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ポール・アイザック・ベルネイズ（/bɜːrˈneɪz / bur - NAYZ 、スイス標準ドイツ語: [ bɛrˈnaɪs ] 、 1888年10月17日 - 1977年9月18日）は、スイスの数学者で、数理論理学、公理的集合論、数学哲学に多大な貢献をした。彼はダフィット・ヒルベルトの助手であり、緊密な協力者であった。
ベルネイスは、学者や実業家を輩出した名門ドイツ系ユダヤ人一家に生まれた。彼の曽祖父であるイサク・ベン・ヤコブ・ベルネイスは、1821年から1849年までハンブルクの首席ラビを務めた。[ 1 ]
ベルネイスは幼少期をベルリンで過ごし、 1895年から1907年までケルニッシェ・ギムナジウムに通った。ベルリン大学では、イッサイ・シュール、エドムント・ランダウ、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス、フリードリヒ・ショットキーに数学を、アロイス・リーエル、カール・シュトゥンプフ、エルンスト・カッシーラーに哲学を、マックス・プランクに物理学を学んだ。ゲッティンゲン大学では、ダフィット・ヒルベルト、エドムント・ランダウ、ヘルマン・ワイル、フェリックス・クラインに数学を、ヴォルデマール・フォークト、マックス・ボルンに物理学を、レナード・ネルソンに哲学を学んだ。
1912年、ゲッティンゲン大学は、ランダウの指導の下、二元二次形式の解析的整数論に関する論文で彼に数学の博士号を授与した。同年、チューリッヒ大学は、複素解析とピカールの定理に関する論文で彼に教授資格を授与した。審査員はエルンスト・ツェルメロであった。ベルナイズは1912年から1917年までチューリッヒ大学の私講師を務め、そこでゲオルク・ポリアと知り合った。彼とクルト・ゲーデルとのやり取りは数十年に及ぶ。
1917年から、ダフィット・ヒルベルトは算術の基礎に関する研究を手伝わせるためにベルネイスを雇った。ベルネイスはまた、ゲッティンゲン大学で他の数学分野の講義も行った。1918年、同大学はベルネイスに『プリンキピア・マテマティカ』の命題論理の公理系に関する論文で2度目の教授資格を授与した。[ 2 ]
1922年、ゲッティンゲン大学はベルネイスを終身在職権のない特別教授に任命した。彼の教え子の中で最も成功したのはゲルハルト・ゲンツェンであった。1933年にナチス・ドイツが公務員制度の復興法を制定した後、大学はベルネイスがユダヤ系であることを理由に彼を解雇した。
ヒルベルトの個人事務所で6か月働いた後、ベルネイスと家族はスイスに移住した。スイス国籍は父親から受け継いでおり、チューリッヒ工科大学で時折勤務した。また、ペンシルベニア大学を訪れ、 1935年から36年、そして1959年から60年には高等研究所の客員研究員を務めた。 [ 3 ]
彼の教授資格論文は、ヒルベルト自身の指導の下、ホワイトヘッドとラッセルの『プリンキピア・マテマティカ』における命題論理の公理化をテーマに執筆された。この論文には、命題論理の意味論的完全性の最初の証明が含まれており、後にエミール・ポストによっても独立に証明された。
ベルネイズとヒルベルトの共同研究は、1934年と1939年に出版された2巻からなる著作『数学の基礎』（Grundlagen der Mathematik）で結実し、この著作についてはSiegとRavaglia（2005）で論じられている。この著作の中で、十分に強力で一貫性のある理論は自身の参照関手を含むことができないという証明がなされており、これはヒルベルト＝ベルネイズのパラドックスとして知られている。
ベルネイズは、1937年から1954年にかけて『記号論理学ジャーナル』（1976年にミュラーで再録）に掲載された7つの論文で、ジョン・フォン・ノイマンが1920年代に提唱した関連理論を起点とする公理的集合論を提示した。フォン・ノイマンの理論では、関数と引数の概念が原始的であった。ベルネイズは、クラスと集合が原始的となるようにフォン・ノイマンの理論を再構築した。ベルネイズの理論は、クルト・ゲーデルによる修正を経て、フォン・ノイマン＝ベルネイズ＝ゲーデル集合論として知られている。
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