ニールセン実現問題

ニールセン実現問題は 、写像類群の有限部分群が曲面上に作用できるかどうかについて ヤコブ・ニールセン（1932、pp. 147-148）が提起した問題であり、スティーブン・カークホフ （1980、1983）によって肯定的に回答された。

有向曲面が与えられたとき、曲面のそれ自身への微分同相写像群である群 Diff( S ) を同位類に分割して写像類群π ₀ (Diff( S ))を得ることができる。この予想は、曲面の写像類群の有限部分群が、曲面上の双曲計量の同長写像群として実現できるかどうかを問うものである。

写像類群はタイヒミュラー空間に作用します。この問いを同等に表現すると、写像類群のすべての有限部分群がタイヒミュラー空間のある点を固定するかどうかとなります。

ヤコブ・ニールセン (1932, pp. 147–148) は、写像類群の有限部分群が曲面に作用できるかどうかを問うた。クラベッツ (1959) はニールセン実現問題を解決したと主張したが、彼の証明は、タイヒミュラー空間(タイヒミュラー計量) が負に曲がっていることを示すことに依存していた。リンチ (1971) は議論のギャップを指摘し、マズア (1975) はタイヒミュラー空間が負に曲がっていないことを示した。スティーブン・ケルクホフ(1980, 1983) は、左地震 を 用いて写像類群の有限部分群が曲面に作用できることを正しく証明した。

• Kerckhoff, Steven P. (1980)、「ニールセン実現問題」(PDF)、米国数学会報、新シリーズ、2 (3): 452–454、doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14764-3、ISSN  0002-9904、MR  0561531
• カークホフ、スティーブン P. (1983)、「ニールセン実現問題」、数学年報、第 2 シリーズ、117 (2): 235–265、CiteSeerX  10.1.1.353.3593、doi :10.2307/2007076、ISSN  0003-486X、JSTOR  2007076、MR  0690845
• Kravetz, Saul (1959)、「Teichmüller 空間の幾何学とそれらのモジュラー群の構造について」、Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI、278 :35、MR  0148906
• リンチ、ミシェル・レジーナ（1971）、テイクミュラー空間のメトリクスについて、MR  2620985 – ProQuest経由
• マズール、ハワード (1975)、「タイヒミュラー空間における測地線の種類について」、数学年報、第 2 シリーズ、102 (2): 205–221、doi :10.2307/1971031、ISSN  0003-486X、JSTOR  1971031、MR  0385173
• ニールセン、ヤコブ(1932)、「Untersuhungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen. III.」、Acta Math。 (ドイツ語)、58 (1): 87–167、doi : 10.1007/BF02547775、Zbl  0004.27501