有限

数学と論理学では、演算が有限個である場合、つまり入力値の数が有限である場合、その演算は有限であると言えます。同様に、無限 演算とは、入力値の数が無限である演算のことです。

標準的な数学では、演算は定義により有限です。したがって、これらの用語は通常、無限論理のコンテキストでのみ使用されます。

有限論証とは、有限^[1]の公理集合から始まる有限の記号命題集合に変換できる論証である。言い換えれば、それは（すべての仮定を含む）十分に大きな紙に書くことができる 証明である。

対照的に、無限論理は、無限に長い文と証明を許容する論理を研究します。そのような論理では、たとえば、存在量指定子は無限選言から派生したものと見なすことができます。

20 世紀初頭の論理学者は、「数学の真の基礎は何か」といった基礎の問題を解決することを目指しました。その計画は、意味論のない完全に統語的な言語を使用してすべての数学を書き直すことができるようにすることでした。ダヴィド・ヒルベルト(幾何学について)の言葉を借りれば、「ものを椅子、テーブル、ビールジョッキと呼ぶか、点、線、平面と呼ぶかは問題ではありません。」

有限性を強調したのは、人間の数学的思考は有限の数の原理^[要出典]に基づいており、すべての推論は基本的に 1 つの規則、つまりmodus ponensに従うという考えから来ている。このプロジェクトは、有限の数の記号 (基本的には数字の 1、2、3、...、アルファベットの文字、および「+」、「⇒」、「(」、「)」などの特殊記号) を固定し、それらの記号で表現される有限の数の命題 (「基礎」としてとられるもの) (公理) と、人間が結論を出す方法をモデル化する推論規則を与えるというものである。これらから、記号の意味的解釈に関係なく、残りの定理は、創意工夫に頼る必要なしに、明示された規則 (数学は科学というよりも記号を使ったゲームのように思える) のみを使用して形式的に従うべきである。これらの公理と規則から数学のすべての定理を演繹できることを証明することが期待されていた。この目的は論理主義として知られている。

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• スタンフォード哲学百科事典の無限論理に関する項目