おっぱいグループ

群論において、ティッツ群 ² F ₄ ( 2)′は ジャック・ティッツ（フランス語: [tits]）にちなんで名付けられた、位数

   2 ¹¹  · 3 ³  · 5 ²  · 13 = 17,971,200。

これは、例外同型からのどの級数においてもリー型群ではないリー型群の微分である唯一の単純群である。これは、27番目の散在群と見なされることもある。

リー群 ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) はリー (1961) によって構築され、n  ≥ 1 であれば単純であることを示した。この系列の最初のメンバー² F _{4 (2) は単純ではない。これは}ジャック・ティッツ(1964)によって研究され、ほぼ単純 であることが示された。指数 2 のその導来部分群 ² F ₄ (2)′ は現在ティッツ群と呼ばれる新しい単純群である。群² F _{4 (2) は}リー型の群であり、BN ペアを持つが、ティッツ群自体には BN ペアがない。ティッツ群はリー群の交換子群の無限族² F ₄ (2 ^{2 n +1 )′ のメンバーであるため、定義により散在群ではない。しかし、厳密にはリー型の群でもないため、27 番目の}散在群と見なされることもある。^[1]

ティッツ群のシュアー乗数は自明であり、その外部自己同型群は位数2を持ち、完全な自己同型群は群 ² F ₄ (2)である。

ティッツ群はフィッシャー群Fi ₂₂の最大部分群として現れる。群² F ₄ (2)は、4060 = 1 + 1755 + 2304点に対する ランク3置換作用の点安定子として、ルドヴァリス群の最大部分群としても現れる。

ティッツ群は単純 N 群の 1 つであり、ジョン・G・トンプソンによる単純N群の分類の最初の発表では、当時はまだ発見されていなかったため見落とされた。また、薄い有限群の 1 つでもある。

シジュウカラグループは、パロット (1972、1973) とストロス (1980) によってさまざまな方法で特徴づけられました。

ウィルソン（1984）とチャケリアン（1986）は独立して、ティッツ群の最大サブグループの8つのクラスを次のように発見しました。

• L ₃ (3):2 外部自己同型によって融合された2つのクラス。これらのサブグループは、ランク4の置換表現の点を固定します。
• 2.[2 ⁸ ].5.4 退縮の中心化
• L2 （25 _）
• 2 ² .[2 ⁸ ].S ₃
• A ₆ .2 ² (外部自己同型によって融合された2つのクラス)
• 5 ² :4A ₄

ティッツ群は生成元と関係の観点から次のように定義できる。

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=((ab)^{4}ab^{-1})^{6}=1,\,}$

ここで[ a ,  b ]は交換子 a ⁻¹ b ⁻¹ abである。これは、 ( a ,  b )を( a ,  b ( ba ) ⁵ b ( ba ) ⁵ )に送ることで得られる外部自己同型を持つ。

• パロット、デイビッド（1972）、「ティッツの単純群の特徴づけ」、カナダ数学ジャーナル、24（4）：672–685、doi：10.4153/cjm-1972-063-0、ISSN  0008-414X、MR  0325757
• パロット、デイビッド（1973）、「リー群2F4（q）の特徴づけ」、代数ジャーナル、27 ^（ 2 ）： 341–357 、 doi _：10.1016 / 0021-8693（73）90109-9、ISSN  0021-8693、MR  0347965
• リー、リムハク (1961)、「(F4) 型の単純リー代数に関連する単純群の族」、アメリカ数学会誌、67 : 115–116、doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10527-2、ISSN  0002-9904、MR  0125155
• ストロス、ゲルノット（1980）、「ティッツ単純群の一般的な特徴付け」、代数ジャーナル、64（1）：140–147、doi：10.1016/0021-8693（80）90138-6、ISSN  0021-8693、MR  0575787
• Tchakerian, Kerope B. (1986)、「Tits 単純群の最大部分群」、Pliska Studia Mathematica Bulgarica、8 : 85–93、ISSN  0204-9805、MR  0866648
• ティッツ、ジャック (1964)、「代数的および抽象的単純群」、数学年報、第 2 シリーズ、80 (2): 313–329、doi :10.2307/1970394、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970394、MR  0164968
• ウィルソン、ロバート A. (1984)、「A. ルドヴァリスと J. ティッツの単純群の幾何学と最大部分群」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、48 (3): 533–563、doi :10.1112/plms/s3-48.3.533、ISSN  0024-6115、MR  0735227

• グループ表現のATLAS — The Tits Group