イプシロン微積分

あらゆる形式言語${\displaystyle L}$、 伸ばす${\displaystyle L}$量化を再定義するためにイプシロン演算子を追加する。

• ${\displaystyle (\exists x)A(x)\ \equiv \ A(\epsilon x\ A)}$
• ${\displaystyle (\forall x)A(x)\ \equiv \ \neg \exists x\neg A(x)\leftrightarrow \neg {\bigl (}\neg A(\epsilon x\ \neg A){\bigr )}\leftrightarrow A{\bigl (}\epsilon x\ (\neg A){\bigr )}}$

意図された解釈${\displaystyle \epsilon x\ A}$いくつか${\displaystyle x}$満たす${\displaystyle A}$存在する場合。言い換えれば、${\displaystyle \epsilon x\ A}$何らかの項を返す${\displaystyle t}$そのため${\displaystyle A(t)}$が真である場合、そうでなければ、何らかのデフォルトまたは任意の項が返されます。複数の項が満たすことができる場合${\displaystyle A}$すると、これらの用語のいずれかが${\displaystyle A}$（真）は非決定的に選択できます。等号は以下で定義される必要があります。${\displaystyle L}$必要なルールは、${\displaystyle L}$ε演算子によって拡張されるのは、モーダスポネンスと置換である。${\displaystyle A(t)}$交換する${\displaystyle A(x)}$いかなる期間においても${\displaystyle t}$[ ^{2 ]​}

N. Bourbakiの『集合論』におけるτ二乗記法では、量化子は次のように定義される。

• ${\displaystyle (\exists x)A(x)\ \equiv \ {\bigl (}\tau _{x}(A)|x{\bigr )}A}$
• ${\displaystyle (\forall x)A(x)\ \equiv \ \neg {\bigl (}\tau _{x}(\neg A)|x{\bigr )}\neg A\ \equiv \ {\bigl (}\tau _{x}(\neg A)|x{\bigr )}A}$

どこ${\displaystyle A}$は関係です${\displaystyle L}$、${\displaystyle x}$は変数であり、$\displaystyle \tau _{x}(A)$並置する$\displaystyle \tau }$前面に${\displaystyle A}$、すべてのインスタンスを置き換えます${\displaystyle x}$と${\displaystyle \square }$そしてそれらをリンクバックします$\displaystyle \tau }$.次に${\displaystyle Y}$集会である、${\displaystyle (Y|x)A}$すべての変数の置換を表します${\displaystyle x}$で${\displaystyle A}$と${\displaystyle Y}$。

この表記法はヒルベルト表記法と同等であり、読み方も同じです。ブルバキは置換公理を用いないため、基数割り当てを定義する際にこの表記法を用います。

このように量化子を定義すると、非常に非効率になります。たとえば、この表記法を使用したブルバキの元の数 1 の定義の展開は、長さが約 4.5 × 10 ^{12であり、この表記法を}クラトフスキーの順序対の定義と組み合わせたブルバキの後の版では、この数は約 2.4 × 10 ⁵⁴に増加します。^{[ 3 ]}    

整合性を検証する理論は、まず適切なイプシロン計算体系に組み込まれる。次に、イプシロン置換法を用いて、量化された定理をイプシロン演算で表現するように書き換えるプロセスが開発される。最後に、書き換えられた定理が理論の公理を満たすように、書き換えプロセスが正規化されることが示されなければならない。^{[ 4 ]}