投影（測度論）

測度論 では、積（直交）空間を扱うときに射影写像がしばしば登場します。可測空間の積シグマ代数は、射影写像が可測となるように最も細かく定義されます。何らかの理由で、積空間に積𝜎 代数とは異なる 𝜎 代数が備わっている場合があります。このような場合、射影はまったく可測である必要はありません。

測定可能な集合の射影集合は解析集合と呼ばれ、測定可能な集合である必要はありません。ただし、積 𝜎-代数または他の 𝜎-代数に対して、測定可能な集合の射影集合が実際に測定可能な場合もあります。

測度論の創始者の一人であるアンリ・ルベーグ自身も、その事実について誤解していた。1905年の論文で、彼は、平面上のボレル集合の実数直線への射影もまたボレル集合であると書いた。^[1]数学者ミハイル・ヤコブレヴィチ・ススリンはその約10年後にその誤りを発見し、その後の研究は記述的集合論につながった。^[2]ルベーグの根本的な誤りは、射影が交差の減少と交換すると考えたことであったが、それには簡単な反例がある。^[3]

測定可能な射影を持つ非測定可能集合の例として、 𝜎-代数を持つ空間と𝜎-代数を持つ空間を考えます。両方の射影は測定可能な集合ですが、対角集合はに対して測定可能ではありません。 ${\displaystyle X:=\{0,1\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}}$${\displaystyle Y:=\{0,1\}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\{\varnothing ,\{0,1\}\}.}$${\displaystyle \{(0,0),(1,1)\}\subseteq X\times Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}},}$

可測集合の射影である非可測集合の一般的な例は、ルベーグ 𝜎-代数にあります。を のルベーグ 𝜎-代数 とし、を のルベーグ 𝜎-代数 とします。集合に含まれない任意の有界 に対してはに含まれます。これは、ルベーグ測度が完備であり、積集合が測度ゼロの集合に含まれているためです。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$${\displaystyle N\times \{0\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}',}$

それでも、 は積 𝜎-代数ではなく、その完成であることがわかります。積 𝜎-代数のそのような例として、任意の に対して となる積 𝜎-代数を持つ空間(または連続体よりも大きい濃度を持つ集合に沿った任意の積)を取ることができます。実際、この場合、 の濃度は であるのに対し、射影された集合の濃度はであるため、射影された集合の「ほとんど」は測定できません。また、平面上のボレル集合の例もあり、その実数直線への射影はボレル集合ではないことが Suslin によって示されました。^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\textstyle {\bigotimes \limits _{t\in \mathbb {R} }}{\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \aleph_{0}\cdot 2^{\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}},}$${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}.}$

次の定理は、測定可能な集合の射影が測定可能であるための十分条件を与えます。

を可測空間とし、をそのボレル𝜎代数であるポーランド空間とします。すると、積𝜎代数内の任意の集合に対して、その上に射影された集合は、 ^[4]に対して普遍的に可測な集合となります。${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

この定理の重要な特殊なケースは、 の任意のボレル集合のへの射影は、必ずしもボレル集合ではないが、ルベーグ測定可能であるということです。さらに、 の非ルベーグ測定可能集合が の測定可能集合の射影である前述の例は、そのような例の唯一の種類であることを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

• 解析集合 – ポーランド空間の連続像であるポーランド空間の部分集合Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 記述的集合論 – 数理論理学のサブフィールド

• 「測定可能な射影定理」、PlanetMath