マルファッティサークル

幾何学において、マルファッティ円は、与えられた三角形の中にある3 つの円で、各円は他の 2 つの円と三角形の 2 辺に接している。マルファッティ円は、三角形内の互いに交わらない任意の 3 つの円の合計面積が最大になるという誤った考えのもと、これらの円を作成する問題の初期の研究を行ったジャン・フランチェスコ・マルファッティにちなんで名付けられた。

マルファッティの問題は、マルファッティ円を構成する問題と、三角形内で面積が最大となる 3 つの円を見つける問題の両方を指すために使用されています。マルファッティ円の簡単な構成はシュタイナー (1826) によって示され、それ以来多くの数学者がこの問題を研究してきました。マルファッティ自身が 3 つの円の半径の公式を提供し、それらは三角形の 2 つの三角形の中心、つまりアジマ・マルファッティ点を定義するためにも使用できます。

三角形内の 3 つの円の合計面積を最大化する問題は、マルファッティの円では決して解決されません。代わりに、与えられた三角形内の最大の円、最初の円の外側にある三角形の 3 つの連結された部分集合内の最大の円、最初の 2 つの円の外側にある三角形の 5 つの連結された部分集合内の最大の円を見つける貪欲アルゴリズムによって、常に最適な解が見つかります。この手順は 1930 年に初めて策定されましたが、その正しさは 1994 年まで証明されませんでした。

ジャン・フランチェスコ・マルファッティ （1803）は、大理石の三角柱から3本の円柱を切り出し、柱の総体積を最大化する問題を提起した。彼はこの問題の解は、くさびの三角形の断面内の3つの接円によって与えられると仮定した。つまり、より抽象的に言えば、彼は、与えられた三角形内の任意の3つの互いに交わらない円の中で、3つのマルファッティの円の総面積が最大になると推測した。^{[1]マルファッティの研究は}、ジョゼフ・ディアス・ジェルゴンヌの著書Annales （1811）の第1巻によって フランス語でより広い読者に広められ、第2巻と第10巻でさらに議論された。しかし、ジェルゴンヌは円の接問題のみを述べたが、面積最大化の問題は述べなかった。

マルファッティの 2 つの問題は同等であるという仮定は誤りである。ロブとリッチモンド (1930) は、元のイタリア語のテキストに立ち返って、いくつかの三角形では、最大半径の円を 1 つ三角形内に内接させ、三角形の残りの 3 つの角のうち、最も角度の小さい角に 2 つ目の円を内接させ、残りの 5 つの角のうち最大の角に 3 つ目の円を内接させる貪欲アルゴリズムによって、より大きな面積を達成できることを観察した。正三角形の面積の差はわずか 1% 強と小さいが、^[2]ハワード イブス (1946) が指摘したように、非常に鋭い頂点を持つ二等辺三角形の場合、最適な円 (三角形の底辺の上に 1 つずつ重ねたもの) の面積は、マルファッティの円のほぼ 2 倍になる。^[3]

実際、マルファッティの円は決して最適ではない。1960年代の数値計算で発見され、後に厳密に証明されたように、ロブ・リッチモンド法では常に面積が最大となる3つの円が生成され、それらは常にマルファッティの円よりも大きい。^[4]メリッセン（1997）はより一般的に、任意の整数nに対して、貪欲アルゴリズムは与えられた三角形内で面積が最大となるn個の円の集合を見つけると推測した。この推測はn ≤ 3の場合に正しいことが知られている。^[5]

三角形の中に互いに接する3つの円を作図する問題は、マルファッティの研究に先立って18世紀の日本の数学者安島尚信によって提起され、安島の死後1年で弟子の日下信によって作られた未出版の安島の著作集に収録されている。 ^{[5] [6]}さらに以前には、同じ問題がジリオ・ディ・チェッコ・ダ・モンテプルチャーノによる1384年の手稿で検討されており、現在はイタリアのシエナ市立図書館に所蔵されている。^[7]ヤコブ・ベルヌーイ（1744）は、特定の二等辺三角形 に対する問題の特殊なケースを研究した。

マルファッティの研究以来、マルファッティの 3 つの接円を構成する方法については、かなりの研究がなされてきた。リチャード・K・ガイは、この問題に関する文献は「広範囲にわたり、広く散在しており、常にその存在自体が認識されているわけではない」と書いている。^[8]注目すべきことに、ヤコブ・シュタイナー(1826) は、二重接線 に基づく単純な幾何学的構成を提示した。その後、他の著者は、シュタイナーの提示には証明が欠けていると主張したが、これは後にアンドリュー・ハート (1856) によって提供されたが、ガイは、当時のシュタイナー自身の 2 つの論文に散在する証明を指摘している。この問題の代数的定式化に基づく解法には、CL・レームス (1819)、EC・カタラン (1846)、C・アダムス (1846、1849)、J・デルソー (1895)、およびアンドレアス・パンプッチ (1904) による解法がある。代数的解法では、円と与えられた三角形の間の内部接触と外部接触を区別しません。問題を一般化して、いずれかの種類の接触を許容すると、与えられた三角形には 32 種類の解があり、逆に、互いに接する円の 3 つ組は 8 種類の三角形の解になります。^[8] Bottema (2001) は、これらの解の列挙を Pampuch (1904) に帰していますが、Cajori (1893) は、この解の数のカウントは Steiner (1826) のコメントですでに与えられていると指摘しています。この問題とその一般化は、19 世紀の他の多くの数学出版物の主題であり、^[9]それ以来、その歴史と数学が継続的な研究の対象となっています。^[10] また、幾何学の本でも頻繁に取り上げられています。^[11]

ガット（2000）とマッツォッティ（1998）は、19世紀のナポリ数学におけるマルファッティ円に関するエピソードを語っている。1839年、総合幾何学者のヴィンチェンツォ・フラウティは、3つの幾何学の問題を解く課題を出した。その1つはマルファッティ円の構築だった。フラウティがそうすることで、総合的な手法が解析的手法より優れていることを示すことが彼の意図だった。フラウティは、ライバルの解析幾何学学派の学生であるフォルトゥナート・パドゥーラによって解が与えられたにもかかわらず、自分の学生であるニコラ・トゥルーディに賞を与えた。フラウティは、課題を出した時点で、トゥルーディの解を知っていた。最近では、マルファッティ円の構築問題は、コンピュータ代数システムのテスト問題として使用されている。^[12]

マルファッティ円に関する初期の研究の多くは解析幾何学を使用していましたが、シュタイナー (1826) は次の単純な総合的な構成を提供しました。

マルファッティ円のように三角形の 2 辺に接する円は、三角形の角の二等分線 (図の緑色) の 1 つを中心とする必要があります。これらの二等分線は三角形を 3 つの小さな三角形に分割します。シュタイナーのマルファッティ円の作成は、これらの 3 つの小さな三角形のそれぞれに内接する 3 つの円 (図の破線) を描くことから始まります。一般に、これらの円は互いに交わらないため、2 つの円の各ペアには 4 つの従接線(両方に接する線) があります。これらの従接線のうち 2 つは、それらの円の間を通ります。1 つは角の二等分線で、もう 1 つは図の赤い破線で示されています。与えられた三角形の 3 辺をa、b、cと名付け、角の二等分線ではない 3 つの従属接線をx、y、zと名付けます。ここで、x は辺aに接しない 2 つの円の従属接線、yは辺b に接しない 2 つの円の従属接線、zは辺c に接しない 2 つの円の従属接線です。すると、 3 つのマルファッティ円は、 3 つの接四辺形 abyx、aczx、bczyに内接する円になります。^[13]対称性がある場合、破線の円のうち 2 つが二等分線上の 1 点で接し、 2 つの従属接線がそこで一致することがありますが、それでもマルファッティ円の適切な四辺形が設定されます。

3つの従接線x、y、zは、3番目の内接円との接点で三角形の辺を横切り、また、これらの内接円の中心のペアを結ぶ線を横切る角の二等分線の反射として見つけることもできます。^[8]

3つのマルファッティ円の半径は、三角形の3辺の長さa、b、c、内接円の半径 r、半周 、三角形の内心から各辺a、b、cの頂点までの3つの距離d、e、fからなる式で求めることができる。3つの半径の式は以下の通りである。^[14]${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&={\frac {r}{2(sa)}}(s-r+def),\\r_{2}&={\frac {r}{2(sb)}}(sr-d+ef),\\r_{3}&={\frac {r}{2(sc)}}(srd-e+f).\\\end{aligned}}}$$

関連する公式は、辺の長さ、内接円、マルファッティ半径がすべて有理数またはすべて整数である三角形の例を見つけるために使用できます。たとえば、辺の長さが28392、21000、25872の三角形の内接円の半径は6930で、マルファッティ半径は3969、4900、4356です。別の例として、辺の長さが152460、165000、190740の三角形の内接円の半径は47520で、マルファッティ半径は27225、30976、32400です。^[15]

三角形ABCとその 3 つのマルファッティ円が与えられています。D、E、F を、それぞれ反対側の頂点A、B、Cにある 2 つの円が接する点とします。すると、 3 つの線分AD、BE、CF は、円問題へのアジマとマルファッティの貢献にちなんで、最初のアジマ・マルファッティ点と呼ばれる 1 つの三角形の中心で交わります。2 番目のアジマ・マルファッティ点は、マルファッティ円の接点と三角形の外円の中心を結ぶ 3 本の線の交点です。 ^{[16] [17]}マルファッティ円に関連する他の三角形の中心には、最初のマルファッティ点と同じように、与えられた三角形の辺を通る線に接するが部分的に三角形の外側にある3つの相互に接する円から形成されるYff-マルファッティ点^[18]と、 3つのマルファッティ円の根心（円の構築に使用される3つの従接線が交わる点）^{[19]があります。}

• 正三角形の円の詰め込み
• 直角二等辺三角形の円の詰め込み
• 六円定理

ウィキメディア・コモンズには、マルファッティ サークルに関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W. 、 MathWorldの「Malfatti Circles」（「Malfatti の問題」）。
• マルファッティの「cut-the-knot」の問題