ヒルベルト計量

数学において、ヒルベルト計量（ヒルベルト射影計量とも呼ばれる）は、 n次元ユークリッド空間R ⁿの有界凸部分集合上で明示的に定義された距離関数である。これは、双曲幾何学のケイリー・クラインモデルにおけるケイリーの距離公式の一般化として、デイヴィッド・ヒルベルト（1895 年）によって導入された。ここで、凸集合はn次元の開単位球である。ヒルベルト計量は、ペロン・フロベニウス理論やグロモフ双曲空間の構成に応用されている。 

Ω を、直線を含まないユークリッド空間内の凸開領域とする。Ω内の異なる 2 つの点AとBに対して、直線AB がΩの境界と交わる点をXとYとする。ここで、点の順序はX、A、B、Yである。このとき、ヒルベルト距離d ( A、B )は、この 4 つの点の交差比の対数である。

${\displaystyle d(A,B)=\log \left({\frac {|YA|}{|YB|}}{\frac {|XB|}{|XA|}}\right).}$

関数dは、 d ( A , A ) = 0とすることで全ての点のペアに拡張され、Ω上の距離を定義します。点Aと点BのいずれかがΩの境界上にある場合、d は形式的に +∞ と定義でき、これは上記の式の分母の 1 つがゼロになる極限の場合に対応します。 

この構成の変形は、バナッハ空間V (場合によっては無限次元)内の閉じた凸錐Kに対して生じる。さらに、錐Kは尖っている、すなわちK ∩ ( − K ) = {0} であると仮定され、したがってK は半順序を決定する。$\displaystyle \leq _{K}}$V上で。K ∖ {0}内の任意のベクトルvとwが与えられたとき、まず定義する。

${\displaystyle M(v/w)=\inf\{\lambda :v\leq _{K}\lambda w\},\quad m(v/w)=\sup\{\mu$ :\mu w\leq _{K}v\}.}

K ∖ {0}上のヒルベルト擬距離は、次の式で定義される。

${\displaystyle d(v,w)=\log {\frac {M(v/w)}{m(v/w)}}.}$

これは、 vとw を正の定数でスケーリングしても不変であり、 Kの光線の空間上の計量に降下します。これは、 Kの射影化として解釈されます( d が有限であるためには、 Kの内部に制限する必要があります)。さらに、 K ⊂ R × Vが凸集合Ω上の錐である場合、 

${\displaystyle K=\{(t,tx):t\in \mathbb {R} ,x\in \Omega \},}$

すると、 Kの光線の空間はΩと正準的に同型になります。v と w が K 内の点 A 、 B ∈ Ω に対応する光線内のベクトルである場合、dに関するこれら2つの式は同じ距離の値を与えます。

• 領域ΩがR ⁿ内の単位球である場合、 dの式は、乗法定数を除いて、双曲幾何学のケイリー・クラインモデルにおける点間の距離の式と一致する。
• 円錐KがR ⁿの正象限である場合、 Kの射影化によって誘導される計量は、しばしば単にヒルベルトの射影計量と呼ばれます。この円錐は、次元n − 1 の正則単体である領域Ωに対応します。   

• ヒルベルトは、頂点A、B、Cが一直線上にないが、辺の 1 つが他の 2 つの合計に等しい三角形ABC が存在するような公理的な計量幾何学を構築するために、計量を導入した。この幾何学では、2 点を結ぶ最短経路は一意ではない。特に、凸集合Ωがユークリッド三角形であり、線分AB、BC、ACの直線延長がΩのいずれかの辺の内部と交わらない場合に、このようなことが起こる。
• ギャレット・バーコフは、ヒルベルトの計量とバナッハの縮小原理を用いて、有限次元線形代数におけるペロン・フロベニウスの定理と、正の核を持つ積分作用素に対するその類似定理を再導出した。バーコフの着想はさらに発展し、ペロン・フロベニウスの定理の様々な非線形一般化を確立するために用いられ、それらはコンピュータ科学、数理生物学、ゲーム理論、力学系理論、エルゴード理論において重要な応用例を見出している。
• イヴ・ブノワは、アンダース・カールソンとグエンナディ・ノスコフの以前の結果を一般化し、ヒルベルト計量を備えたR ⁿ内の有界凸領域がグロモフ双曲空間となるための必要十分条件の体系を決定した。
• C. VernicosとC. Walshは、ヒルベルト距離における球と漸近球は定数係数を除いてほぼ等価であることを示した。
• C. VernicosとC. Walshは、後にDavid MountとAhmed Abdelkaderによって発展させられた研究で、ヒルベルト計量領域とマクベス領域における球は定数係数を除いてほぼ等しいことを示した。

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