山辺問題

山辺問題とは、1980年代に解決された微分幾何学の数学分野における予想を指す。これは、リーマン多様体のスカラー曲率に関する命題である。

( M , g )を閉じた滑らかなリーマン多様体とする。すると、リーマン計量fg が一定のスカラー曲率を持つような、 M上の正の滑らかな関数f が存在する。

fgのスカラー曲率がgのスカラー曲率とどのように関係するかを表す式を計算すると、このステートメントは次の形式に言い換えることができます。

( M , g )を滑らかな閉じたリーマン多様体とする。すると、 M上には正の滑らかな関数φと、次の数c が存在する。

${\displaystyle {\frac {4(n-1)}{n-2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n -2)}=0.}$

ここでnはMの次元、R ^gはgのスカラー曲率、∆g^はgのラプラス・ベルトラミ演算子を表します。

数学者山辺英彦は、論文「山辺（1960）」で上記の命題を定理として示し、証明を行ったが、トルーディンガー（1968）は彼の証明に誤りを発見した。上記の命題が真か偽かを判断する問題は、山辺問題として知られるようになった。山辺、トルーディンガー、ティエリー・オーバン、リチャード・シェーンの共同研究により、1984年にこの問題は肯定的に解決された。

これは現在では幾何学解析における古典的な問題とみなされており、その証明には微分幾何学と偏微分方程式の分野における新しい手法が必要である。シェーンがこの問題を最終的に解決した決定的なポイントは、一般相対性理論の正のエネルギー定理の応用であった。これは純粋に微分幾何学的な数学定理であり、1979年にシェーンとシン・トン・ヤウによって（暫定的な設定で）初めて証明された。

Simon Brendle、Marcus Khuri、Fernando Codá Marques 、Schoenによる最近の研究では、与えられたリーマン多様体( M、g )に対して計量fg が一定のスカラー曲率を持つような、すべての正で滑らかな関数fの集合を扱っています。さらに、完全非コンパクトリーマン多様体などの同様の設定で提起される山辺問題はまだ完全には理解されていません。

ここで、リーマン多様体上の「山辺問題の解」を、M上のリーマン計量gで、次の式を満たす正の滑らかな関数が存在するものとして言及する。${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}.}$

を滑らかなリーマン多様体とする。 が滑らかな共形類の任意の元であるような正の滑らかな関数を考える。標準的な計算により、 ${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}}$${\displaystyle {\overline {g}}.}$

${\displaystyle {\overline {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}}_{ij}=R_{ij}-{ \frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\Delta \varphi {\Big )}.}$

gと内積をとると、次のようになる。 ${\displaystyle \textstyle \varphi (\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg)}$

${\displaystyle \varphi \left\langle {\overline {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}},\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\operatorname {Ric} ,\operatorname {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}-{\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Big )}.}$

がアインシュタインであると仮定すると、左辺は消える。が閉じていると仮定すると、ビアンキ恒等式を 思い出して部分積分を行うことができる。${\displaystyle {\overline {g}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,}$

${\displaystyle \int _{M}\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}^{2}\,d\mu _{g}=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R,\nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.}$

g が定数スカラー曲率を持つ場合、右辺は消えます。左辺が消えることによって、Obata (1971) による次の事実が証明されます。

閉じたアインシュタイン多様体上の山辺問題に対するすべての解はアインシュタインである。

その後、小幡は、通常の一定断面曲率計量を持つ標準球の場合を除いて、（閉じた多様体上の）アインシュタイン計量の共形クラスにおける唯一の一定スカラー曲率計量は、与えられた計量の定数倍であることを証明した。証明は、共形因子の勾配が実際には共形キリング場であることを示すことによって進められる。共形因子が一定でない場合、共形因子の最小値から始めて、この勾配場の流れ線をたどると、多様体が円筒と共形に関係しており、したがってワイル曲率がゼロであることを示すことができる。 ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$

これに密接に関連する質問は、いわゆる「非コンパクトな山辺問題」で、これは次のように問うている。コンパクトでないすべての滑らかな完全なリーマン多様体 ( M、g )には、 gに共形であり、一定のスカラー曲率を持ち、また完全な計量が存在するというのは本当か? 答えは、Jin (1988) によって示された反例により、ノーである。非コンパクトな多様体に対する山辺問題の解が存在することを示すことができるさまざまな追加基準が知られている (たとえば、Aviles & McOwen (1988))。ただし、非コンパクトな場合に問題がいつ解決できるかを完全に理解することは、依然として研究のテーマである。

• ヤマベの流れ
• 山辺不変量

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