。

Lσ理論では_、次のようなことが考えられます。

• 一貫性がある: 矛盾の証拠は存在しない;
• 満足可能であること: 理論の文がすべて真となる σ 構造が存在する (完全性定理により、満足可能性は一貫性と同値である);
• 完全であること: いかなる陳述についても、その陳述またはその否定のいずれかが証明可能であること。
• 数量詞除去を持つ;
• 空想を排除する;
• 有限に公理化可能であること
• 決定可能であること: どのステートメントが証明可能かを決定するアルゴリズムが存在する。
• 再帰的に公理化可能であること
• モデルが完全であるか、サブモデルが完全であるか。
• κ-カテゴリカルであること:濃度κのすべてのモデルは同型である;
• 安定している か不安定であるか。
• ω 安定である（可算理論の場合、完全に超越的であることと同じ）
• 超安定する
• 原子モデルを持つ;
• プライムモデルを持つ;
• 飽和したモデルを持っています。

純粋同一性理論の特徴は空であり、関数、定数、関係はありません。

純粋同一性理論には（非論理的な）公理はありません。決定可能です。

純粋同一性理論の言語で表現できる数少ない興味深い特性の 1 つは、無限であることです。これは、少なくとも 2 つの要素がある、少なくとも 3 つの要素がある、などと述べる公理の無限集合によって与えられます。

• ∃ x ₁ ∃ x ₂ ¬ x ₁ = x ₂、∃ x ₁ ∃ x ₂ ∃ x ₃ ¬ x ₁ = x ₂ ∧ ¬ x ₁ = x ₃ ∧ ¬ x ₂ = x ₃、...

これらの公理は無限集合の理論を定義します。

有限であるという反対の性質は、任意に大きな有限モデルを持つ理論では第一階述語論理では述べることができません。実際、コンパクト性定理により、そのような理論は無限のモデルを持ちます。一般に、ある性質が第一階述語論理の有限個の文で述べることができる場合、反対の性質も第一階述語論理で述べることができますが、ある性質が無限個の文を必要とする場合、その反対の性質は第一階述語論理では述べることができません。

純粋恒等理論の任意のステートメントは、非負整数の有限部分集合Nに対して σ( N ) または ¬σ( N ) のいずれかに相当します。ここで、 σ( N ) は、要素の数がNに含まれるというステートメントです。次のように、この言語ですべての可能な理論を記述することも可能です。任意の理論は、非負整数の有限部分集合Nに対してNに含まれる濃度のすべての集合の理論、または非負整数の有限または無限部分集合Nに対して、濃度がNに含まれないすべての集合の理論のいずれかです。( Nが整数の無限部分集合である場合、モデルがまさに濃度Nの集合である理論は存在しません。)完全な理論は、有限nに対する濃度nの集合の理論と、無限集合の理論です。

この特殊なケースの 1 つが、公理 ∃ x ¬ x = xによって定義される矛盾理論です。これは多くの優れた特性を備えた完全に優れた理論です。つまり、完全、決定可能、有限に公理化可能などです。唯一の問題は、モデルがまったく存在しないことです。ゲーデルの完全性定理によれば、これは (任意の言語に対して) モデルを持たない唯一の理論です。^[1]これは空集合の理論 (モデルが空になることを許可する第 1 階述語論理のバージョン) と同じではありません。空集合の理論には、要素を持たないモデルが 1 つだけ存在します。

ある集合 I 内のiに対する単項関係P _iの集合は、Iの互いに素な有限部分集合AとBのそれぞれに対して、 A内のiに対してP i ( x ) が真であり、 B内のiに対して P i ( x ) が偽_であるような要素 x が存在する場合、独立していると呼ばれます。独立性は、一階述語の集合によって表現できます。

可算個の独立した一項関係の理論は完全であるが、原子モデルがない。これは、超安定ではあるが完全に超越的ではない理論の例でもある。

同値関係のシグネチャには、1 つの二項中置関係記号 ~ があり、定数や関数はありません。同値関係は、次の公理を満たします。

• 再帰的∀ x x ~ x ;
• 対称∀ x ∀ y x ~ y → y ~ x ;
• 推移法: ∀ x ∀ y ∀ z ( x ~ y ∧ y ~ z ) → x ~ z .

同値関係の第一級の特性は次のとおりです。

• ~ には同値類が無限に存在する。
• ~ にはちょうどn 個の同値類があります (任意の固定された正の整数nに対して)。
• すべての同値類は無限です。
• すべての同値クラスのサイズは正確にnです(任意の固定された正の整数nの場合)。

ちょうど 2 つの無限同値類を持つ同値関係の理論は、ω-カテゴリカルだが、任意のより大きな基数に対してカテゴリカルではない理論の簡単な例です。

同値関係 ~ を恒等記号 '='と混同しないでください。x = yならばx ~ yですが、その逆は必ずしも真ではありません。同値関係の理論はそれほど難しくも面白くもありませんが、さまざまなステートメントに対して簡単な例や反例が示されることがよくあります。

以下の構成は、特定のスペクトルを持つ理論の例を示すために使用されることがあります。実際、これを少数の明示的な理論Tに適用すると、すべての可能な非可算スペクトルを持つ完全な可算理論の例が得られます。T が何らかの言語の理論である場合、その言語に新しい二項関係を追加し、それが同値関係であると述べる公理を追加することで、新しい理論 2 T を定義します。これにより、 T のモデルである同値クラスが無限に存在します。この構成を無限に繰り返すことができます。つまり^、順序数αが与えられた場合、各 β<α に対して同値関係E _{β を}追加し、β<γ の場合は常に各E _γ同値クラスが無限個のE _β同値クラスの和集合であり、各E ₀同値クラスがTのモデルであるという公理を追加することで、新しい理論を定義します。非公式には、この理論のモデルは、すべての葉にTのモデルが添付された、高さ α の無限に分岐する木として視覚化できます。

順序のシグネチャには定数や関数はなく、1つの2項関係記号≤があります。（もちろん、公理にわずかな変更を加えることで、代わりに≥、<、または>を基本関係として使用することも可能です。）x ≥ y、x < y、x > yを、 y ≤ x、x ≤ y ∧¬ y ≤ x、y < xの略語として定義します。

順序に関するいくつかの第一級の特性:

• 推移的: ∀ x ∀ y ∀ z ( x ≤ y) ∧ ( y ≤ z) → x ≤ z
• 再帰法: ∀ x x ≤ x
• 非対称: ∀ x ∀ y ( x ≤ y) ∧ ( y ≤ x) → x = y
• 部分的：推移的∧再帰的∧反対称的。
• 線形（または全）: 部分 ∧ ∀ x ∀ y ( x ≤ y) ∨ ( y ≤ x)
• 密("任意の 2 つの異なる要素の間には別の要素が存在する"): ∀ x ∀ z ( x < z) → ∃ y ( x < y) ∧ ( y < z)
• 最小の要素が存在する: ∃ x ∀ y ( x ≤ y)
• 最大の要素が存在する: ∃ x ∀ y ( y ≤ x)
• すべての要素には直後の要素があります: ∀ x ∃ y ∀ z ( x < z) ↔ ( y ≤ z)

端点のない (つまり、最小要素や最大要素がない) 密な線形順序の理論 DLO は完全で、ω カテゴリカルですが、任意の無数基数に対してカテゴリカルではありません。他に 3 つの非常によく似た理論があります。a を持つ密な線形順序の理論:

• 最小の要素だが最大の要素はない。
• 最大の要素だが最小の要素はない。
• 最大要素と最小要素。

整列していること（「空でない部分集合には最小の要素がある」）は第一階の性質ではありません。通常の定義では、すべての部分集合を定量化する必要があります。

格子は、 1 つの二項関係記号 ≤ で構成されるシグネチャを持つ特別な種類の半順序集合として、または2 つの二項演算 ∧ と ∨ で構成されるシグネチャを持つ代数構造として考えることができます。2 つのアプローチは、 a ≤ b をa ∧ b = a を意味するように定義することで関連付けることができます。

2 つのバイナリ演算の場合、格子の公理は次のとおりです。

1 つの関係 ≤ の場合、公理は次のようになります。

• 上記のように、≤ は半順序であることを示す公理。
• ${\displaystyle \forall a\forall b\exists c\;c\leq a\wedge c\leq b\wedge \forall d\;d\leq a\wedge d\leq b\rightarrow d\leq c}$（c = a∧bの存在）
• ${\displaystyle \forall a\forall b\exists c\;a\leq c\wedge b\leq c\wedge \forall d\;a\leq d\wedge b\leq d\rightarrow c\leq d}$（c = a∨bの存在）

第一級のプロパティには次のものが含まれます。

• ${\displaystyle \forall x\forall y\forall z\;x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$（分配格子）
• ${\displaystyle \forall x\forall y\forall z\;x\vee (y\wedge (x\vee z))=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$（モジュラー格子）

ハイティング代数は、特定の追加の一次特性を持つ格子として定義できます。

完全性は格子の第一の属性ではありません。

グラフのシグネチャには定数や関数はなく、 1 つのバイナリ関係記号R があります。ここで、R ( x、y ) は「 xからyへのエッジがある」と読みます。

グラフ理論の公理は

• 対称: ∀ x ∀ y R ( x , y )→ R ( y , x )
• 反反射的: ∀ x ¬ R ( x , x ) ("ループなし")

ランダムグラフ理論には、各正の整数nに対して次の追加の公理があります。

• サイズnの任意の 2 つの互いに交わらない有限集合に対して、最初の集合のすべての点と結合し、2 番目の集合のどの点とも結合しない点が存在します。(各固定されたnに対して、このステートメントをグラフの言語で記述するのは簡単です。)

ランダム グラフの理論は ω カテゴリカル、完全、決定可能であり、その可算モデルはRado グラフと呼ばれます。グラフ言語でのステートメントがこの理論で真となるのは、 n頂点のランダム グラフがそのステートメントをモデル化する確率が、n が無限大に近づく につれて極限で 1 に近づく場合のみです。

ブール代数には、いくつかの異なるシグネチャと規則が使用されます。

1. シグネチャには、0 と 1 の 2 つの定数、2 つのバイナリ関数 ∧ と ∨ (「and」と「or」)、および 1 つの単項関数 ¬ (「not」) があります。これらの関数は、一階述語論理の命題関数と同じ記号を使用するため、混乱を招く可能性があります。
2. 集合論では、言語に 0 と 1 の 2 つの定数、· と + の 2 つの二項関数、および - の 1 つの単項関数があるというのが一般的な慣例です。3 つの関数は、最初の慣例の関数と同じように解釈されます。残念ながら、この慣例は次の慣例と大きく衝突します。
3. 代数学では、通常の慣例により、言語には 0 と 1 の 2 つの定数と、2 つの 2 項関数 · と + があります。関数 · は ∧ と同じ意味ですが、a + b はa ∨ b ∧¬( a ∧ b )を意味します。この理由は、ブール代数の公理は、1 プラス ∀ x x ² = xの環の公理にすぎないためです。残念ながら、これは上記の集合論の標準的な慣例と衝突します。

公理は次のとおりです。

• 分配格子の公理（上記参照）
• ∀a a ∧¬ a = 0, ∀a a ∨¬ a = 1 (否定の性質)
• 一部の著者は、1 つの要素を持つ自明な代数を除外するために、追加の公理 ¬0 = 1 を追加します。

タルスキはブール代数の理論が決定可能であることを証明した。

x ≤ y はx ∧ y = xの略語として書き、atom( x ) は ¬ x = 0 ∧ ∀ y y ≤ x → y = 0 ∨ y = xの略語として書きます。これは「xはアトム」、つまり 0 との間に何もない非ゼロの要素として読み取られます。ブール代数の第一階の性質をいくつか示します。

• アトミック: ∀ x x = 0 ∨ ∃ y y ≤ x ∧ atomic( y )
• 原子なし: ∀ x ¬atom( x )

原子のないブール代数の理論はω-カテゴリカルかつ完全です。

任意のブール代数Bに対して、次のように定義される不変量がいくつかあります。

• 理想I（B）は、原子元素と無原子元素（その下に原子を持たない元素）の合計である元素で構成されます。
• Bの商代数B ⁱは、 B ⁰ = B、B ^{k +1} = B ^k / I ( B ^k )によって帰納的に定義されます。
• 不変量m ( B )は^、 Bm ⁺¹が自明となる最小の整数、またはそのような整数が存在しない場合は∞です。
• m ( B ) が有限の場合、不変量n ( B ) は、この数が有限であればB ^{m ( B )}の原子の数、この数が無限であれば ∞ になります。
• 不変量l ( B ) は、 B ^{m ( B )}が原子であるか、m ( B ) が∞である場合は 0 になり、それ以外の場合は 1 になります。

すると、 2 つのブール代数は、不変量l、m、nが同じ場合のみ、基本的に同値になります。言い換えると、これらの不変量の値は、ブール代数の理論の可能な完成を分類します。したがって、可能な完全な理論は次のようになります。

• 自明な代数 (これが許可されている場合。0≠1 が公理として含まれる場合もあります。)
• m = ∞の理論
• m が自然数、n が自然数または∞、l = 0 または 1 ( n = 0 の場合はl = 0)となる理論。

群論のシグネチャには、定数 1 (恒等関数) が 1 つ、t上の値がt ⁻¹で示される引数が 1 つの関数 (逆関数)と、引数が 2 つの関数 (通常は項から省略されます) が 1 つあります。任意の整数nについて、t ^{n は}tのn乗を表す明らかな項の略語です。

グループは公理によって定義される

• 恒等式: ∀ x 1 x = x ∧ x 1 = x
• 逆: ∀ x x ⁻¹ x = 1 ∧ xx ⁻¹ = 1
• 結合性: ∀ x ∀ y ∀ z ( xy ) z = x ( yz )

グループの第一階言語で定義できるグループのいくつかの特性は次のとおりです。

• アーベル: ∀ x ∀ y xy = yx .
• ねじれなし: ∀ x x ² = 1→ x = 1、 ∀ x x ³ = 1 → x = 1、 ∀ x x ⁴ = 1 → x = 1、...
• 割り切れる: ∀ x ∃ y y ² = x、 ∀ x ∃ y y ³ = x、 ∀ x ∃ y y ⁴ = x , ...
• 無限（同一性理論のように）
• 指数 n（任意の固定された正の整数nに対して）： ∀ x x ⁿ = 1
• クラスnの冪零(任意の固定された正の整数nに対して)
• クラスnの可解な数値(任意の固定された正の整数nに対して)

アーベル群の理論は決定可能である。^[2]無限に分割可能な捩れのないアーベル群の理論は完全であり、指数p （pは素数）の無限アーベル群の理論も同様である。

有限群の理論は、すべての有限群で真である群の言語における一階のステートメントの集合です (この理論には無限のモデルがたくさんあります)。すべての群に真ではないステートメントを見つけることは、まったく自明ではありません。1 つの例は、「2 階の要素が 2 つある場合、それらは共役であるか、またはそれらの両方と可換な非自明な要素が存在する」です。

有限、自由、単純、ねじれなどの特性は一次ではありません。より正確には、これらの特性のいずれかを持つすべての群の一次理論には、この特性を持たないモデルがあります。

(単位)環のシグネチャには、2 つの定数 0 と 1、2 つのバイナリ関数 + と ×、およびオプションで 1 つの単項否定関数 − が含まれます。

リング

公理: 加算により環はアーベル群になり、乗算は結合的で恒等式 1 を持ち、乗算は左分配法と右分配法です。

可換環

環の公理に加えて、 ∀ x ∀ y xy = yx。

フィールド

可換環の公理に加えて、 ∀ x (¬ x = 0 → ∃ y xy = 1) および ¬ 1 = 0。ここで挙げた例の多くは、普遍的または代数的な公理のみを持っています。このような理論を満たす構造のクラスは、部分構造の下で閉じているという特性を持っています。たとえば、乗算と逆の群作用の下で閉じている群の部分集合は、やはり群です。体のシグネチャには通常、乗法逆と加法逆が含まれないため、逆の公理は普遍的ではなく、したがって、加算と乗算の下で閉じている体の部分構造は、必ずしも体ではありません。これは、言語に単項逆関数を追加することで改善できます。

任意の正の整数nに対して、 n次方程式はすべて根を持つという性質は、単一の一次文で表現できます。

• ∀ a ₁ ∀ a ₂ ... ∀ a _n ∃ x (...(( x + a ₁ ) x + a ₂ ) x +...) x + a _n = 0

完璧なフィールド

体に対する公理、および各素数pに対する公理で、 p  1 = 0 (つまり、体が特性 p を持つ) の場合、すべての体元にはp乗根 があることを述べています。

特性pの代数的に閉じた体

体の公理、および任意の正のnに対して、 n次多項式はすべて根を持つという公理、および特性を固定する公理。完全な理論の古典的な例。すべての無数基数において圏論的。理論ACF _pは、 ACF _pの普遍公理を満たす すべての構造N が十分に大きい代数的に閉じた体の部分構造であり 、さらにそのような任意の 2 つの埋め込みN → M がMの自己同型を誘導するという意味で、普遍領域特性を持ちます。 ${\displaystyle M\models ACF_{0}}$

有限体

有限体理論は、すべての有限体で真であるすべての一階述語の集合です。そのような述語の重要な例は、たとえば、素数体 にシュヴァレー・ワーニング定理 を適用することで得られます。この理論には無限モデルが多数あるため、この名前は少し誤解を招きます。Ax は、この理論が決定可能であることを証明しました。

形式的に実数体

体の公理に加え、任意の正の整数nに対して次の公理が成り立ちます。

• ∀ a ₁ ∀ a ₂ ... ∀ a _n a ₁ a ₁ + a ₂ a ₂ + ...+ a _n a _n =0 → a ₁ =0∧ a ₂ =0∧ ... ∧ a _n =0.

つまり、0 は非自明な二乗和ではありません。

実閉体

形式的に実数体の公理と以下の公理:

• ∀ x ∃ y ( x = yy ∨ x + yy = 0);
• 任意の奇数の正の整数nに対して、 n次多項式には必ず根があるという公理。

実閉体の理論は有効かつ完全であり、したがって決定可能である（タルスキ・ザイデンベルグの定理）。さらなる関数記号（例えば、指数関数、正弦関数）の追加により、決定可能性が変化する可能性がある。

p進体

Ax & Kochen (1965)はp進体の理論が決定可能であることを示し、そのための公理を与えた。^[3]

さまざまな幾何学体系の公理では通常、型付き言語が使用され、異なる型は点、線、円、平面などのさまざまな幾何学的オブジェクトに対応します。署名は、異なる型のオブジェクト間の 2 項関係で構成されることがよくあります。たとえば、点が線上にあるという関係です。署名には、より複雑な関係が含まれる場合があります。たとえば、順序付き幾何学では、3 つの点の 3 項「中間性」関係 (1 つの点が他の 2 つの点の間にあるかどうかを示す) や、2 組の点間の「合同」関係が含まれる場合があります。

公理化された幾何学体系の例には、順序幾何学、絶対幾何学、アフィン幾何学、ユークリッド幾何学、射影幾何学、双曲幾何学などがあります。これらの幾何学にはそれぞれ、さまざまな次元に対して、異なる非同等の公理体系が多数存在します。これらの公理体系の一部には、一階ではない「完全性」公理が含まれます。

典型的な例として、射影幾何学の公理は、点と直線の2種類と、点と直線の間の2項接続関係を使用する。点と直線の変数を小文字と大文字で表し、Aへの接続をaAと書くと、公理の1組は

• ${\displaystyle \forall a\forall b\;\lnot a=b\rightarrow \exists C\;aC\land bC}$(任意の 2 つの異なる点a、b を通る直線が存在します...)
• ${\displaystyle \forall a\forall b\forall C\forall D\;\lnot a=b\land aC\land bC\land aD\land bD\rightarrow C=D}$（…ユニークです）
• ${\displaystyle \forall a\forall b\forall c\forall d\forall e\forall G\forall H\;aH\land bH\land eH\land cG\land dG\land eG\rightarrow \exists f\exists I\exists J\;aI\land cI\land fI\land bJ\land dJ\land fJ}$(ヴェブレンの公理: abとcd が交差する線上にある場合、 acとbdも交差する線上にある。)
• ${\displaystyle \forall A\exists b\exists c\exists d\;bA\land cA\land dA\land \lnot b=c\land \lnot b=d\land \lnot c=d}$（各線には少なくとも 3 つの点があります）

ユークリッドはユークリッド幾何学のすべての公理を明示的に述べたわけではなく、最初の完全なリストはヒルベルトによってヒルベルトの公理で与えられました。ヒルベルトの公理の1つは2階の完全性公理であるため、これは1階の公理化ではありません。タルスキの公理はユークリッド幾何学の1階の公理化です。タルスキは、この公理系を実閉体の完全かつ決定可能な理論に関連付けることで、この公理系が完全かつ決定可能であることを示しまし た。

• 微分場の理論DF 。

符号は体 (0, 1, +, −, ×) の符号と単項関数 ∂ の導出である。公理は体に対する公理と

${\displaystyle \forall u\forall v\,\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u}$

${\displaystyle \forall u\forall v\,\partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .}$

この理論では、特性がp、素数、またはゼロであるという条件を追加して、特性pの微分体の理論 DF _pを得ることができます(以下の他の理論でも同様です)。

Kが微分体であれば、定数体 微分完全体 理論は、定数体が完全であるという条件を伴った微分体の理論です。言い換えると、各素数pに対して次の公理が成り立ちます。 ${\displaystyle k=\{u\in K:\partial (u)=0\}.}$

${\displaystyle \forall u\,\partial (u)=0\land p1=0\rightarrow \exists v\,v^{p}=u}$

（体全体が完全体であることを要求しても意味がありません。なぜなら、非ゼロ特性では微分が0になるからです。）量指定子の除去に関する技術的な理由から、新しい記号rをシグネチャに 追加して、公理によって定数体を完全体と強制する方が便利な場合があります。

${\displaystyle \forall u\,\partial (u)=0\land p1=0\rightarrow r(u)^{p}=u}$

${\displaystyle \forall u\,\lnot \partial (u)=0\rightarrow r(u)=0.}$

• 微分閉体理論(DCF) は、fとgが微分多項式で 、fの分離数がゼロ以外であり、g ≠0 であり、 fの位数がgの位数より大きい場合、 f ( x )=0 かつg ( x )≠0 となる体内のx が存在するという公理を持つ微分完全体の理論です。

後継関数を持つ自然数理論は、定数0 と単項関数S (「後継」: S ( x ) はx +1として解釈される) で構成されるシグネチャを持ち、次の公理を持ちます。

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
3. P ( x ) を単一の自由変数x を持つ一次式とします。このとき、次の式は公理です。

( P (0) ∧ ∀ x ( P ( x )→ P ( Sx ))) → ∀ y P ( y )。

最後の公理（帰納法）は、次の公理に置き換えることができる。

• 0より大きい整数nに対して、公理∀x SSS...Sx ≠ x（Sがn個ある場合）
• ∀x ¬ x = 0 → ∃y Sy = x

後継関数を持つ自然数の理論は完全かつ決定可能であり、非可算 κ に対しては κ 圏的であるが、可算 κ に対してはそうではない。

プレスブルガー算術は、定数0、単項関数S、および二項関数+からなるシグネチャを持つ、加法による自然数の理論です。これは完全かつ決定可能です。公理は次のとおりです。

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
3. ∀xx + 0 = x
4. ∀x∀yx + Sy = S(x + y)
5. P ( x ) を単一の自由変数x を持つ一次式とします。このとき、次の式は公理です。

( P (0) ∧ ∀ x ( P ( x )→ P ( Sx ))) → ∀ y P ( y )。

上で説明した第一階の理論の多くは、完全な再帰的に可算な矛盾のない理論に拡張できます。しかし、これは次の理論のほとんどには当てはまりません。これらの理論は通常、自然数の乗算と加算の両方をエンコードでき、これにより理論自体をエンコードするのに十分なパワーが与えられます。つまり、ゲーデルの不完全性定理が適用され、理論はもはや完全かつ再帰的に可算ではなくなります (矛盾しない限り)。

算術理論の特徴は次のとおりです。

• 定数 0;
• 単項関数、後継関数、ここでは接頭辞Sで表され、他の場所では接頭辞 σ または接尾辞 ′ で表されます。
• 2 つの 2進関数は、接頭辞 + と × で表され、「加算」と「乗算」と呼ばれます。

一部の著者は、シグネチャに関数Sではなく定数 1 が含まれているとみなし、S をSt = 1 + tという明白な方法で 定義します。

ロビンソン算術（ Qとも呼ばれる）。公理（1）と（2）は、区別される元0を規定する。（3）は、 Sが単射である。公理（4）と（5）は、加算の標準的な再帰的定義である。（6）と（7）は、乗算について同じことを行う。ロビンソン算術は、帰納法のないペアノ算術と考えることができる。Qは、ゲーデルの不完全性定理が成り立つ弱い理論である。公理：

1. ∀ x ¬ S x = 0
2. ∀ x ¬ x = 0 → ∃ y S y = x
3. ∀ x ∀ y S x = S y → x = y
4. ∀ x x + 0 = x
5. ∀ x ∀ y x + S y = S( x + y )
6. ∀ x x × 0 = 0
7. ∀ x ∀ y x × S y = ( x × y ) + x。

IΣ _{n は}、帰納法がΣ _n式に制限された 1 階のペアノ算術です( n = 0、1、2、...)。理論 IΣ ₀は、IΔ ₀と表記されることが多いです。これは、ますます強力になるペアノ算術の断片のシリーズです。n = 1 の場合は、原始再帰算術(PRA) とほぼ同じ強さです 。 指数関数算術(EFA) は、すべてのxとyに対してx ^{y が}存在するという公理を持つIΣ ₀です(通常のプロパティを持つ)。

1 階ペアノ算術、PA。算術の「標準」理論。公理は、上記のロビンソン算術の公理と、帰納法の公理体系を組み合わせたものです。

• ${\displaystyle \phi (0)\wedge (\forall x\phi (x)\rightarrow \phi (Sx))\rightarrow (\forall x\phi (x))}$PA言語の任意の式 φ に対して。 φ にはx以外の自由変数を含めることができます。

クルト・ゲーデルの 1931 年の論文は、PAが不完全であり、一貫した再帰的に列挙可能な完備化を持たないことを証明しました。

完全算術（真算術とも呼ばれる）は、算術の標準モデルである自然数Nの理論です。完全ではありますが、再帰的に列挙可能な公理の集合はありません。

実数の場合、状況は少し異なります。加算と乗算のみを含むケースでは整数をエンコードできないため、ゲーデルの不完全性定理は 適用されません。さらに関数記号（たとえば、累乗）を追加すると、複雑さが生じます。

2 階算術は、名前にもかかわらず、整数と整数の部分集合にわたって変化すると考えられる 2 種類の変数を持つ 1 階理論を指すことがあります。(2 階論理にも、2 階算術と呼ばれる算術理論があります。これは、不完全な 1 階論理の対応する理論とは異なり、1 つのモデルしかありません。) シグネチャは通常、算術のシグネチャ 0、 S、+、× と、整数と部分集合間のメンバーシップ関係 ∈ になります (ただし、細かいバリエーションは多数あります)。公理は、ロビンソン算術の公理と、帰納法と内包の公理スキームです。

2階算術には、帰納法と理解法でどの式が許されるかによって異なる、さまざまなサブ理論があります。強さの順に、最も一般的な5つのシステムは次のとおりです。

• ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$、再帰的理解
• ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}$、弱いケーニッヒの補題
• ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$、算数の理解
• ${\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}$、算術超限再帰
• ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}}_{0}}$、理解${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$

これらは、 2 階算術および逆数学の記事で詳細に定義されています。

集合論の通常のシグネチャには、1 つの二項関係 ∈ があり、定数や関数はありません。以下の理論の一部は、集合とクラスという 2 種類のオブジェクトを持つ「クラス理論」です。これを一階述語論理で処理する一般的な方法は 3 つあります。

1. 2 つの型で一階論理を使用します。
2. 通常の 1 階論理を使用しますが、新しい単項述語「Set」を追加します。ここで、「Set( t )」は非公式に「tはセットである」という意味になります。
3. 通常の1階論理を使用し、言語に新しい述語を追加する代わりに、「Set( t )」を「∃ y t ∈ y」の略語として扱います。

第一階集合論には次のようなものがあります。

• べき集合を欠く弱い理論:
  • S' (Tarski, Mostowski, and Robinson, 1953); (有限に公理化可能)
  • クリプキ-プラテック集合論; KP;
  • ポケット集合論
  • 一般集合論、GST
  • 構成的集合論、CZF
• マクレーン集合論と 初等トポス理論
• ツェルメロ集合論; Z
• ツェルメロ・フランケル集合論; ZF、ZFC;
• フォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論; NBG; (有限公理化可能)
• アッカーマン集合論;
• スコット・ポッター集合論
• 新しい基礎; NF (有限に公理化可能)
• 正集合論
• モース・ケリー集合論; MK;
• タルスキ-グロタンディーク集合論; TG;

これらのいずれか (通常は ZF) に追加できる追加の 1 階公理には次のものがあります。

• 選択公理、従属選択公理
• 一般化連続体仮説
• マーティンの公理（通常は連続体仮説の否定と併せて）、マーティンの最大値
• ◊と♣
• 構成可能性の公理(V=L)
• 適切な強制公理
• 解析的決定性、射影的決定性、決定性公理
• 多くの大きな基数公理

• 数学の分野用語集
• 数学理論の一覧

• チャン、CC;キースラー、H. ジェローム(1989)、モデル理論(第3版)、エルゼビア、ISBN 0-7204-0692-7
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）、「より短いモデル理論」、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-58713-1
• マーカー、デイビッド（2002）、モデル理論：入門、Graduate Texts in Mathematics、vol. 217、Springer、ISBN 0-387-98760-6