分析セット

数学の記述的集合論の分野では、ポーランド空間 の部分集合は、それがポーランド空間の連続像である場合に解析集合と呼ばれる。これらの集合は、ルージン（1917）と彼の弟子スースラン（1917）によって初めて定義された。^[1]${\displaystyle X}$

解析集合には同値な定義がいくつかあります。ポーランド空間Xの部分空間 Aに対する次の条件は同値です。

• Aは分析的です。
• Aは空、またはベール空間ω ^ωの連続像です。
• A はススリン空間です。言い換えると、A は連続写像によるポーランド空間の像です。
• A はポーランド空間におけるボレル集合の連続像です。
• A はSuslin 集合であり、 Suslin 演算の像です。
• ポーランド空間とボレル集合が存在し、 がへの射影となる。つまり、${\displaystyle Y}$${\displaystyle B\subseteq X\times Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle A=\{x\in X|(\exists y\in Y)\langle x,y\rangle \in B\}.}$

• A は、Xとベール空間の直積における閉集合の射影です。
• Aは^、G _δ集合をXとカントール空間2ωとの直積に射影したものである。

特別な重要なケースであるベール空間 ω ^ωにおける別の特徴付けは、解析集合がまさに上の木の射影であるということである。同様に、カントール空間 2 ^ωの解析部分集合はまさに 上の木の射影である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega \times \omega }$${\displaystyle 2\times \omega }$

ポーランド空間の解析的部分集合は、可算な和集合と積集合、連続像、逆像の下で閉じている。解析集合の補集合は解析的である必要はない。ススリンは、解析集合の補集合が解析的であれば、その集合はボレル集合であることを証明した。(逆に、ボレル集合は解析的であり、ボレル集合は補集合の下で閉じている。) ルージンは、より一般的に、2 つの互いに素な解析集合はボレル集合によって分離されることを証明した。言い換えれば、一方を含み、他方と素なボレル集合が存在する。これは「ルージンの分離原理」と呼ばれることもある (ススリンの定理の証明では暗黙的に示されていたが)。

解析集合は常にルベーグ可測（つまり普遍的に可測）であり、ベールの性質と完全集合の性質を持ちます。

が自然数の集合であるとき、その集合を の差集合と呼ぶ。自然数の差集合の集合は解析集合であり、解析集合に対して完全である。^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle \{xy\mid y\leq x\land x,y\in A\}}$${\displaystyle A}$

解析集合は とも呼ばれます(射影階層 を参照)。この記号の太字フォントは Wikipedia の慣例ではなく、むしろ細字フォント(解析階層 を参照) と区別するために使用されていることに注意してください。解析集合の補集合は余解析集合と呼ばれ、余解析集合の集合は で表されます。共通部分はボレル集合の集合です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$

• 投影（測度論）

• El'kin, AG (2001) [1994]、「解析集合」、数学百科事典、EMS Press
• エフィモフ、BA (2001) [1994]、「ルージンの分離原理」、数学百科事典、EMS プレス
• Kechris, AS (1995)、Classical Descriptive Set Theory、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94374-9
• Luzin, NN (1917)、「M. Baire 分類法」、科学アカデミー コンプテス レンドゥス、シリーズ I、164 : 91–94
• NN Lusin、「Leçons sur les ensembles Analytiques et leurs application」、Gauthier-Villars (1930)
• モスコヴァキス、ヤニス・N.（1980）、記述的集合論、ノースホランド、ISBN 0-444-70199-0
• マーティン、ドナルド A .：測定可能な基数と解析ゲーム。Fundamenta Mathematicae 66 (1969/1970)、p. 287-291。
• Souslin, M. (1917)、「Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis」、Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris、164 : 88–91